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11.4角度的模型总结
模型1:8字模型
题型练习：
1．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ）
A．180° B．90° C．270° D．240°
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．4．“8字”的性质及应用：
（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝
∠C+∠D．
（2）图②中共有多少个“8字”？
（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝
（∠A+∠C）．
5．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACD的度数．
模型2：飞镖模型
【证明】题型练习：
1．如图所示，∠B＝20°，∠D＝40°，∠BCD＝2∠A，求∠A的度数．
2．已知：如图，∠BGF＝140°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数？
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，∠F＝
∠ABD，EF交BC的延长线于点F．求证：FB＝DB．
4．一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得
∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理
由．5．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样
图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好
经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ 3 6 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝ ，∠DBE＝ ，请直接写出
α β
∠DCE的度数 （用含 和 的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝115°，
α β 1 2 11
∠BG C＝60°，求∠A的度数．
1
6．如图：
（1）求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C这4个
角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
模型3：A字模型
【结论】如图所示，△DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.
题型练习：
1.我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一
个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
Ⅰ．尝试探究：
（1）如图 1，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与
∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
Ⅱ．初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣
∠C＝ ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外
角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案
．
2．如图，已知∠CBE+∠BCD＝256°，求∠A的度数．3．如图所示，已知∠CBE+∠BCD＝236°，求∠A的度数．
4.探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2等于
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系
并说明理由．
5.．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相
邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：（1）如图 2，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，则∠DBC+∠ECB
∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣
∠C＝ ．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P
与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上
面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
模型4：老鹰抓小鸡模型
如图，延长任意一个四边形的邻边后，就构成老鹰抓小鸡模型.
结论∶如图所示，∠A＋∠BFC=∠DBF＋∠FCE.
题型练习：
1．如图，把△ABC纸片任意折叠，使点A落在纸外，设折痕为DE，∠A、∠1、∠2之
间有一种始终保持不变的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由．2．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，
点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只
填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关
系．
3．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样
的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′
与∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存
在怎样的数量关系？并说明理由．4.[探究]如图1，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部点A′处．试判断
∠1、∠2与A的数量关系．并证明．
[应用]如图2，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的内部．
（1）若∠B＝95°，∠C＝25°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝ ；
（3）若AE∥BD，∠B+∠C＝130°，则∠2＝ ．
[变式]如图3，将△ABC沿着DE折叠后，使点A落在∠BAC的外部点A′处，试判断
∠1、∠2与∠A的数量关系，并证明．
5．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样
的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存
在怎样的数量关系？并说明理由．
模型5：双角平分线模型题型练习：
1．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ACB＝50°，∠ABC＝70°，则∠BOC＝ °
（2）若∠A＝40°，则∠BOC＝ °
（3）若∠A＝x°，试猜想∠BOC＝ °，并证明你的猜想的正确性．
2．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，且∠A＝40°，求
∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的两个外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分线交于点
O′，且∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）由（1）（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝
∠A′＝n°，则∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？
3．（1）图①所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，试
探究∠BOC与∠A的等量关系．
（2）图②所示，将∠ABC的一边BC延长至D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线
相交于点O，试探究∠BOC与∠A的等量关系．4．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC
分别交 AB，AC于点 E，F．直接写出线段 EF与BE，CF之间的数量关系：
．
（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过
O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如
何？说明你的理由．
5．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，且∠BAC＝
60°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOE的度数．
6．在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，
求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量
关系（只需写出结论）．
7．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
8．已知△ABC
（1）①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，探究∠P与∠A之间
数量关系，并说明理由；
②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是
；
③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是
．
（2）运用所得到的结论，解决下面的问题：
如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连接AO，若∠BOC＝
130°，则∠BAC＝ °，∠BAO＝ °．
9．已知△ABC中，∠A＝x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点 O，则用含x的代数式表示
∠BOC，写出推理过程．
（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O 、O ，则用含x的代数式表
1 2
示∠BO C，写出推理过程．
1
（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O
1
、O
2
、…、O
n﹣1
，则用含
n，x的代数式表示∠BO C，不需要推理过程，直接写出结果．
1
