文档内容
人教八年级上册数学期中模拟卷
（考试范围：三角形、全等三角形、轴对称 考试时间 120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引领】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【总结提升】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
2．根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3 B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
【答案】D
【思路引领】根据各个选项中的条件，可以判断是否可以画出唯一△ABC，从而可以解答本题．
【解答】解：当AB＝1，BC＝2，CA＝3时，1+2＝3，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A
不符合题意；
当AB＝7，BC＝5，∠A＝30°时，可以得到点B到AC的距离为3.5，可以画出两个三角形，如图1所示，
故选项B不符合题意；
当∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°时，可以画出很多的三角形ABC，如图2所示，故选项C不符合题
意；
当AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°时，可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；
故选：D．【总结提升】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图 1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中
的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引领】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【解答】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对
称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【答案】B
【思路引领】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断
A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，
不能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
{AD=AD
，
DE=DC
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【总结提升】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性
质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
5．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的
角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【思路引领】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
【解答】解：根据伞的结构，AE＝AF，伞骨DE＝DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
{AE=AF
DE=DF，
AD=AD
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故选：A．
【总结提升】本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关
键．
6．△ABC中，AB＝AC，E在BC上，D在AE上．则下列说法：
①若E为BC中点，则有BD＝CD；
②若BD＝CD，则E为BC中点；
③若AE⊥BC，则有BD＝CD；
④若BD＝CD，则AE⊥BC． 其中正确的有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【思路引领】根据△ABC为等腰三角形，有三线合一的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高相互重合．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴当E为BC中点时，可得△ABD≌△ACD，因此BD＝CD，故①正确；
当BD＝CD时，可得△ABD≌△ACD，由∠BAD＝∠CAD可得，E为BC中点，故②正确；当AE⊥BC时，由三线合一可得，AE是BC的垂直平分线，因此BD＝CD，故③正确；
当BD＝CD时，可得△ABD≌△ACD，由∠BAD＝∠CAD可得，AE⊥BC，故④正确．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题时注意：在①等腰；②底边上的高；③底
边上的中线；④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素
为结论．
7．如图，某海域中有A，B，C三个小岛．其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且
B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏西75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【答案】A
【思路引领】根据方向角的定义以及等腰三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意得，∠ABE＝40°，∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝40°+35°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠BAD＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C在小岛A的北偏东70°，
故选：A．【总结提升】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形
内角和定理是正确解答的前提．
8．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在
△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼
接成矩形BCHG．若DE＝5，AF＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【思路引领】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝5，
∴BC＝GH＝5+5＝10，
∴△ABC的边BC上的高为8，
1
∴S△ABC =
2
×10×8＝40，
故选：D．
【总结提升】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解
题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF．则下列结论：①BG＝CF；②BG⊥CF；③BC＝2AE；④EF＝
EG，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【思路引领】证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与
对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出AM＝BD，同理△ANG≌△CDA，得出
NG＝AD，AN＝CD，则FM＝NG，证明△FME≌△GNE（AAS），得出EM＝EN．则可得出③正确，
由△FME≌△GNE可得出结论④正确．
【解答】解：∵∠BAF＝∠CAG＝90°，
∴∠BAF+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAF＝∠GAB，
又∵AB＝AF＝AC＝AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG＝CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA＝∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，∵∠FMA＝∠FAB＝∠ADB＝90°，
∴∠FAM+∠BAD＝90°，∠FAM+∠AFM＝90°，
∴∠BAD＝∠AFM，
又∵AF＝AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴AM＝BD，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG＝AD，AN＝CD，
∴FM＝NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME＝∠ENG＝90°，
∵∠AEF＝∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EM＝EN，
∴BC＝CD+BD＝AN+AM＝AE+EN+AE﹣EM＝2AE．
故③正确，
∵△FME≌△GNE，
∴EF＝EG．
故④正确．
故选：D．
【总结提升】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，
三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于E，过点D作DM⊥AB于M，连接CD下列结
论：①若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB；②若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABD＝180°，③若DE＝
DB，则∠ACB＝90°，④过点C作CH⊥AD于H，则DA﹣DB＝2DH．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④【答案】A
【思路引领】①正确．如图1中，作EF⊥AB于F．只要证明△AEC≌△AEF即可；
②正确．如图2中，作DG⊥AC于G．只要证明△DGC≌△DMB即可；
③错误．因为DE＝DB，推出点D在线段BE的垂直平分线上，当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点
D；
④如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证
明△ACN≌△BCD即可．由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故④错误，
【解答】解：①如图1中，作EF⊥AB于F．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
∵∠EAC＝∠EAF，∠ACE＝∠AFE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AEF，
∴AC＝AF，EC＝EF，
∴AC+CE＝AF+EF＝AF+BF＝AB，故①正确，
②如图2中，作DG⊥AC于G．易证△ADG≌△ADM，
∴AM＝AG，DG＝DM，
∵AC+AB＝AG﹣CG+AM+BM＝2AM，
∴CG＝BM，
∵∠DGC＝∠DMB＝90°，
∴△DGC≌△DMB，
∴∠DCG＝∠DBM，
∵∠DCG+∠ACD＝180°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，故②正确．
③错误．∵DE＝DB，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D．
④如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证
明△ACN≌△BCD即可．
由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故④错误，
故选：A．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12道题每题3分，第13-18题每题4分，共30分）
11．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂
足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为 25 ° ．【答案】25°．
【思路引领】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解
∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
【总结提升】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
12．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③BC＝BD，能判定
Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件是
【答案】D
【思路引领】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD
（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD
（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
【总结提升】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全
等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的
判定方法．13．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB：BC＝4：7，S△ADC ＝6，则S△ABD ＝ 8 ．
【答案】8．
【思路引领】设AB＝4x，BC＝7x，如图，延长AD交BC于E，构建面积相等的三角形，根据三角形中
线平分三角形的面积可得S△DEC ＝S△ADC ＝6，由同高三角形面积的关系可得S△BDE ＝8，从而得结论．
【解答】解：设AB＝4x，BC＝7x，
如图，延长AD交BC于E，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠BAD＝∠BED，
∴AB＝BE＝4x，
∴AD＝DE，CE＝7x﹣4x＝3x，
∵S△ADC ＝6，
∴S△DEC ＝S△ADC ＝6，
∴S△BDE ＝8，
∵AD＝DE，
∴S△ADB ＝S△BDE ＝8．
故答案为：8．
【总结提升】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，等腰三角形判定和性质的应用，三角形
的面积，掌握同高三角形面积的比就是对应底边的比是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
14．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝ 45 ° ．【答案】见试题解答内容
【思路引领】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【解答】解：如图所示，作CD∥AB，连接DE，
则∠2＝∠3，
设每个小正方形的边长为a，
则CD=❑√5a，DE=❑√5a，CE=❑√10a，
∵CD2+DE2=(❑√5a) 2+(❑√5a) 2=10a2＝CE2，CD＝DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝45°，
∴∠3+∠1＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
故答案为：45°．
【总结提升】本题考查全等图形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思
想解答．
15．过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三
角形的底角度数为 36 ° 或 45 ° ．
【答案】36°或45°．
【思路引领】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∵∠CDA＝2∠ABC，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝36°，
（2）如图．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：36°或45°．
【总结提升】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注
意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图
形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图 1）．结合轴对称
变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图 2）的对应点所具
有的性质是 对应点到对称轴的距离相等 ．【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）根据平移，轴对称的性质解答即可．
（2）对应点到对称轴的距离相等
【解答】解：（1）平移：AB＝A′B′，AB∥A′B′．
轴对称：AB＝A′B′，AA′∥BB′，
故答案为：AB＝A′B′，AB∥A′B′；AB＝A′B′；AA′∥BB′．
（2）对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【总结提升】本题考查作图﹣平移变换轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，A（0，1），B（3，1），C（4，3），D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶
点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标是 （﹣ 1 ， 3 ）或（﹣ 1 ，﹣ 1 ）或（ 4 ，﹣ 1 ） ．
【答案】（﹣1,3）或（﹣1，﹣1）或（4，﹣1）．
【思路引领】根据对称性画出图形可得结论．
【解答】解：如图，满足条件的点D有三个，D(﹣1，3),D′(﹣1，﹣1),D″(4，﹣1)．故答案为：（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（4，﹣1）．
【总结提升】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确画出图形解决问
题．
18．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P
以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动
（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，
11
垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为 1 或 或
5
23
．
5
【答案】见试题解答内容
【思路引领】分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，
11
∴t= ，
5
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t﹣5＝18﹣3t，
23
∴t= ，
5
11 23
综上所述：t的值为1或 或 ．
5 5
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD，求证：CF＝DF．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】连接AC，AD，证明三角形全等，得到等腰三角形，由三线合一得到结论．
【解答】证明：连接AC，AD，
{
AB=AE
在△ABC与△AED中， ∠B=∠E
BC=ED
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，
∵AF⊥CD，
∴CF＝DF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作辅助线是解题的关键．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C
（3，2）．
（1）将△ABC向下平移四个单位长度，画出平移后的△A B C ；（点A、B、C的对应点分别是点A 、
1 1 1 1
B 、C ）；
1 1
（2）画出△A B C 关于y轴对称的△A B C （点A 、B 、C 的对称点分别是点A 、B 、C ），并直接
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
写出点C 的坐标．
2
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）依据△ABC向下平移四个单位长度，即可画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A B C 关于y轴对称的△A B C ，并得到点C 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求，点C 的坐标为（﹣3，﹣2）．
2 2 2 2
【总结提升】本题考查了平移，轴对称变换的运用，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键
点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．21．（10分）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件
就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 AB＝DE；乙说：添加
AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 甲、丙 ；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
【答案】（1）甲、丙；
（2）证明见解答．
【思路引领】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要
添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【解答】解：（1）说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
¿，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【总结提升】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（12分）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交
AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．【答案】（1）见解析；
（2）10．
【思路引领】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的
定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，
根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
{∠BAF=∠DAF
∠ABF=∠ADF，
AF=AF
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形
的判定定理证得△ABF≌△ADF是解题的关键．
23．（10分）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明
△ACD≌△AFD，可得∠ADC＝∠ADF即可解题．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，
∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，
∴CD＝FD，
∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
在△ABC和△AEF中，
{
AB=AE
∠ABC=∠AEF，
BC=EF
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC＝AF，
在△ACD和△AFD中，
{AC=AF
CD=FD，
AD=AD
∴△ACD≌△AFD（SSS）
∴∠ADC＝∠ADF，
即AD平分∠CDE．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABC≌△AEF是解题的关键．
24．（10分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于
F，求证：AF＝EF．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应
角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AF等于EF．
【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴DC＝DB，
在△ADC和△GDB中，
{
AD=DG
∠ADC=∠GDB(对顶角相等)
DC=DB
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD＝∠G，BG＝AC
又∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠BED＝∠G，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠CAD，
即：∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三
角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．
25．（14分）在平面直角坐标系中，对于点M（a，b），N（c，d），将点M关于直线x＝c对称得到点
M′，当d≥0时，将点M′向上平移d个单位，当d＜0时，将点M′向下平移|d|个单位，得到点P，
我们称点P为点M关于点N的对称平移点．
例如，如图已知点M（1，2），N（3，5），点M关于点N的对称平移点为P（5，7）．
（1）已知点A（2，1），B（4，3），
①点A关于点B的对称平移点为 （ 6 ， 4 ） （直接写出答案）．
②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为 （ 3 ，﹣ 2 ．（直接写出答案）
（2）已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D的横坐标为m，点E的坐标为（1.5m，0）．点K
为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K为顶点的三角形围成的面积为1，求m的值．
【答案】（1）①（6，4）；②（3，﹣2）；
（2）m＝±2．
【思路引领】（1）①②根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论．
（2）分两种情形：m＞0，m＜0，利用三角形面积公式，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，点A关于点B的对称平移点为F（6，4）．
故答案为：（6，4）．
②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）；
（2）如图2中，当m＞0时，四边形OKDE是梯形，
∵OE＝1.5m，DK＝0.5m，D（m，m），
1
∴S△DEK =
2
×0.5m×m＝1，∴m＝2或﹣2（舍弃），
当m＜0时，同法可得m＝﹣2，
综上所述，m的值为±2．
【总结提升】考查坐标与图形变化﹣旋转，三角形的面积公式，轴对称，平移变换等知识，解题的关键
是理解新定义，学会利用参数构建方程解决问题．
26．（16分）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿
矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，BP＝ 2 cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点 P为顶点的三角形与
△DCQ全等．
【答案】（1）BP＝2；
（2）t＝1或3或9时，△CDP是等腰三角形；
（3）2.5或4.5或7.5或9.5．
【思路引领】（1）当t＝3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）分三种情况讨论，①当点P在AB上时，②当点P在BC上时，③当点P在AD上时，根据全等
三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案；
（3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即
可计算出时间．
【解答】解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
1
∴AP= AB=2，
2
2
∴t= =1，
2
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝4，
∴BP＝CB﹣CD＝2，
AB+BP 4+2
∴t= = =3，
2 2
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝4，
AB+CB+CD+DP 4+6+4+4
∴t= = =9，
2 2
综上所述，t＝1或3或9时，△CDP是等腰三角形；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到P 时，CP ＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP ，
1 1 1
∴点P的路程为：AB+BP ＝4+1＝5，
1
∴t＝5÷2＝2.5，
②当点P运动到P 时，BP ＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP ，
2 2 2
∴点P的路程为：AB+BP ＝4+5＝9，
2
∴t＝9÷2＝4.5，
③当点P运动到P 时，AP ＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP ，
3 3 3
∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP ＝4+6+4+1＝15，
3
∴t＝15÷2＝7.5，
④当点P运动到P 时，即P与Q重合时，DP ＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP ，
4 4 4∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP ＝4+6+4+5＝19，
4
∴t＝19÷2＝9.5，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的秘技，矩形的性质，线段的动点问题，
解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
