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专题8.2 二元一次方程组的相关概念（分层练习）
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果方程 与下面方程中的一个组成的方程组的解为 ，那么这个方程是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，以 为解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是二元一次方程 的一组解，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是二元一次方程组 的解，则 的平方根为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若 是关于 的二元一次方程，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．7．若 是关于 的方程 的一个解，则 的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
8．与方程 构成的方程组，其解为 的是（ ）
A． B． C． D．
9．对于任意实数 ， ， ， ，定义有序实数对 与 之间的运算“ ”为：
．如果对于任意实数 ，都有 ，那么 为（ ）
A． B． C． D．
10．一个自然数，把它各数位上的数字从最高位到个位依次排列得到一串数字，再把它各数位上的数
字从个位到最高位依次排列，得到另一串数字，如果两串数字完全相同，我们就把这样的自然数称为“回
文数”．例如22，323，4664，567765等都是“回文数”．已知一个三位数是能被11整除的“回文数”，
则符合条件的三位数的个数有（ ）
A．8个 B．9个 C．24个 D．33个
二、填空题
11．若 是关于 的二元一次方程，则 ．
12．关于 的二元一次方程组 的解是 其中 的值被盖住了，不过仍能求出 ．
则 的值是 ．
13．已知关于 的方程组 ，望望由于看错了方程①中的 ，因此得到方程组的解为
，贝贝看错了方程②中的 ，从而得到方程组的解为 ，那么 的值为
．
14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻
方，则 ．
15．某区教研室组织36名数学老师到一所重点中学参加教学研讨活动．计划租用8座车和4座车若干
辆，要求每辆车都要坐满，则该教研室共有 种租车方案．
16．若 是关于x，y的二元一次方程，那么 的值为 ．
17．若 是二元一次方程 的一个解，则 的值为 ．
18．现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜
管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小
铜管 段，29mm的小铜管 段．
19．若关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
20．若二元一次方程组 的解中 与 的值相等，则 ．
三、解答题
21．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ， ， ……都是方程
的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求 这个二元一次方程的正整数解．解： ，得： ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程 的正整数解为 或 ．
问题：
（1）若 为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
（2）直接写出满足方程 的正整数解______．
（3）若要把一根长为 的绳子截成长为 和 两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你
在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
22．已知 是方程 的解，
（1）求 的值．
（2）请将方程 变形为用 的代数式表示 ．
23．如图， ，在线段 的延长线上有一个动点 ，连接 ，已知 平分
．请问：当点 运动时， 的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如
果发生变化，请说明理由．24．甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织
400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载
客情况如表格所示：
合计载客量
小客车（辆） 大客车（辆）
（人）
3 1 105
1 2 110
（1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？
（2）若计划租用小客车 辆，大客车 辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案：
②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．参考答案：
1．A
【分析】
本题考查二元一次方程的定义．逐一判断各方程的类型，即可解答．
解：
A选项： ，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B选项： 是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C选项： 未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D选项： ，不是整式方程，不是元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．把 代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．
解：
解：A、把 代入方程得：左边 ，右边 ，所以该选项不符合题意；
B、把 代入方程得：左边 ，右边 ，所以该选项符合题意；
C、把 代入方程得：左边 ，右边 ，所以该选项不符合题意；
D、把 代入方程得：左边 ，右边 ，所以该选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【解析】略
4．A
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将解的情况代入到二元一次方程中，即可求得结
果，正确计算是解题的关键．
解：∵ 是二元一次方程 的一组解，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查解二元一次方程组、求代数的值和求一个数的平方根，根据已知的方程组和解
即可求得m和n，进一步求得代数值，即可求得平方根．
解：∵ 是二元一次方程组 的解，∴ ，
解得 ，
∴ ，
则4的平方根为 ，
故选：B．
6．B
【分析】首先把所给的方程化为 ，然后根据二元一次方程的定义可得 和 的系数
不为零，即可求得 的取值范围．
解： ，
∵
，
∴
根据二元一次方程的定义可得：
，
∴ ，
∴故选：B．
【点拨】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的
最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键．
7．D
【分析】把 代入关于 的方程 得到关于 的方程，解方程即可得到答案．
解： 是关于 的方程 的一个解，
，
解得： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根据题意得出关于 的方程是解此题的关键．
8．D
【分析】将解 代入选项中验证即可求解．
解：A． 不是方程 的解，该项不符合题意；
B． 不是方程 的解，该项不符合题意；
C． 不是方程 的解，该项不符合题意；
D． 是方程 的解，该项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
9．B
【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程 是解此题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∵对于任意实数 都成立，
∴ ，
∴ 为 ．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查一次方程的应用，整式的加减．设这个三位数为 ，根据这个三位数是
能被11整除的，得到 的关系，即可．
解：设这个三位数为 ，
∵ 能被11整除，∴ 能被11整除，
∵ ，且 均为整数，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴符合条件的回文数有121，242，363，484，616，737，858，979，共8个；
故选A．
11．
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整
式方程叫做二元一次方程，由二元一次方程的定义可得 ， ，计算即可得出答案．
解： 是关于 的二元一次方程，
， ，
解得： ，
故答案为： ．
12．5
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将 代入 得出 ，故方程的解为 ，再
把 代如 计算即可得出答案．
解：把 代入 ，得 ，
解得： ，
故方程的解为 ，把 代如 ，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
13．2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，
难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．
把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．然后即可求出
式子的值．
解：把 代入方程 ，把 代入方程 ，
得，
解得 ，
当 时，
．
故答案为：2．
14．6
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和相等，可列出关于 ， 的二元一次方程，变形
后，即可得出结论．
解：
解：根据题意得： ，
．
故答案为：6．
15．【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设租用8座车 辆，4座车 辆，由题意得： ，
即 ，结合 都是非负整数，即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键．
解：设租用8座车 辆，4座车 辆，
由题意得： ，
，
都是非负整数，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；
共有 中租车方案，
故答案为： ．
16．8
【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，
叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可．
解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定
义．
17．2024
【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键；
先将方程的解代入方程，求出 ，在整体代入求值即可．
解：将 代入 得：
，18． 6 4．
【分析】本题的等量关系是截39 的铜管的钢管料+截29 的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗
的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案．
解：设应分别锯成39 的小铜管 段、29 的小铜管 段，
则损耗的钢管料应是 ，
根据题意，
得 ，
，
∵ 、 都必须是正整数，
∴ ，
或 ，
∴锯成4段39 的小铜管、3段29 的小铜管损耗最少，
故答案为：6；4．
【点拨】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，
注意等量关系式是解题的关键．
19．2022
【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得 ，即
，再将 代入计算即可．
解： ，
得， ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：2022．
20．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义及二元
一次方程组的解法是解决本题的关键．把 代入二元一次方程组中不含 、 的方程，先求出 、 的
值，再把 、 的值代入方程组中的另一个方程，求出 的值．解： 与 的值相等，
把 代入 中，
得： ，解得 ，
将 代入 中，
得： ，
整理，得 ．
．
故答案为： ．
21．（1）6；（2） ；（3）共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截
成8段3m，2段4m的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程：
（1）根据题意可得 或 或 或 或 或 ，解方程即可得
到答案；
（2）先求出 ，再由 都是正整数得到 是正整数，即 或 ，据此可得答案；
（3）设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得， ，解方程即可得到答案．
（1）解：∵ 为非负整数，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 或 ，
故答案为：6；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 都是正整数，∴ 是正整数，即 或 ，
当 时， （不符合题意）；
当 时， 符合题意，
∴ 的正整数解为 ，
故答案为： ；
（3）解：设 和 两种规格的绳子分别为x段，y段，
由题意得， ，
∴ ，
∵x、y都为正整数，
∴ 是正整数，
∴x是4的倍数，
∴当 ， ；当 ， ，
∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
22．（1）8；（2）
【分析】（1）将 代入原方程，可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 的值；
（2）将 代入原方程，整理后，即可用还含 的代数式表示 ．
（1）解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
的值为8；
（2）解：当 时，原方程为 ，
．【点拨】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题
的关键．
23．
【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的定义，二元一次方程的应用，设
， ，由角平分线的定义可得 ，可得 ，从而可得答案．
解：设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（1）满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者；（2）①一共有
两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；②租小
客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐 名志愿者，再由1辆小客车，
2辆大客车可坐100人列出方程求解即可；
（2）①由题意得， ，把n看做已知解方程得到 ，再由m、n都为正整数进
行求解即可；②根据（2）①所求分别求出两种方案的费用即可得到答案．
（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐 名志愿者，
由题意得， ，
解得 ，
∴ ，
答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者；
（2）解：①由题意得， ，∴ ，
∵m、n都为正整数，
∴ 必须要是4的倍数，
∴当 时， ；当 时， ；
∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车
8辆；
②方案一的费用为 元，
方案二的费用为 元，
∵ ，
∴租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元．
