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2017 年上海市春季高考数学试卷
2017.1
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 设集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A B= ；
U
2. 不等式|x-1| <3的解集为 ；
3. 若复数z满足2z -1=3+6i（i是虚数单位），则z = ；
1 p
4. 若cosa= ，则sin(a- )= ；
3 2
ìx+2y =4
5. 若关于x、 y的方程组í 无解，则实数a= ；
î3x+ay =6
6. 若等差数列{a }的前5项的和为25，则a +a = ；
n 1 5
7. 若P、Q是圆x2 + y2 -2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 ；
a +a +a +×××+a
8. 已知数列{a }的通项公式为a =3n，则lim 1 2 3 n = ；
n n n®¥ a
n
2
9. 若(x+ )n的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ；
x
x2
10. 设椭圆 + y2 =1的左、右焦点分别为F 、F ，点P在该椭圆上，则使得△FF P是
2 1 2 1 2
等腰三角形的点P的个数是 ；
11. 设a 、a 、…、a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a -a |+|a -a |+
1 2 6 1 2 3 4
|a -a | =3的不同排列的个数为 ；
5 6
a
12. 设a、bÎR，若函数 f(x)= x+ +b在区间(1,2)上有两个不同的零点，则 f(1)的取
x
值范围为 ；
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 函数 f(x)=(x-1)2的单调递增区间是（ ）
A. [0,+¥) B. [1,+¥) C. (-¥,0] D. (-¥,1]
1
14. 设aÎR，“a>0”是“ >0”的（ ）条件
a
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形
第1页 | 共4页16. 如图所示，正八边形AA A A A A A A 的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，
1 2 3 4 5 6 7 8
uuuur uuur
则AA ×AP的取值范围为（ ）
1 3 1
A. [0,8+6 2] B. [-2 2,8+6 2]
C. [-8-6 2,2 2] D. [-8-6 2,8+6 2]
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，长方体ABCD-ABC D 中，AB= BC =2，AA =3；
1 1 1 1 1
（1）求四棱锥A -ABCD的体积；
1
（2）求异面直线AC与DD 所成角的大小；
1 1
2x +a
18. 设aÎR，函数 f(x)= ；
2x +1
（1）求a的值，使得 f(x)为奇函数；
a+2
（2）若 f(x)< 对任意xÎR成立，求a的取值范围；
2
19. 某景区欲建造两条圆形观景步道M 、M （宽度忽略不计），如图所示，已知
1 2
AB^ AC，AB= AC = AD=60（单位：米），要求圆M 与AB、AD分别相切于
1
点B、D，圆M 与AC、AD分别相切于点C、D；
2
（1）若ÐBAD=60°，求圆M 、M 的半径（结果精确到0.1米）
1 2
（2）若观景步道M 与M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆
1 2
M 、
1
M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）
2
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20. 已知双曲线G:x2 - =1(b>0)，直线l: y =kx+m (km¹0)，l与G交于P、
b2
Q两点，P¢为P关于 y轴的对称点，直线P¢Q与 y轴交于点N(0,n)；
（1）若点(2,0)是G的一个焦点，求G的渐近线方程；
uuuur 3uuuur
（2）若b=1，点P的坐标为(-1,0)，且NP¢= P¢Q，求k的值；
2
（3）若m=2，求n关于b的表达式；
1+x
21. 已知函数 f(x)=log ；
21-x
（1）解方程 f(x)=1；
ax-1 ax-1 1
（2）设 xÎ(-1,1)，aÎ(1,+¥)，证明： Î(-1,1)，且 f( )- f(x)=-f( )；
a-x a-x a
3x -1
（3）设数列{x }中，x Î(-1,1)，x =(-1)n+1 n ，nÎN*，求x 的取值范围，使
n 1 n+1 3-x 1
n
得x ³ x 对任意nÎN*成立；
3 n
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