文档内容
九年级上学期开学摸底卷02 重难点检测卷
【考试范围：人教版八下全部内容+九年级上衔接内容】
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算 的结果是（ ）
A． B．9 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式性质即可得到结果．
【详解】解： ，
故选：D．
2．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的
周长为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出 的长，进一步求出梯形的周长即可．
【详解】解：由图和题意，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴这个梯形的周长为 ；故选B．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条线段 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、正比例函数 ，图象是一条直线，不符合题意；
B、当 时， ，图象不经过点 ，不符合题意；
C、 ，图象经过第一、三象限，符合题意；
D、 ，y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
4．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个
最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和
一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
【答案】B
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、极差及众数的意义，难度不大．
根据平均数、中位数、极差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到极差，可能会影响到平均数、众数，一定不会影
响到中位数，
故选：B．
5．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，下列结论一定成
立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
与 不一定垂直， 与 不一定相等，
故A不符合题意，B不符合题意；
四边形 是平行四边形，对角线 与 交于点O，
，
故C符合题意；
与 不一定相等，
与 不一定相等，
故D不符合题意，
故选：C．
6．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在作线段 的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点
A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线 即为所求．根据他的作图
方法可知四边形 一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】B
【分析】根据基本作图，得到 ，可以判定四边形 是菱形．
本题考查了线段垂直平分线的作图，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图的意义，菱形的判定是解题的关
键．
【详解】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
故选：B．7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数 与正比例函数 (m，n是常数，
且 )图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 判定正比例函数 的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据
一次函数 ，得到与y轴交点为 ，与x轴的交点为 ，结合 ，判断 即交点
位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可．
本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴正比例函数 的图象分布在二四象限，且经过原点，
∴B，D错误；
∵一次函数 ，
∴图象与y轴交点为 ，与x轴的交点为 ，
∵ ，
∴ 即交点位于x轴的正半轴上，
∴A错误，C正确．
故选C．
8．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制
遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船
在水中实际航行的路程 比河的宽度 多2米，则河的宽度 是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知 为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出
直角边 的长度．
【详解】解：根据题意可知 米，
设 ，则 ，
中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
∴该河的宽度 为24米．
故选：D．
9．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则方程可写成
，即 ．容易发现： ， ．设一元三次方程
的三个非零实根分别为 ， ， ，则以下正确命题的序号是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为
，由此求解即可．
【详解】解：设一元三次方程 的三个非零实根分别为 ， ， ，
则方程可写成 ，即 ．
对比可得， ， ， ，
可得 ， ， ，
，
综上可知，①②④正确，③错误，
故选B．
10．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，抛
物线的对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③当 时， 的取值范围是 ；
④点 ， 都在抛物线上，则有 其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：根据函数的对称性，抛物线与 轴的另外一个交点的坐标为 ，与 轴正半轴相交，则；
①函数对称轴在 轴右侧，则 ，
而 ，故 ，
故①正确，符合题意；
② ，即 ，
而 时， ，即 ，
，
．
②正确，符合题意；
③由图象知，当 时， 的取值范围是 ，
③错误，不符合题意；
④从图象看，当 时， ，
当 时， ，
有 ，
故④正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么
．
【答案】
【分析】本题考查了最简根式和同类二次根式的定义，根据最简根式和同类二次根式的定义即可求解，熟
知二次根式的相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
12．（23-24八年级下·山西晋城·期末）若点 ， 都在一次函数 的图象上，则．（填“ ”“ ”“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质：当 时，
随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2024·四川乐山·二模）若关于x的方程 两根互为负倒数，则m的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一
元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设α，β是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
，
，
，
恒成立，
∵关于x的方程 两根互为负倒数，
∴ ，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
14．（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）如图， 中， ， 比 长1， ，则
．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理．在 中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解： 比 长1，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
故答案为：4．
15．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知直线 和直线 交于点P，则关于x，y的二
元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点的公共解，掌握一元函数图像的性质是
解题的关键．
根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为 ，由此即可求解．【详解】解：∵直线 和直线 的交点 坐标为 ，
∴二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ．
16．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形 中，DE平分 ， ， ，
则平行四边形 的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，根据平行四边形的性质得
， ， ，则 ，由角平分线的定义得 ，从而有
，再根据等角对等边的性质可得 ，根据线段和差 ，再求出 的周长
即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ．
17．（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电
线杆上离地面 处向地面拉一条长 的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底
部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了．【答案】6
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股
定理的逆定理是解题关键．
【详解】解：标记点如下图：
要使得这根电线杆便与地面垂直，即 ，
则只需保证 ，
由题意可知：
∴ ，
∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了．
故答案为：6．
18．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线 （a，b，c是常数， ）经过点 ，其
中 ．下列结论：
① ；
②当 时，y随x的增大而减小；
③关于x的方程 有实数根，则n是非负数；
④代数式 的值大于0．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根
据题目中的已知条件找到相关的数量关系．①将 代入 即可得到b的范围；
②将 代入 即可；
③把 代入 可判断n的正负；
④将 代入 即可；
【详解】解：①将 代入 得 ，
，
，
，即 .结论正确，故①符合题意；
②对称轴为直线 ，
， ，
，
又 ，
，
，
，开口向下，
时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意；
③把 代入 得 ．
方程有实数根，
，
即 ，
，
，，
，
，
是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意；
④将 代入 ，
，
，
，
， ，
，
即 ，④正确，故④符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级下·广东广州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的乘法运算法则计算乘法，最后化简后合并
同类项即可．
【详解】解： ．20．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一
元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解的方法解方程即可；
（4）利用配方法解方程即可；
【详解】（1）解： ，
化简得 ，
解得： ；
（2）解： ，
化简得 ，配方得 ，
解得： ；
（3）解：
移项得 ，
化简得 ，
故 或 ，
解得： ；
（4）解：
配方得 ，
即 ，
故 或 ，
解得： ．
21．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 中， ， ，以点 A
为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，求 的长．
【答案】 的长为4
【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理可以算出 的长，再根据题意可得到 ，根
据 即可算出答案．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵以点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点D，
∴ ，
∴ ．
22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上的中
线， ，求 的面积．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，以及等底同高的两三角形面积相等的运用，熟练掌握勾股定理的
逆定理是解本题的关键．
由 为 边的中线，可得出 为 的中点，由 的长求出 的长，再由 及 的长，利用勾股
定理的逆定理得到三角形 为直角三角形，利用两直角边乘积的一半求出此直角三角形的面积，同时由
为 中点，利用等底同高得到三角形 与三角形 面积相等都为三角形 面积的一半，由三
角形 的面积即可求出三角形 的面积．
【详解】解： 为 边上的中线，即 为 中点，且 ，
，即 ，
又 ， ，
，
，
，
，
又 为 中点，
，
则 ．
23．（23-24八年级下·福建泉州·期末） 某公司随机抽取一名职员，统计了他一个月 ( 天) 每日上班通勤费用
通勤费用 (元/天) 0 4 8
天数(天) 8
(1)该名职工上班通勤费用的中位数是 元，众数是 元：
(2)若该公司每天补贴该职员上班通勤费用6元，请你利用统计知识判断该职员是否还需自行补充上班通勤
费用?
【答案】(1) ，
(2)需要，理由见解析
【分析】本题考查了统计数据的实际应用，掌握各统计数据的意义是解题关键．
（1）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众
数是一组数据中出现次数最多的数值．据此即可求解．
（2）计算出该职员上班通勤费用的平均数即可求解.
【详解】（1）解：该名职工上班通勤费用的中位数是 元，众数是 元，
故答案为： ，
（2）解：该职员上班通勤费用的平均数为： 元，
∵
故该职员需自行补充上班通勤费用
24．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，点D，C在 上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，猜想四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 为平行四边形，理由见解析【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决问题的关键是证明
．
（1）利用 证明 ，再根据全等三角形的性质可得 ；
（2）首先根据全等三角形的性质可得 ，再根据内错角相等两直线平行可得到 ，
又 ，可证出四边形 为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：猜想：四边形 为平行四边形，理由如下：
连接
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
25．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，已知函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 、 ，与函数 的图象交于点 ，点 的横坐标为2，在 轴上有一点 （其中 ，过点 作 轴的
垂线，分别交函数 和 的图象于点 、 ．
(1)求点A的坐标；
(2)若 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）点 在直线 上，且横坐标为2， ，把 代入 得 ，可得
一次函数表达式为 ，从而可求出 的坐标；
（2）求出点 的坐标，根据 可求出 ，由题意可知： ， ，所以
，从而可求出 的值．
本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数法求解析，根据解析式求出坐标，解方程等知识，综合程度较
高，本题属于中等题型．
【详解】（1）解：点 在直线 上，且横坐标为2，
把 代入 得
一次函数表达式为
把 代入 得
点的坐标为（2）解：把 代入 得
，
，
轴，
， ，
，
26．（2024·山西晋中·模拟预测）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某
一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，
的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s
与离地高度h的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时， _______m；
(2)求h关于s的函数解析式．
【答案】(1)30
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴和待定系数法求抛物线解析式
是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性先求抛物线的对称轴，再根据对称轴求解；（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入 可求出参数，由此解答即可．
【详解】（1）解：由表格可知， 时和 时， 相等，
抛物线关于 对称，
又 当 时， ，
∴
时， ，
故答案为：30．
（2）解：由（1）知，抛物线关于 对称，设 ，
把 代入上述解析式，
，
解得： ，
．
