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专题9 整式的加减运算在实际问题中的应用（原卷版）
类型一 整式的运算在面积问题中的应用
1．（2022秋•周口期中）如图，把8张长为a，宽为b的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白
部分分别用A，B表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m，（用a，b，m分别表
示周长和面积）
（1）填空：①空白部分A的周长P＝ ，面积S ＝ ，
A A
②空白部分B的周长P ＝ ，面积S ＝ ；
B B
（2）若a＝5b，求P﹣P ，S ﹣S 的代数式．
A B A B
2．（2022秋•乐业县期中）如图，两个正方形边长分别为4，a，且a＞4．
（1）求图1的周长；
（2）求图2阴影部分的面积；
（3）当a＝6时，分别求出图1的周长和图2阴影部分的面积．3．（2022秋•宛城区校级月考）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x无关，求m的值
【能力提升】
（2）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方
形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S ，左下角的面积为S ，当AB的长变
1 2
化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
4．（2021秋•临淄区期末）（1）现有长为20米的篱笆，利用它和一面墙围成如图所示的长方形养鸡场，
设养鸡场的宽为t米．
①用含t的代数式表示养鸡场的长为 米；
②用含t的代数式表示养鸡场的面积 平方米；
③若墙长只有15米，请你从1，2，4中选择一个恰当的数作为t的值，求出养鸡场的面积．
1 1 1
（2）先化简，再求值： (−4x2+2x−8)−( x−1)，其中x= ．
4 2 2
（3）已知a﹣2b＝1，求代数式5（2ab2﹣4a+b）﹣2（5ab2﹣9a）﹣b的值．5．（2020秋•朝阳期中）学习指导：同学们，我们即将在“整式的加减”一章中学习同类项和合并同类项
法则．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，例如 a，3a和7a是同
类项．合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．例如﹣
8ab+6ab﹣3ab＝（﹣8+6﹣3）ab．请你解决下面问题，一定要化简哦．
为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的
十字路，小路宽为x米．
（1）用代数式表示小路和草坪的面积是多少平方米？
（2）当x＝3米时，求草坪的面积．
6．（2021秋•滨湖区校级期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放
在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S ，S ，已知小长方形纸片
1 2
的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②S ﹣S 的值；
1 2
（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S ﹣S 的值．
1 2
（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 ABCD内，
而S ﹣S 的值总保持不变，则a，b满足的关系是 ．
1 2类型二 整式的运算在利润问题中的应用
7．（2021秋•锡山区期中）【感悟数学方法】
已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．
（1）计算：5A﹣2B；
（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．
【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价
为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种
购进方案．现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制
疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金 m元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进
的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m的值．
8．某商店以每件a元的价格购进A商品500件，以每件1.2a元的价格购进B商品300件，A商品在进价的
基础上增加50%销售，B商品在进价的基础上增加40%销售．
（1）商店购进这两种商品所用的总费用是多少？
（2）若商店将这两种商品全部售出，则可获得多少利润？9．（2022秋•陈仓区期中）某游泳馆游泳票原价25元一张，为了吸引更多群众通过游泳健身，游泳馆推
出了以下优惠活动：
活动一：购买一张30元的会员卡，每张票6折优惠；
活动二：不购买会员卡，每张票8折优惠．
请回答下列问题：
（1）小明为了多练习游泳，选择了活动一，共买票8张，他共花了多少钱？
（2）如果小明选择活动二，要花多少钱？哪种活动更划算？
（3）如果小明共买游泳票x张，请用代数式表示两种优惠活动应支付的费用．
10．（2021秋•罗定市期中）某中学准备召开新生入学会议，会议之前需要印刷一批宣传彩页，经招标，A
印务公司中标，该印务公司给出了两种方案供主办方选择：
方案一：每份彩页收印刷费1元；
方案二：印数在100份以内时，每份彩页收印刷费1.2元，超过100份时，超过部分按每份0.7元收费．
（1）若需要印刷彩页的份数为x（份），写出方案二的收费的关系式；
（2）若预计要印刷500份的宣传彩页，哪种方案更优惠？11．（2021秋•介休市期中）社会主义新农村建设是指在社会主义制度下，按照新时代的要求，对农村进
行经济、政治、文化和社会等方面的建设，最终实现把农村建设成为经济繁荣、设施完善、环境优美、
文明和谐的社会主义新农村的目标．今年秋季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织 10辆汽车装
运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装
满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：
土特产种类 甲 乙
每辆汽车运载量（吨） 3 4
每吨土特产利润（元） 1000 900
（1）装运乙种土特产的车辆数为 辆（用含有x的式子表示）；
（2）求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示）；
（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示）．
12．（2021秋•海州区期中）某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一型
号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元，甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；
乙商场规定：所有餐桌、椅均按报价的八五折销售．
（1）若学校计划购买x（x＞12）把餐椅，分别写出到甲、乙两商场购买所需的费用（代数式能化简的
化简）；
（2）若需购买20把餐椅，则到哪个商场购买合算？
（3）当购买20把餐椅时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需
付款几元？类型三 整式的运算在数字问题中的应用
13．（2022秋•高新区期末）学习《整式及其加减》后，在一次数学活动中，乐乐对东东说：“你在心里
想好一个两位数，将十位数字乘5，然后加4，再将所得新数乘2，最后将得到的数加个位数字，把你的
结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．”
通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你说明原因．
14．（2023•思明区模拟）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果
完全相同．文学上把这样的现象称为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如 252，7887，
34143．小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一
样，如：65﹣38＝83﹣56；91﹣37＝73﹣19；54﹣36＝63﹣45．数学上把这类等式叫做“减法回文等
式”．
（1）①观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；
②请归纳“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为b）与减数cd应满足的条件，并证
明．
（2）两个两位数相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，请你直接写出“乘法回文等式”的
因数xy与因数mn应满足的条件．15．（2022秋•重庆期末）对于一个各位数字都不为0的三位正整数M，若M满足个位数字是十位数字的
2倍，则称M为“开心数”．将一个“开心数”M任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个两位数，
把这三个两位数之和记为F（M）．如“开心数”M＝312，去掉百位上的数字后得到12，去掉十位上
的数字后得到32，去掉个位上的数字后得到31，则F（312）＝12+32+31＝75．
（1）求F（136），F（248）的值；
（2）若F（M）能被11整除，求出满足条件的所有“开心数”M．
