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15.1 分式的概念和性质
分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中
A叫做分子，B叫做分母.
注意：（1）区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）联系：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分
数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如 是整式而不能当作分式.
（4） 是分式，与 有区别， 是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
题型1：分式的概念
1.下列各式中，是分式的是（ ）
-b a+b 1
A． B． C．
ab+a2b
D．
2a 2 2
3ab
π
x 5 3x3 x 1
【变式1-1】代数式 ， x， ， ，4- 中，分式的个数是( )
x+1 2 x π x
A．4 B．3 C．2 D．1
3 3+x 3 3+x x
【变式1-2】在代数式 ， ， +x， ， 中，分式的个数为（ ）．
2+x 2 2 2x πA．2 B．3 C．4 D．5
分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必
须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的
值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
题型2：分式有意义、无意义的条件
x-3
2.使分式 有意义的x的取值范围是( )
2x-1
1 1 1 1
A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x≠
2 2 2 2
x+1
【变式2-1】分式 中隐含着x的取值应该满足的条件是： ．
x(x-1)
3
【变式2-2】要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
x2+2
题型3：分式值为0的条件
x2-1
3.使分式 等于0的x的值是（ ）
x+1
A．1 B．-1 C．±1 D．不存
在
|m|-2
【变式3-1】如果分式 的值为零，那么m的值是（ ）
2m+4
A．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2
x-k
当x＝2时，分式 的值为0，则k、m必须满足的条件是
x+m
．
2-|x|
【变式3-2】若分式 =0 ，则 x= ．
(x-1)(x-2)x2-16
当 x= 时，分式 的值为0.
2x-8
x+1
已知分式 ，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值
2-x
等于 ．
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫
做分式的基本性质，用式子表示是： （其中M是不等于零的
整式）.
注意：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条
件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的
基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取
值范围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母 的取值范围变大了.
题型4：分式的基本性质
4.下列等式中，正确的是（ ）
a a+1 a 2a
A． = B． =
b b+1 b 2b
a a2 0.1a-0.3b a-3b
C． = D． =
b b2 0.2a+b 2a+b
x+ y
【变式4-1】如果把分式中 的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
2xy
1
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
2
C．不变 D．扩大为原来的4倍
xy xy
【变式4-2】若把分式 的x和y都扩大3倍，那么分式 的值（ ）
x+ y x+ y
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．扩大4倍 D．不变
分式的变号法则 分式的约分，最简分式
对于分式中的分子、分母与分式本身的符 与分数的约分类似，利用分式的
号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其 基本性质，约去分子和分母的公因
中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的
分子与分母没有相同的因式（1 除
外），那么这个分式叫做最简分式.
注意：（1）约分的实质是将一个
注意：根据分式的基本性质有 ， 分式化成最简分式，即约分后，分式
的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子
.根据有理数除法的符号法则有
与分母的公因式.分子、分母的公因
式是分子、分母的系数的最大公约数
.分式 与 互为相反数.分式
与相同因式最低次幂的积；当分式的
的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的
分子、分母中含有多项式时，要先将
作用.
其分解因式，使之转化为分子与分母
是不能再分解的因式积的形式，然后
再进行约分.
题型5：约分及最简分式
-x
5.①分式 可化简为（ ）
x2-xy
1 1 1
A．- B．- C． D．
x- y x+ y x+ y
1
x- y
b 3x2y a+b x- y x2+xy
②下列分式① ② ③ ④ ⑤ 中，最简分式有 （填
8a 9x y2 a-b x2- y2 2x
正确答案的序号）．
【变式5-1】约分：
x5 7m2n (a-b) 2
（1） = （2） = （3） = ．
8x2 -35mn2 (b-a) 2
xy+x
【变式5-2】化简分式 的结果是 ．
x2
x2-4
化简 ＝ ．
x2+4x+4
x2-9
化简分式 的结果是 ．
2x-6
分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的
通分.
注意：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次
幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分
母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多
个分式而言.
题型6：分式的通分
1 1 1
6.把分式 ， ， 进行通分，它们的最简公分母是（ ）
x- y x+ y x2- y2
A．x﹣y B．x+y
C．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
1 2
【变式6-1】 与 的最简公分母是 ．
2a2b 3ab3c
1 x-1 1
分式 ， ， ，的最简公分母是
x2-4 x x+2
1 1
分式 与 的最简公分母是
x2- y2 x2-xy
【变式6-2】通分：
2b a
（1） ， - ；
3a2 bc
2x x
（2） ，
x2-9 2x+6
1 2 1
（3） ， ，
x2-6x+9 x2-9 3x-9
题型7：根据分式的正负求字母取值范围
2x-5
7.若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
x2+4
5 5
A．x为任意数 B．x< C．x> D．
2 25
x<-
2
2x-1
【变式7-1】若分式 的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
x2+3
1 1
A．x为任意实数 B．x< C．x> D．
2 2
1
x>-
2
x-1
【变式7-2】若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
(x+1) 2
题型8：化简求值-解方程组
8.已知 ＝0，求 的值．
【变式8-1】已知xyz≠0，且满足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求 的
值．
【变式8-2】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），试求代数式 的值．
题型9：化简求值-整体代入法
9.已知x+y＝6，xy＝9，求 的值．
【变式9-1】（1）已知 ＝1，求 的值；
（2）已知 + ＝2，求 的值．
【变式9-2】已知 ＝2，求 的值．
题型10：化简求值-设辅助参数10.已知 ＝ ＝ ＝ ，且2b﹣d+5f≠0，求 的值．
【变式10-1】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式 的值．
【变式10-2】已知： ，求代数式 的值．
题型11：分式与规律性题
11.观察下面一列分式： ，﹣ ， ，﹣ ，…
（1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？
（2）根据你发现的规律写出第n个分式．
【变式11-1】观察式子： ，﹣ ， ，﹣ ，…，根据你发现的规律知，第8个
式子为 ．
【变式11-2】观察下列各式：2× ＝2+ ；3× ＝3+ ；4× ＝4+ …若n为正整数，
用含n的等式表示上述规律．
一、单选题
x-2
1．若分式 的值等于0，则x的值是（ ）
x+3
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3x
2．若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
x+ y
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．不变 D．缩小3
倍
2x
3．如果分式 中的 x 和 y 都扩大2倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大2倍 B．扩大4倍
C．缩小为原来的一半 D．不变4．下列变形从左到右一定正确的是（ ）
a a-2 a ac a a2 ax a
A． = B． = C． = D． =
b b-2 b bc b b2 bx b
1 x
5．下列不属于分式 与 的公分母的是（ ）
2x2-18 4x+12
A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）
C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）
二、填空题
6ab3
6．化简： = .
4a3b
x
7．若分式 的值为0，则 x 的值为 .
3x+2
x-2
8．若分式 的值为0，则x= ．
x+1
x+2
9．要使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x-1
|x|-1
10．当x 时，分式 有意义．
x-1
三、解答题
b a+b
11．若 =3 ，求 的值.
a a-b
4b2+1
12．当a＞0时，分式4b﹣a﹣ 的值是正还是负？试说明你的理由．
a
1 1 2a-ab-2b
13．已知： - =2，求 的值．
a b a+ab-b
四、综合题
14．请从下列三个代数式a2﹣1，ab﹣b，a2﹣1，ab﹣b中任选两个构造一个分式，并化
简该分式．（1）构造的分式是什么？
（2）化简．
x-5
15．x取什么值时，分式 ；
(x-2)(x+3)
（1）无意义？
（2）有意义？
（3）值为零？
