文档内容
1.5.1 乘方（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.5有
理数的乘方第1课时，内容包括有理数乘方的意义、符号法则及运算.
2.内容解析
有理数乘方的意义，教材是先给出计算正方形面积、正方体体积等实际问题，利用求几个相同因数的
乘法运算，再结合相同因数是负数等情况给出的，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.之后给出了
有理数乘方的写法、读法，及底数、指数、幂等相关概念.接着根据有理数乘法法则，探究讨论了有理数乘
方运算的符号法则与相关性质.最后给出了利用计算器进行有理数乘方运算的案例.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数乘方的意义及其运算．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解有理数乘方的意义，了解幂、底数、指数等相关概念.
（2）掌握有理数乘方的符号法则及相关性质，能够正确地进行有理数的乘方运算.
2.目标解析
（1）有理数的乘方是利用有理数的乘法来定义的. 将 写成an的表达式，前者是n个有理数a
相乘，是乘法运算，后者是有理数乘方的形式，是乘方运算.在an中，a叫做底数，n叫做指数，an的结果，
即n个有理数a相乘的结果叫做幂.所以，有理数乘方及其相关概念是有理数乘法运算及其相关概念的自然
拓展.
（2）有理数的乘方像有理数加、减、乘、除法一样，也是一种运算，其运算的符号法则及相关性质
完全依据相同因数的有理数乘法法则获得.初学时，应强调二者之间的关系，用有理数乘法法则探究学习有
理数乘方运算.待学生熟悉有理数乘方运算法则及其相关性质后，应该逐步丢掉这根拐杖.
三、教学问题诊断分析
有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的
推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础．在小学里，学生掌握的数的
平方与立方只是在正数的范围内，现在则扩充到了有理数的范围．应当注意，乘方也是一种运算，是继加、
减、乘、除法运算之后学习的第五种运算，因此掌握好本节课的内容能够进一步加深学生对有理数的运算
的认识，并且将为学生今后学习数的开方打下坚实的基础．有理数的乘方是利用乘法来定义的，因此，可以参照乘法运算的方法进行乘方运算，但学生在探究过
程中容易忽视由有理数乘法的符号法则得出有理数乘方的符号法则，有理数的乘方运算与加、减、乘、除
法运算步骤一样，都是先确定符号，再计算绝对值．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数乘方符号法则及相关性质的理解与应用.
四、教学过程设计
（一）引入新课
棋盘上的学问：
古时候，有个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋. 为
了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求. 大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，
第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒，…，一直到第64格.”
“你真傻！就要这么一点米？” 国王哈哈大笑. 这位大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”
你认为国王的国库里有这么多米吗？
师生活动：学生可以自由发挥想象，教师不做任何解答，留待后面学习中解答.
【设计意图】创设问题情境，激发学生学习兴趣，使学生认识到数学的发展是不断进行推广的.
（二）新知探究
问题1：请同学们把一张长方形的纸多次对折，所产生的纸的层数和对折的次数有关系吗？
做一做：1. 边长为a的正方形的面积为____；
2. 棱长为a的正方体的体积为______；
3. (－2)×(－2)×(－2)=_____；
4. (－1)×(－2)×(－3)×(－4)×5=____；
5. (－1)×(－1)×(－1)×(－1)×(－1)=______.
师生活动：归纳总结：一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次
方）”，即 .
师：对于an中a的，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a可以取任意有理数，板书课题.
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）.教师引导学生注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.同时
比较已经学习过的几种运算方法结果的不同称呼：
【设计意图】通过对乘方的概念及意义的探索，使学生理解乘方的意义，能和前面已经学习过的几种
运算作比较.
（三）针对训练
1. 把下列乘法式子写成乘方的形式：
（1）1×1×1×1×1×1×1=_______；
（2）3×3×3×3×3=_______；
（3）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______；
（4）
答案：（1）17；（2）35；（3）(－3)4；（4） .
2. 把下列乘方写成乘法的形式：
（1）(－9)3= __________________；
（2） =___________；
（3）(a－b)2= ___________ ；
答案：（1）(－0.9)×(－0.9)×(－0.9)；（2） ；（3）(a－b) (a－b).
3. 填空：
（1）(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作
－5的_____.
（2） 表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作 的 次幂，其中 叫做 ，6
叫做 .
答案：（1）－5；2；－5；－5；平方；（2）6；6；6；底数；指数.
4. 判断下列各题是否正确：（1）23=2×3 ( )
（2）2+2+2=23 ( )
（3）23=2×2×2 ( )
（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )
答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×.
【设计意图】学生理解乘方的意义，并在理解的基础上进行乘方运算.
（四）典例分析
例1：说出下列乘方的底数、指数，并进行计算：
（1）(－4)3； （2）(－2)4； （3）07； （4） ．
解：（1）(－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；
（2）(－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；
（3）07 =0×0×0×0×0×0×0=0；
（4）
师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步计
算的依据.
【设计意图】通过例题的学习，对有理数乘方的幂、底数、指数的概念及其表示有更进一步的理解，
及时巩固所学知识，并且通过学生板演让学生自己发现问题，尝试解决问题，同时也让学生知道乘方运算
的依据.
（五）新知探究
问题2：（1）－32与(－3)2结果相等吗？
追问： 与 结果相等吗？
师生提示：①负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号），用小括号括起来，这样便于辨
认底数；②分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来.
问题3：不计算下列各式，你能确定其结果的符号吗？从计算结果中，你能得到什么规律？
（1）(－2)51； （2）(－2)50； （3）250； （4）251；（5）(－1)2022； （6）(－1)2023； （7）02022； （8）12022．
师生活动：教师引导学生共同归纳：
（1）正数的任何次幂是正数；
（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何次幂等于零；
（4）1的任何次幂等于1；
（5）－1的偶次幂等于1；－1的奇次幂是－1．
【针对训练】
1. 回答下列问题:
（1）23中底数是 ，指数是 ，幂是 .
（2） 中底数是 ，指数是 ，幂是 .
（3）(－5)4中底数是 ，指数是 ，幂是 .
（4）－54中底数是 ，指数是 ，结果是 .
2. 填空：
310的意义是 ，310 = .
3. 判断正误：（对的画“√”，错的画“×”）
（1）32 =3×2=6 ( )
（2）(－2)3＝(－3)2 ( )
（3）－32=(－3)2 ( )
（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )
（5） = ( )
答案：1.（1）2；3；8；（2） ；2； ；（3）－5；4；625；（4）5；4；－625.
2. 10个3相乘；59049.
3.（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×.
（六）典例分析
例2：用计算器计算(－8)5和(－3)6.师生活动：要求同桌之间互相交流，不会的同学要向会使用计算器的同学请教.
【新知应用】
问题4：同学们，现在我们能解决本节课开始时《棋盘上的学问》中的问题吗？
1＋21＋22＋23＋……＋263= （粒）.（1.84467×1019 ）
建议利用计算器帮助计算.
估计每千颗米粒重40克，这么多颗米粒总重超过 亿吨.（7000）
问题5：珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8844米. 把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，
连续对折30次的厚度是多少？
0.1×230= （mm）= （m）.
计算器计算：230=1073741824
0.1×230 =107374182.4（mm）=107374（m）.
追问：这张纸对折30次后，厚度超过珠穆朗玛峰，是真的吗？
例3：计算
（1） ； （2）－23×(－32)；
（3）64÷(－2)5； （4）(－4)3÷(－2)200＋2×(－3)4.
解：（1） ；
（2）－23×(－32)= －8×(－9)=72；
（3）64÷(－2)5=64÷(－32)=－2；
（4）(－4)3÷(－1)200＋2×(－3)4=－64÷1＋2×81=98.
师生活动：教师引导学生共同思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的
运算顺序？（先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算.）【设计意图】通过学生之间的相互交流，感受现代技术，学会使用计算器求乘方运算.
（七）当堂巩固
1. 填空：
（1）－(－3)2= ； （2）－32= ；
（3）(－5)3= ； （4）0.13= ；
（5）(－1)9= ； （6）(－1)12= ；
（7）(－1)2n= ； （8）(－1)2n+1= ；
（9）(－1)n= .
1.（1）－9；（2）－9；（3）－125；（4）0.001；（5）－1；（6）1；（7）1；（8）－1；（9）
.
2. 在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33 中，最大的数是（ B ）
A. －|－3|3 B. －(－3)3 C. (－3)3 D. －33
3. 对任意实数a，下列各式不一定成立的是（ B ）
A. a2=(－a)2 B. a3=(－a)3 C. |a|=|－a| D. a2≥0
【设计意图】通过巩固练习，使学生加深对乘方意义的理解与掌握.
（八）感受中考
1．（2022•广东）计算22的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：22=4．
故选：D．
2．（2022•西藏）已知a，b都是实数，若|a＋1|＋(b－2022)2=0，则ab= ．
【解答】解：因为|a＋1|＋(b－2022)2=0，
所以a＋1=0，b－2022=0，
即a=－1，b=2022，
所以ab=(－1)2022=1，
故答案为：1．
3．（2022•泸州）若(a－2)2＋| b＋3|=0，则ab= ．【解答】解：由题意得，a－2=0，b＋3=0，
解得a=2，b=－3，
所以，ab=2×(－3)=－6．
故答案为：－6．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（九）课堂小结
1. 本节课学习的主要内容有哪些？这些内容体现了哪些数学思想方法？
2. 有理数的乘方运算需要注意哪些事项？其运算步骤是什么？
1. 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
2. 乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）零的正整数次幂都是零.
【设计意图】通过巩固练习和小结，使学生加深对乘方意义的理解与掌握，使所学知识系统化.
（十）布置作业
1. P47：习题1.5：第1、2、7题；
2. P48：习题1.5：第12题；
3. 课外思考：
（1）平方等于它本身的数是 ，
立方等于它本身的数是 .
（2）(+1)2022－(－1)2023 = .
五、教学反思
对于有理数乘方的意义是这样突破的：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作an，乘方运算的
结果叫做幂，a叫做底数，n叫指数，对此应从以下几个方面加深理解.①(－2)3与－23意义不同，(－2)3表
示3个(－2)相乘，底数是－2，指数是3；而－23表示23的相反数，底数是2，指数是3.② 与 意义不同， 表示3个 相乘，底数是 ，指数是3；而 表示23除以3的商的相反数.③负数或
分数的乘方，在书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用小括号括起来，防止因负号处理不慎出现
错误，或对乘方运算中底数的区分和辨认产生困难.
对于有理数乘方运算法则是这样突破的：①有理数乘方运算法则是利用有理数乘法运算法则探究得到
的. 有理数乘方的符号法则和相关性质是：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.正数的任何次幂都
是正数.0的任何正整数次幂都是0.任何数的偶次幂都是非负数.1的任何次幂都是1. －1的偶次幂是1，－1
的奇次幂是－1.这些法则与性质，需要在理解的基础上逐步掌握，并能熟练地应用.②与有理数的加、减、
乘、除法运算步骤一样，有理数的乘方运算也是先确定幂（运算结果）的符号，再计算幂（运算结果）的
绝对值. 教学时，应重视类比方法的使用.需要特别注意，有理数乘方运算中，所有的指数都是正整数（正
偶数、正奇数），指数暂时还没有涉及负整数与零.③一个数可以看作这个数本身的一次方，这是一种规定.
这种规定可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数.此外需要注意，
当底数为带分数时，应先化带分数为假分数，再按乘方的意义进行计算.例如，
而应为 .
