文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第21章～第23章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．一元二次方程x2−x+3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，3 B．1，−1，3 C．−1，1，3 D．−1，1，−3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程x2−x+3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−1，3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，
一定要带上前面的符号．
2．下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称和轴对称的知识，解题的关键是掌握中心对称的定义，轴对称的定义．
【详解】
A、 是中心对称图形，符合题意；B、 是轴对称图形，不符合题意；
C、 是轴对称图形，不符合题意；
D、 是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．一元二次方程x2+2x+5=0的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式 Δ=b2−4ac，Δ<0时，方程没有实数根；Δ>0时，方程有两
个不相等的实数根；Δ=0时，方程 有两个相等的实数根，将相应的系数代入判别式便可判断.
【详解】∵Δ=b2−4ac=22−4×1×5=4−20=−16<0
根据一元二次方程根的判别式 Δ=b2−4ac，当Δ<0时，原方程没有实数根.
故选A
【点睛】本题旨在考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解此类题目的关键.
4．用配方法解方程x2−10x+20=0，则方程可变形为（ ）
A．(x+5) 2=45 B．(x+5) 2=5 C．(x−5) 2=45 D．(x−5) 2=5
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程整理后，利用完全平方公式变形即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：x2−10x=−20，
配方得：x2−10x+25=5，
即(x−5) 2=5．
故选：D
5．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度θ得到△A′B′C，∠A＝30°，∠1＝70°，则旋转角θ
可能等于（ ）A．40° B．50° C．70° D．100°
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A′＝30°，继而根据∠1＝∠A′+∠ACA′＝70°可得∠θ＝
∠ACA′＝40°
【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度θ得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝70°，
∴∠θ＝∠ACA′＝40°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质. 熟练掌握①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等是解题的关键.
6．关于二次函数y=2(x−2) 2+5．下列说法错误的是（ ）
A．图像与y轴的交点坐标为(0,13) B．图像的对称轴在y轴的右侧
C．x>0时，y的值随x值的增大而增大 D．当x=2时，函数有最小值为5
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的图像与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、当x=0时，y=2×(0−2) 2+5=13，即图像与y轴的交点坐标为(0,13)，则此项正确，
不符合题意；
B、二次函数y=2(x−2) 2+5的对称轴为直线x=2，则图像的对称轴在y轴的右侧，此项正确，不符合
题意；
C、∵二次函数y=2(x−2) 2+5的对称轴为直线x=2，
∴当02时，y的值随x值的增大而增大，
则此项错误，符合题意；
D、∵二次函数y=2(x−2) 2+5的对称轴为直线x=2，抛物线的开口向上，
∴当x=2时，函数有最小值为5，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
7．已知点A(−4,y )，B(−2,y )，C(3,y )在抛物线y=x2+2x+1上，则y ，y ，y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 3 1 2 1 3 3 1 2
【答案】D
【分析】分别计算出自变量为−4，−2和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
【详解】解：把A(−4,y )，B(−2,y )，C(3,y )分别代入y=x2+2x+1得
1 2 3
y =9,y =1,y =16,
1 2 3
故y >y >y
3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌
握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键．
8．如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴
影部分），它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通
道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是（ ）
A．（18﹣2x）（6﹣2x）＝60 B．（18﹣3x）（6﹣x）＝60
C．（18﹣2x）（6﹣x）＝60 D．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60
【答案】D
【分析】利用平移的性质，进而表示出长与宽，根据面积列方程得出答案．
【详解】解：设人行通道的宽度为x米，
根据题意可得：（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出长与宽是解题关键．
9．抛物线y=2(x−1) 2+4先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式为
（ ）
A．y=2(x+1) 2+5 B．y=2(x−3) 2+5
C．y=2(x−3) 2+1 D．y=2(x+1) 2+1
【答案】B
【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”计算即可．
【详解】解：抛物线y=2(x−1) 2+4向右平移2个单位，解析式为y=2(x−3) 2+4；
再向上平移1个单位，解析式为y=2(x−3) 2+5．故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规律是解题关键．
10．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=−mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的m的符号，再判断即可．
【详解】解：选项A：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象可得：−m<0，则m>0，故A不符合题意；
选项B：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0，
2 2
而抛物线的对称轴为：x=− = >0，则m>0，故B不符合题意；
−2m 2m
选项C：由y=mx+m的图象可得：m>0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0， 故C不符合题意；
选项D：由y=mx+m的图象可得：m<0，
由y=−mx2+2x+2的图象开口方向可得：−m>0，则m<0，
2 2
而抛物线的对称轴为：x=− = <0，则m<0，故D符合题意；
−2m 2m
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与
性质”是解本题的关键．
11．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是
（ ）A．16 B．32 C．36 D．64
【答案】B
【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16−x，
1 1 1
则： S= AC⋅BD= x(16−x)= − (x−8) 2+32
2 2 2
当x=8时，S最大为：32﹔
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．
12．函数y=|ax2+bx+c)(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴
上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；
②c=3；
③abc>0；
④3a+c=0；
⑤将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对b
称轴公式x=− ，即可得到2a+b=0，故①正确；由图象可判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴的
2a
交点为(0,−3)，即c=−3，故②错误；根据图象判断a>0，b<0，结合c=−3，可知abc>0，故③正
确；当x=−1时，y=0，结合b=−2a可判断④正确；求出原二次函数的表达式y=x2−2x−3，即可
判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为(1,5)，继而得出直
线y=5与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确．
【详解】解：∵图象经过(−1，0)，(3，0)，
−1+3
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x= =1，
2
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故①正确；
∵a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c=−3<0，故②错误；
∵a>0，
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故③正确；
∵(−1，0)，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故④正确；
∵将点(−1，0)和(3，0)代入y=ax2+bx−3，
{ a−b−3=0 ) { a=1 )
∴ ，解得 ，
9a+3b−3=0 b=−2
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x−3，
∵当x=1时，y=1−2−3=−4，
∴图象上当−1−x+3的解
1 2
集为 ．【答案】0−x+3的解集为00，再运用公式法
−b±❑√b2−4ac
x= 求解；
2a
（2）先移项得到3x(x−3)−5(x−3)=0，再利用因式分解法（提公因式法）求解．
【详解】解：（1）在这里a=4，b=−3，c=−2．
Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×4×(−2)=41>0．
−(−3)±❑√41
∴x=
2×4
3+❑√41 3−❑√41
∴x = ，x = ．
1 8 2 8
（2）解：原方程可变形为：
3x(x−3)−5(x−3)=0．
(x−3)(3x−5)=0．
x−3=0或3x−5=0．
5
解得x =3，x = ．
1 2 3【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的公式法、因式分解法．
20．（8分）斗门某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变动成本，其中固定成本每年均为4万元，
可变动成本逐年增长. 已知该养殖户第1年的可变动成本为2万元，设可变动成本的年平均增长率为
x.
(1)用含x的代数式表示第2年的可变动成本： 万元；
(2)如果该养殖户第3年的成本为6.42万元，求可变动成本的年平均增长率.
【答案】(1)2(1+x); (2)每年的平均增长率为10%.
【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2万元就可以表示出第二年的可变成本为2
（1+x）万元，得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【详解】(1)由题意，得:
第2年的可变成本为：2(1+x)万元，
故答案为：2（1+x）；
(2)2(1+x) 2+4=6.42.
解得，x =0.1，x =−2.1(舍去)
1 2
答：每年的平均增长率为10%.
【点睛】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程
的解法的运用，关键是根据增长率问题的数量关系建立方程．
21．（8分）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为(2,0)．
(1)图中点B点的坐标是___________；点B关于原点对称的点C的坐标是_________；点B关于y轴
对称的点D的坐标是____________；(2)在图中画出△ABD，并画出△ABD绕着点O逆时针旋转90°后的△A B D ；
1 1 1
(3)在x轴上找一点E，使得△ADE的面积等于△ABC的面积，求出点E的坐标．
【答案】(1)(−1,3)；(1,−3)；(1,3)．
(2)画图见解析
(3)E(−2,0)或E(6,0)．
【分析】（1）先根据B的位置可得点B的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特点，关于y轴对称
的点的坐标特点可得C,D的坐标；
（2）先顺次连接A,B,D，可得△ABD，再确定A,B,D旋转后的对应点A ,B ,D ，可得△A B D ，
1 1 1 1 1 1
从而可得答案；
（3）先求解△ABC的面积，再设E(x,0)，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由B的位置可得：B(−1,3)，点B关于原点对称的点C的坐标是(1,−3)，点B关于
y轴对称的点D的坐标是(1,3)．
故答案为：(−1,3)，(1,−3)，(1,3)；
（2）如图，△ABD,△A B D 即为所画的三角形，
1 1 1
1 1
（3）∵S =S +S = ×2×3+ ×2×3=6，
△ABC △ABO △ACO 2 2
设E(x,0)，
1
∴S = ×3×|2−x)=6，
△ADE 2
解得：x=−2或x=6，∴E(−2,0)或E(6,0)．
【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，画旋转图形，求解网格三角形的面积，掌握“利用旋转的
性质画图”是解本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到
△ADE，连接BD，CE交于点F．
(1)求证：BD=CE；
(2)求∠ABD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）根据旋转的性质，得出AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=100°，再根据SAS，
得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）根据（1），得出△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可．
【详解】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=100°，
∵AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）解：由（1）知，AB=AD，∠BAD=100°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=(180°−∠BAD)÷2=(180°−100°)÷2=40°，
即∠ABD的度数为40°．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的
内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．23．（10分）对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n，例如：
1※2=1×2+1+2=5．
(1)化简：1※x；
(2)解关于x的方程：x※(1※x)=3．
【答案】(1)2x+1
(2)x =−1+❑√2，x =−1−❑√2
1 2
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程：
（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义可得2x2+x+x+2x+1=3，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，1※x=x+1+x=2x+1；
（2）解：∵x※(1※x)=3，
∴x※(2x+1)=3，
∴2x2+x+x+2x+1=3，
解得x =−1+❑√2，x =−1−❑√2．
1 2
24．（10分）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：
在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货
商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
(1)设售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y（台）与每月所获得的利润w（元）．
(2)当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？
【答案】(1)y=5x+200；w=−5x2+800x+40000
(2)售价为330元时，利润最大为71500元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，不等式组的应用，解题的关键是理
解题意，求出函数解析式．
（1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，用含x的代
数式表示月销售量y即可；根据月销售利润=每个的利润×月销售量即可得出w与x的函数解析式；
（2）根据这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，列出
不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，再根据二次函数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意得：y=5x+200，
w=(400−x−200)(5x+200)=−5x2+800x+40000；
{400−x≥330 )
（2）解：由题意得， ，
5x+200≥450解得：50≤x≤70，
w=−5x2+800x+40000=−5(x−80) 2+72000，
∵−5<0，二次函数的对称轴为直线x=80，
∴当x=70时，w =71500，
max
400−70=330（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
25．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=8，∠B=90°，D、E分别为AB、BC上的点，
且BD=BE=6，将△DBE绕B点逆时针旋转α(0°<α≤180°)．
(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：AD=CE；
(2)若α=60°，求AD的长；
(3)在△DBE旋转过程中，直接写出CD的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)AD=2❑√13；
(3)CD的最大值为14．
【分析】（1）利用旋转的性质得出角度相等，再证明△ABD≌△CBE即可；
（2）添加辅助线，构造直角三角形，再由勾股定理即可求解；
（3）判断出点D在CB的延长线上时，CD最大，即可得出结论．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
{
AB=CB
)
∠ABD=∠CBE ，
BD=BE
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，当α=60°，即∠ABD=60°，
∵BD=6，∠BFD=90°，∠ABD=60°，
∴∠BDF=30°，
∴BF=3，DF=3❑√3，
∵AB=8，
∴AF=AB−BF=8−3=5，
在Rt△ADF中，DF=3❑√3，AF=5，
∴由勾股定理得：AD=2❑√13，
（3）如图，
则有：CD≤DB+BC，
∴当点D、点B、点C三点共线时，CD最大，最大值为BC+BD=8+6=14．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，判断出△ABD≌△CBE是
解本题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过
A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(−1,0)，
D(5,−6)，P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x−1，y=−x2+3x+4
(2)P(2,6)
(3)存在，点M的坐标为(2+❑√14,−3−❑√14)或(2−❑√14,−3+❑√14)或(4,−5)或(−4,3)
【分析】（1）分别将A(−1,0)，D(5,−6)代入抛物线解析式与直线l的解析式，即可得解；
（2）过点P作PQ⊥x轴，交直线l于点Q，设点P(t,−t2+3t+4)，则点Q(t,−t−1)，得到
PQ=−t2+4t+5，S =−3(t−2) 2+27，结合−1
