文档内容
第3讲 圆的方程
最新考纲 考向预测
1.回顾确定圆的几 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问
何要素，在平面直角 题、最值问题也是考查的热点，属中档题．
坐标系中，探索并掌 命题趋势 题型主要以选择题、填空题为主，要求相对
握圆的标准方程与 较低，但内容很重要，有时也会在解答题中
一般方程. 出现.
2.初步了解用代数
方法处理几何问题 核心素养 直观想象、数学运算
的思想.
1．圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
(x－a)2＋(y－b)2＝ 圆心为 ( a ， b )
标准式
r2(r>0) 半径为r
方程 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F >0
一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x ，y )与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
0 0
(1)若M(x ，y )在圆外，则(x －a)2＋(y －b)2＞r2.
0 0 0 0
(2)若M(x ，y )在圆上，则(x －a)2＋(y －b)2＝r2.
0 0 0 0
(3)若M(x ，y )在圆内，则(x －a)2＋(y －b)2＜r2.
0 0 0 0
常用结论
1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x ，y )，B(x ，y )为直径端点的圆的方程为(x－x )(x－x )＋(y－y )(y－y )
1 1 2 2 1 2 1 2
＝0.
常见误区
1．对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件
2．解答与圆有关的最值问题要注意数形结合，充分运用圆的性质．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝
0，D2＋E2－4AF>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程
为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是
( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
解析：选ABD.圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝
25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.显然选项C不正确．ABD均正确．
4．(易错题)若方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆，则 m 的取值范围是
________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
5．若圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为
________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
求圆的方程
[题组练透]
1．(2021·长沙模拟)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到
原点的距离为( )
A. B. C. D.
解析：选B.圆心在直线BC的垂直平分线，即x＝1上，设圆心D(1，b)，由|DA|
＝|DB|得|b|＝，解得b＝，所以圆心到原点的距离为d＝＝.
2．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，则圆的方程是(
)
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选A.因为圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，所以
圆的圆心坐标为(2，0)．所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选A.
3．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦
的长为2，则圆的方程为________．
解析：根据题意，设圆的圆心坐标为(a，0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2
＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.又该圆截直线x＋2y＝0所得弦
的长为2，所以可得12＋＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：(x－2)2＋y2＝5
求圆的方程的两种方法
(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件
列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条
件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
与圆有关的最值问题
角度一 借助几何性质求最值
已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，
3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
【解】 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆
心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.又|QC|＝＝4，所以|MQ| ＝4＋2＝6，|MQ| ＝4－
max min
2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y
＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，所以的最
大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最
值，所以＝2，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.
与圆有关的最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几
何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如
下：
常见类型 解题思路
μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题型
角度二 建立函数关系求最值
设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|PA
＋PB|的最大值为________．
【解析】 由题意，知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA＋PB＝(－
2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－
(x－3)2＋4，所以|PA＋PB|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当
x＝5时，|PA＋PB|的值最大，最大值为2＝10.
【答案】 10
建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式
函数单调性等方法求最值．
1．已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO(O为
坐标原点)的取值范围是( )
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
解析：选C.将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C
的坐标为(2，0)．所以PC＝(2－x，－y)．而PO＝(－x，－y)，所以PC·PO＝x2＋y2－
2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以PC·PO＝4x－3－2x＝2x－3.
因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x
－3≤3，从而PC·PO(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C.
2．(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1
距离的值可以为( )
A．4 B．6
C．3＋1 D．8
解析：选ABC.由题意，知圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆
心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由
图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为＝5，则点P
到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4，因此A，B，C正确，
只有D不正确．故选ABC.3．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|
PQ|的最小值为________．
解析：函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆
(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，
即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所
以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
答案：－2
与圆有关的轨迹问题
已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上
的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解】 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
与圆有关的轨迹问题的四种求法1．(2020·高考全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若AC·BC＝1，
则点C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
解析：选A.以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直
角坐标系，设A(－a，0)，B(a，0)，C(x，y)，因为AC·BC＝1，所以(x＋a)(x－a)＋y·y＝
1，所以x2＋y2＝a2＋1，所以点C的轨迹为圆，故选A.
2．已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的
轨迹方程为( )
A．x2＋y2＋6x＋1＝0 B．x2＋y2－6x＋1＝0
C．x2＋y2－x＋1＝0 D．x2＋y2＋x＋1＝0
解析：选B.由题意可设点C的坐标为(x，y)，因为满足|AC|＝|BC|，由两点间的
距离公式可得＝×，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，所以x2＋y2－6x＋1＝0
即为点C的轨迹方程．故选B.
[A级 基础练]
1．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得
a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的
距离为＝或＝，故选B.
5．(2020·全国统一考试模拟卷)已知点A为曲线y＝x＋(x>0)上的动点，B为圆
(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是( )
A．3 B．4 C．3 D．4
解析：选A.根据题意，|AB|的最小值为曲线y＝x＋(x>0)上的点到圆心(2，0)的
距离的最小值减去圆的半径1.由于曲线y＝x＋(x>0)上最低点的坐标为(2，4)，结
合图象可知，所求的最小值为－1＝3.
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是
________，半径是________．
解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
答案：(－2，－4) 5
7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________．
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以
b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解
得所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.答案：(x＋1)2＋y2＝20
8．(2020·山西太原期中)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别
在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________．
解析：如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O
的连线始终为 Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝
a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
答案：x2＋y2＝a2
9．已知圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)．
(1)若圆的面积最小，求圆的方程；
(2)若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，圆心C(0，－4)，半径r＝AB＝，
所以所求圆的方程为x2＋(y＋4)2＝5.
(2)因为k ＝，AB的中点坐标为(0，－4)，所以AB的中垂线方程为y＋4＝－
AB
2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组得所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，
得半径r＝，因此所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分
线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，
则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[B级 综合练]
11．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切
则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
解析：选ACD.因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心
坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在y＝－x的图象上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋
(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐
标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方
程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x
－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确．
12．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆
盖，则圆C的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三
角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
13．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线
C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l ：x＋y＋3＝0上，直线l 经过点Q且与曲线C只有一个公
1 2
共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所
求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由
题意知直线l 是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，当|QM|最小
2
时，|CQ|最小，此时CQ⊥l ，|CQ|＝＝4，则|QM|的最小值为＝4.
1
14．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－
y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所
有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，
所以点P的坐标为(2，4)或.
(2)设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋
(y－4)(y－2b)＝0，
整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由解得或
所以该圆必经过定点(0，4)和.
[C级 创新练]
15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主
要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M
的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋
y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．若点M的坐
标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝1＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝4.
当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|
OK|＝2，所以＝＝2.因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则＝＝2，所
以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|. 易知|MB|＋|MK|≥|BK|，可知|MB|＋|
MK|的最小值为|BK|.因为B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|) ＝|BK|＝＝.
min
综上，易知2|MA|＋|MB|的最小值为.故选C.
16．(2021·东北师范大学附中摸底)如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴
正方向滚动，先以点A为旋转中心顺时针旋转，当点B落在x轴时，又以点B为
旋转中心顺时针旋转，如此继续下去．设顶点C滚动时的曲线为y＝f(x)，则f(5)＝
________；当2＜x≤3时，f(x)＝________．
解析：由题意，知正方形ABCD的对角线长为.如图，当x＝0时，点C的坐标
为(0，1)，即f(0)＝1；当x＝1时，点C的坐标为(1，)，即f(1)＝；当x＝2时，点C的坐标为(2，1)，即f(2)＝1；当x＝3时，点C的坐标为(3，0)，即f(3)＝0；当x＝4时，
点C的坐标为(4，1)，即f(4)＝1；当x＝5时，点C的坐标为(5，)，即f(5)＝.当2＜
x≤3时，顶点C的轨迹是以点(2，0)为圆心，1为半径的四分之一圆，所以顶点C
的方程为(x－2)2＋y2＝1(2＜x≤3)，所以y＝，所以当2＜x≤3时，f(x)＝.
答案：
