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11.3.1多边形
一、单选题
1．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参
加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（ ）场比赛．
A．30 B．45 C．105 D．210
【答案】C
【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两
队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）．
【详解】15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为： ×15×（15-1）=105．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对
角线条数的知识进行解答．
2．多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．8条
【答案】C
【分析】根据正多边形内角与外角的性质，求出此多边形边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对
角线的条数．
【详解】∵一个多边形的每一个内角都等于135°，
∴此多边形的每一个外角是180°-135°=45°，
∵任意多边形的外角和是：360°，
∴此多边形边数是：360°÷45°=8，
∴这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数是：n-3=8-3=5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，题目综合性较强，同学们应熟
练掌握相关公式．
3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形
是 （ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形【答案】B
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=2011，
解得：n=2013.
所以这个多边形的边数是2013.
故选B.
【点评】本题考查了多边形的知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形对角线的性质与运用.
4．下列图形中，是正多边形的是( )
A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边
C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形
【答案】A
【分析】根据正多边形的定义即可解答.
【详解】选项A，三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角相等，三条边都相等，是正多边形；选项B、
C、D不符合正多边形的定义，都不是正多边形.
故选A．
【点评】本题主要考查了正多边形的定义，熟练运用正多边形的定义是解决问题的关键．
5．过n边形的其中一个顶点有10条对角线，则n的值为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】n边形中过一个顶点的所有对角线有n-3条，根据这一点即可解答．
【详解】这个多边形的边数是10+3=13，
故选C.
【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握运算公式.
6．下列说法不正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．等边三角形是正多边形
C．正多边形的各个内角都相等 D．正多边形的各条边都相等
【答案】A
【分析】根据正多边形的定义：各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，除正三边形以外，各边相等，各
角相等，两个条件必须同时成立．
【详解】A. 各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误；B. 等边三角形三条边相等，三个角相等，是正多边形，故选项B正确；
C. 正多边形的各个内角都相等，故选项C正确；
D. 正多边形的各条边都相等，故选项D正确.
故选A.
【点评】本题考查了正多边形的定义，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立．
7．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2016个三角形，那么这个多边形
是（ ）边形．
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】C
【解析】
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=2016，
解得：n=2018，
故选C.
【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
8．要使一个六边形的木架稳定，至少要钉（ ）根木条
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】
如图，最少钉三根木条可以把六边形分成四个三角形，使木架稳定。
故选：A.
二、填空题
9．我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根
木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使 边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用 表示， 为大于3的整数）
【答案】n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点评】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形
的问题．
10．连接多边形的一个顶点与其它各顶点，可将多边形分成11个三角形，则这个多边形是______边形.
【答案】13．
【分析】一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为（n-2），据此可解．
【详解】∵一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，可将多边形分成（n-2）个三角形，
∴n-2=11，
则n=13．
故答案是：13．
【点评】本题主要考查多边形的性质，一个n边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为
（n-2）．
11．过 边形的一个顶点有7条对角线， 边形没有对角线，过 边形一个顶点的对角线条数是边数的 ，
则 ______________________.
【答案】13
【分析】根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可．
【详解】∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10，
∵三角形没有对角线，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键．12．从一个 边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为 个三角形，
则 的值是___________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形作答．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=6，
解得n=8.
故答案为8.
【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
三、解答题
13．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形共有多少条对角线．
【答案】这个多边形共有14条对角线．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【详解】设这个多边形边数为n，
由题意得 ，解得 ，
对角线条数： （条），
所以这个多边形共有14条对角线．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程
求解即可．从n边形一个顶点可以引（n-3）条对角线．
14．如图，网格中每个小正方形的边长为1．
（1）求阴影部分的面积；（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分和小数部分分别是x
和y，求xy的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰
三角形，据此求解即可；
（2）根据题意得 ，可求得 ，可得 ，根据a的整数部分和小数部分分别是x和y，可得
， ，代入 计算即可．
【详解】（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰
三角形，
则 ；
（2）由题意得， ，
，
，
的整数部分和小数部分分别是 和 ，
， ，
．
【点评】本题是格点问题，考查了算术平方根和阴影部分面积的求法；并能估算无理数的大小，估算无理数大
小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值．
15．观察下面图形，并回答问题．
四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形有 条对角线．根据 中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．
【答案】（1）2，5，9；（2）35．
【分析】（1）根据对角线的定义，观察3个图形数出对角线的条数即可得；
（2）根据（1）的结论，归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】（1）观察图形可知，四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；
故答案为：2，5，9；
（2）由（1）知，四边形的对角线条数为 ，
五边形的对角线条数为 ，
六边形的对角线条数为 ，
归纳类推得：n边形的对角线条数为 （其中，n为正整数，且 ），
则十边形的对角线条数为 ．
【点评】本题考查了对角线的条数问题，较难的是题（2），正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．四边形共有几条对角线？五边形呢？n边形呢？
【答案】2,5， .
【分析】从n边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n个顶点共可引n（n-3）条，但这些对角
线每一条都重复了一次，故n边形的对角线条数为 ．
【详解】四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；…
n边形有 条对角线．
故答案为：2,5， .
【点评】此题考查多边形的对角线．解题关键在于掌握多边形有n条边，熟记n边形对角线数目为 .
17．观察下面图形，并回答问题．
（1）四边形有_______条对角线；五边形有_____条对角线；六边形有____条对角线．
（2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有______条对角线．
（3）应用： 个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？
【答案】（1）2；5；9；(2)14； ；（3）
【分析】（1）根据图形查出即可；
（2）根据对角线条数的数据变化规律进行总结，然后填写．
（3）根据多边形的对角线，可得答案．
【详解】（1）四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
∵从一个顶点可以作（n-3）条对角线，
∴n边形有 条对角线．（2）七边形有14条对角线，n边形有 条对角线．
（3） .
【点评】此题考查多边形对角线的条数，解题关键在于熟记公式．
18．一个正多边形每个内角比外角多90°，求这个正多边形所有对角线的条数．
【答案】20条
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，从而可得一个正多边形的一个外角和
一个内角的度数，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有
条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．
【详解】设此正多边形为正n边形．
由题意得： ＝90，
n＝8，
∴此正多边形所有的对角线条数为： ＝20．
答：这个正多边形的所有对角线有20条．
【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
19．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和
表格，并回答下列问题：多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n
从一个顶点出发
1 2 3 4 5 … ________
的对角线的条数
多边形对角线
2 5 9 14 20 … ________
的总条数
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；
(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要
打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发
现．
【答案】(1)n－3， n(n－3)；(2) 135个；(3) 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点.
【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每
人要打（n-3）个电话，据此进行判断．
【详解】（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总
条数为 n（n-3）；
故答案为n-3， n（n-3）；
（2）∵3×6=18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为 ×18×（18-3）=135（个）；
(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 n(n－3)；
数学社团有18名同学，当n＝18时， ×18×(18－3)＝135.
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为： n（n-3）（n≥3，且n为整数）．
20．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为
b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一
定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
【解析】
试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得 ，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点.
