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11.4三角形（单元检测）
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为( )
A．39° B．51° C．38° D．52°
【答案】B
【分析】先根据∠B=39°得出∠CFE的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠E的度数，从而得
∠1的度数．
【详解】∵∠B=39°，EF∥AB，
∴∠CFE=39°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CEF=90°-∠CFE=90°-39°=51°,
∴∠1=∠CEF=51°.
故选B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，考查的知识点为：两直线平行，同位角相等；直角
三角形的两锐角互余．
2．(本题3分)如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2 之有一种
数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2（∠1+∠2） C．3∠A=2∠1+∠2C D．2∠A=∠1+∠2
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理得到 和 ，在根据四边
形的内角和得 ，利用这三组关系证明 与 、 的关系．
【详解】在 中， ，在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理和多边形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和
定理求解角度关系．
3．(本题3分)如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度
数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得 ， ，再由等量代换得
，先求出 即可求出 ．
【详解】连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，，
，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
4．(本题3分)已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
【答案】A
【分析】已知a，b，c分别是三角形的边长，根据三角形的三边关系可得a+b＞c，a+c＞b，即可得a+b-c＞0，b-a-
c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可求解.
【详解】∵a，b，c分别是三角形的边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c) =2b-2c.
故选A.
【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质，根据三角形的三边关系得到a+b-c＞0、b-a-c＜0是解
决问题的关键.
5．(本题3分)如图，ΔABC的面积为8cm ，AP垂直 ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和
△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
【详解】延长AP交BC于E，∵AP垂直 ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S =S ，AP=PE，
△ABP △BEP
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S =S ，
△APC △PCE
∴S =S +S = S =4cm2，
△PBC △PBE △PCE △ABC
故选：C．
【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．能正确作出辅助线并理解同底等高的三角形面积相等是解
题关键．
6．(本题3分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
A．∠A+∠D﹣45° B． （∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D． ∠A+ ∠D
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和, ∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得
再根据三角形的内角和定理可得
然后整理即可得解；
【详解】∵四边形的内角和=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴
∴
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）
故选D．
【点评】考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
7．(本题3分)如图，在 中， ， ， 是 上一点，将 沿 折叠，使 点
落在 边上的 处，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故选A．
【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．(本题3分)若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（ ）边形．
A．八 B．十 C．十二 D．十四
【答案】B
【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．
【详解】∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°=10.
故选B.
【点评】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握其定理和运算公式.
9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，
在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想
的应用．10．(本题3分)已知正多边形的一个外角等于 ，那么这个正多边形的边数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【详解】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【详解】正多边形的一个外角等于 ，且外角和为 ，
则这个正多边形的边数是： ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
11．(本题3分)若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．
【详解】因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，
所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解
题的关键．
12．(本题3分)已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据
第三边是整数，从而求得周长．
【详解】设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．故选C.
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
二、填空题(共18分)
13．(本题3分)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．
【答案】180
【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】∵∠2是△OBC的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180．
【点评】考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和”是解答此题的关键．
14．(本题3分)有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是
________．
【答案】30米【分析】利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A点时，恰好沿着360°÷24°=15边形的边走了一圈，
即可求得路程．
【详解】2×（360°÷24°）=30米．
故答案为30米．
【点评】本题需利用多边形的外角和解决问题．
15．(本题3分)如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠
∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为_____．
【答案】55°或85°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，∠CMB′，再根据折叠的性质求出∠NMB′即可解决问题．
【详解】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
当∠CB′M＝90°，
∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，
由折叠的性质可知：∠NMB′＝ ∠BMB′＝75°，
∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，
当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，
∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，
故答案为55°或85°．
【点评】考核知识点：三角形内角和.理解三角形内角和的性质定理是关键.
16．(本题3分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
【答案】40°．
【详解】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为40°．
17．(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒
2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当
t=___________________，△APE的面积等于6．
【答案】1.5或5或9
【分析】分为两种情况讨论：当点P在AC上时：当点P在BC上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解
即可．
【详解】如图1，当点P在AC上．∵△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，∴CE=4，AP=2t．
∵△APE的面积等于6，∴S△APE= AP•CE= AP×4=6．∵AP=3，∴t=1.5．
如图2，当点P在BC上．则t＞3∵E是DC的中点，∴BE=CE=4．
∵PE ，∴S= EP•AC= •EP×6=6，∴EP=2，∴t=5或t=9．总上所述，当t=1.5或5或9时，△APE的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．
【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式
求解是关键．
18．(本题3分)在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
【答案】6
【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可．
【详解】如图1，有2个三角形；
如图2，有3个三角形；
如图3，有4个三角形；
如图4，有4个三角形；
如图5，有5个三角形，
如图6，有6个三角形，
综上所述，最多有6个三角形，
故答案为6.
【点评】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.三、解答题(共66分)
19．(本题8分)如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求
∠DAE和∠BOA的度数．
【答案】∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
【分析】由∠CAB＝50°，∠C＝60°可求出∠ABC；由AE、BF是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝
∠EAB＝25°；由AD是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE和∠BOA．
【详解】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°
∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形角平分线、直角三角形的知识；求解的关键是熟练掌握三角形以及直角三角形的性
质，从而完成求解．
20．(本题8分)如图，已知D为△ABC边BC延长线一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A=30°，∠D=55°.
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数.【答案】（1）65°；（2）120°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠B，再利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可．
（2）根据∠FEC=∠ECD+∠D求解即可．
【详解】（1）∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B=90°-∠D=35°，
∵∠ACD=∠B+∠A，∠A=30°，
∴∠ACD=65°．
（2）∵∠FEC=∠ECD+∠D，∠ECD=65°，∠D=55°，
∴∠FEC=55°+65°=120°．
【点评】考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．(本题8分)如图，已知：点P是 内一点．
（1）求证： ；
（2）若PB平分 ，PC平分 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所
以易证∠BPC＞∠A．
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A；
（2）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（ ∠ABC+ ∠ACB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ ×140°
=110°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的
外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．
22．(本题8分)问题情景：如图1，在同一平面内，点 和点 分别位于一块直角三角板 的两条直角边
， 上，点 与点 在直线 的同侧，若点 在 内部，试问 ， 与 的大小是
否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若 ，则 _________度， ________度，
_________度；
（2）类比探索：请猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点 的位置，使点 在 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若
成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ， 与 满足的数量关系式．
【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，
∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°
或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【点评】此题主要考查利用三角形内角和定理进行等角转换，熟练掌握，即可解题.
23．(本题8分)已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延
长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点
A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【详解】作∠ABO的平分线交AC于点D，
则∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°- (∠OAB+∠OBA)＝135°，
因为BD，BE分别是∠OBA和∠YBA的平分线，
所以BD⊥CB，
所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．
即∠ACB的大小始终为45°．【点评】本题目是一道三角形角平分线的问题，互为邻补角的两个角的平分线垂直.
24．(本题8分)如图，在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5，
（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是______．
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【答案】（1）2；（2）∠C=70°
【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值；
（2）由平行线的性质和已知条件求解即可．
【详解】（1）∵在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5，
∴1＜CD＜4，
∵CD的长为偶数，
∴CD的取值是2．
故答案为2；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．
25．(本题8分) 中， ，点 分别是边 上的点，点 是一动点，令 ，
， ．
（1）若点 在线段 上，如图①所示，且 ，则 _____ ；
（2）若点 在边 上运动，如图②所示，则 、 、 之间的关系为______；
（3）如图③，若点 在斜边 的延长线上运动 ，请写出 、 、 之间的关系式，并说明理
由．【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；
如图3，∠1−∠2＝∠α−90°．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；
（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2−∠1
＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1−∠α＋∠C，∴∠1−∠2＝∠α−90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形
外角的性质是解决问题的关键．
26．(本题10分)如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数
量关系，并证明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到
∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；
②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP
＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到
∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P= (∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.
【详解】(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：
以点O为交点的“8字型”有4个：②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝ （∠B+∠C）= （100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
∴∠BAP＝ ∠CAB，∠BDP＝ ∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝ （∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝ （∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
故答案为(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
