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15.4分式（单元检测）
一、单选题
1．如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么 的所有可能的值为（
A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2
【答案】A
【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0
∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．
①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，
原式=1+1+（-1）+（-1）=0，
②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负
原式1+（-1）+（-1）+1=0，
综上， 的值为0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、原式= ，不符合题意；
B、原式为最简分式，符合题意；
C、原式= ，不符合题意；D、原式= ，不符合题意.
故选B．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
3．已知 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C． 或 D．2或
【答案】D
【分析】先由已知条件得到 或 ，再把 通分，并根据完全平方公式变形，然后分两种情
况代入计算即可．
【详解】 ，
或 ，解得 或 ．
原式 ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
原式的值是2或 ．
故选D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2
是解答本题的关键．4．对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运算．例如：
．则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】
∴方程表达为：
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法
则及分式方程的解法．
5．分式 与 的最简公分母是（ ）
A．x4-y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y)
【答案】D
【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．
【详解】∵x2-y2=（x+y）（x-y），
∴（x+y）2与x2-y2的最简公分母为（x+y）2（x-y），
故选D．
【点评】本题考查了最简公分母的确定，关键在于对分母正确分解因式．
6．把实数 用小数表示为（）
A．0.0612 B．6120 C．0.00612 D．612000【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】6.12×10−3＝0.00612，
故选C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．将分式 中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．保持不变 D．缩小到原来的
【答案】A
【分析】根据x、y的值同时扩大3倍后求出分式的值，和原来比较求出结果．
【详解】∵ 中的x、y的值同时扩大3倍，
∴ ＝3 ．
所以扩大了3倍．
故选A．
【点评】本题考查分式的基本性质，关键是算出x，y都扩大后的结果和原来比较即可求解．
8．已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可
【详解】 ，方程两边同乘以 ，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程 的解是非正数， ，
，
解得， ，
故选A．
【点评】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值
9．十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有 米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，
如果实际施工时每天比原计划多铺设 米，就能提前 天完成任务．设原计划每天铺设钢轨 米，则根
据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设原计划每天铺设钢轨 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 米，就能提前 天完
成任务可列方程．
【详解】设原计划每天铺设钢轨 米，可得： ，
故选A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
10．若数a使关于x的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式组和已知条件，确定a的取值范围，求出分式方程的解，求出满足有整数解的a的值
即可解决问题；
【详解】 ;
由①得到：x≥-3，
由②得到：x≤ ，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴-1≤ ＜0，
解得-8≤a＜-3．
由分式方程: =1
解得y=- ，
∵有整数解，
∴a=-8或-4，
-8-4=-12，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小
时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4＝9 D．
【答案】A
【分析】根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然
后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程组即可.
【详解】∵轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴顺流航行时间为： ，逆流航行时间为： ，
∴可得出方程： ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．
12．下列变形从左到右一定正确的是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．
【详解】选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值
不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A错误；
选项B，当c≠0时，等式才成立，即 ，选项B错误；
选项C， 隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出 ，选项C正确；
选项D，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D错误．
故选C．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的
基本性质是解决问题的关键．
二、填空题
13．用换元法解方程 ﹣ ＝1，设y＝ ，那么原方程可以化为关于y的整式方程为_____．
【答案】y2+y﹣2＝0
【分析】可根据方程特点设y＝ ，则原方程可化为 ﹣y＝1，化成整式方程即可．
【详解】方程 ﹣ ＝1，
若设y＝ ，
把设y＝ 代入方程得： ﹣y＝1，
方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．
故答案为：y2+y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总
结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
14．代数式 有意义时，x应满足的条件为______．
【答案】
【详解】代数式 有意义，则 ，解得： ．故答案为 ．15．分式 的值是整数，负整数m的值为_______．
【答案】－1或－3
【解析】
分析：根据分式的性质即可求出答案．
详解：由题意可知： m−1=-1或-2或-4，
当m−1=-1时，
∴m=0，不符合题意，
当m−1=-2时，
∴m=-1，符合题意，
当m−1=-4时，
∴m=-3，符合题意，
综上所述，m=－1或－3，
故答案为－1或－3
点睛：此题考查了分式的值，分式 的值为0，当且仅当A=0，B≠0；分式 的值为1，当且仅当A=B≠0；
分式 的值为-1，当且仅当A=-B≠0.
16．甲、乙两辆汽车同时从 地出发，开往相距 的 地，甲、乙两车的速度之比是 ，结果乙
车比甲车早 分钟到达 地，则甲车的速度为_____ ．
【答案】80
【分析】设甲车的速度为 ，则乙车的速度为 ，根据乙车比甲车早30分钟到达B地列方
程求解即可.
【详解】设甲车的速度为 ，则乙车的速度为 ，依题意，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为80.
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验
根.
三、解答题
17．某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，
已知用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装
的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最
少购进A品牌的服装多少套？
【答案】（1）A、B两种品牌服装的进价分别为100元和75元；（2）最少购进A品牌的服装16套
【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x-25)元，根据关键语句“用
2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装(2a+4)套，根据“可使总的获利超过1200元”可得
不等式(130-100)a+(95-75)(2a+4)≥1200，再解不等式即可．
【详解】（1）设B品牌服装每套进价为x元种，则A品牌服装每套进价为(x+25)元
根据题意得： ，
解得：x=75
经检验：x=75 是原方程的解，x+25=100，
答：A、B两种品牌服装的进价分别为100元和75元；
（2）设购买A种品牌服装a件，则购买B种品牌服装(2a+4)件，
根据题意得： (130-100) a+(95-75) (2a+4) 1200，
解得： ，
∴a取最小值是16，答：最少购进A品牌的服装16套．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每
套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
18．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成
整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计
划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期
完成整个工程.
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】（1）60天；（2）24天.
【解析】
分析：（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意可知一号施工队5天工作总量与一号施工队和二号
施工队合作工作总量之和=1列出方程求解即可；
（2）根据工作总量÷工作效率=工作时间求解即可.
详解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，依题可得
解得x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，
∴由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．
（2）由题可得 （天），
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.
点睛：本题考查了列分式方程解应用题，灵活运用和掌握工作总量÷工作效率=工作时间是解题关键.
19．先化简： ﹣ ÷ ，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中选一个合适的值代入求值．
【答案】 ，2
【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再代入使原分式有意义的值进行计算．【详解】原式＝
∵x＝﹣3或±1时，原式无意义，
∴取x＝0时，原式＝2．
【点评】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．解分式方程
(1) =0 ；(2) .
【答案】（1）x=﹣1；（2）x= .
【分析】（1）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x并检验即可；
（2）先乘以最简公分母去分母，再加减运算求出x并检验即可.
【详解】（1）去分母得：x﹣2﹣3x=0，
解得：x=﹣1，
经检验x=-1是分式方程的解．
（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3，
3x﹣5=﹣3，
解得x= ，
检验：把x= 代入x﹣2≠0，所以x= 是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握分式方程的运算法则.
21．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长 ，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），
其中最大圆的直径为 ，其余圆的直径从左到右依次递减 ．最大圆的左侧距工具板左侧边缘
，最小圆的右侧距工具板右侧边缘 ，相邻两圆的间距d均相等．（1）用含x的代数式表示其余四个圆的直径；
（2）若最大圆与最小圆的直径之比为 ，求相邻两圆的间距．
【答案】（1）其余四个圆的直径从大到小依次为 ， ， ， ．
（2） ．
【分析】（1）根据题意：最大圆的直径为 ，其余圆的直径从左到右依次递减 解答即可；
（2）先根据最大圆与最小圆的直径之比为 列出方程求出x，再根据5个圆的直径+4d+3=21即可列出
方程，解方程即得结果．
【详解】（1）其余四个圆的直径从大到小依次为 ， ， ， ；
（2）由题意可知 ，解得： ．
经检验， 是所列分式方程的解，
．
．
答：相邻两圆的间距为 ．
【点评】本题考查了据题意列出代数式和分式方程的简单应用，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法
是解题的关键．
22．某商场用24 000元购入一批空调，然后以每台3 000元的价格销售，因天气炎热．空调很快售完；商
场又用52 000元再次购入一批该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，
每台的售价也上调了200元．
（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在第二次空调销售中获得的利润率不低于20%，打算将第
二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？【答案】（1）2400元；（2）10台
【分析】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购
入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200
元”列出分式方程解答即可；
（2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于20%，打算将第二
次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
【详解】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得：
＝ ，
解得：x＝2400，
经检验x＝2400是原方程的根，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元；
（2）设将y台空调打折出售，根据题意，得：
（3000+200）×0.95y+（3000+200）×（ ﹣y）≥52000×（1+20%），
解得：y≤10，
答：最多将10台空调打折出售．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会
有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一
个则用来设未知数．解答分式方程时，还要一定要注意验根．
23．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 元，乙种商品共用了 元．已知乙种商品每件
进价比甲种商品每件进价多 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 元，乙种商品的销售单价为
元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销
售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于 元，问甲种
商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为50元，乙种商品的每件进价为60元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为 元，则乙种商品的每件进价为 元，根据购进两种商品件
数相同列分式方程即可得答案；（2）先求出两种商品的数量，根据商品全部售完后共获利不少于 元
列不等式即可得答案.
【详解】 设甲种商品的每件进价为 元，则乙种商品的每件进价为 元．
根据题意，得， ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴x+10=60，
答：甲种商品的每件进价为 元，乙种商品的每件进价为 元.
甲、乙两种商品的数量为 ．
设甲种商品按原销售单价销售 件，
∵商品全部售完后共获利不少于 元，
∴ ，
解得 ．
答：甲种商品按原销售单价至少销售 件．
【点评】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，正确找出等量关系及不等关系是解题关键.
24．已知a、b、c均不等于0，且 + + =0，求证：a2+b2+c2=（a+b+c）2．
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：先将 ＝0两边乘以abc去掉分母得bc＋ac＋ab＝0，然后计算右边＝(a＋b＋c)2＝ a2
＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，然后将bc＋ac＋ab＝0代入即可得出结论．试题解析：
解：由 ＝0，得bc＋ac＋ab＝0
∴右边＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)
＝a2＋b2＋c2
∴右边＝a2＋b2＋c2＝左边，
∴等式成立．
