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第 2 课时 矩形的判定
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE
是△BAC 的外角平分线，∴∠FAE＝
∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
1．掌握矩形的判定方法；(重点) ∴ ∠ B ＝ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＝ ∠ EAC ，
2．能够运用矩形的性质和判定解决实 ∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB
际问题．(难点) 是平行四边形，∴AE 平行且等于 BD.又
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平
行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边
形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE
是矩形．
一、情境导入 方法总结：平行四边形的判定与性质以
我们已经知道，有一个角是直角的平行 及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行
四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以 四边形的判定得出四边形是平行四边形再
依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我 证明其中一角为直角即可．
们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 探究点二：对角线相等的平行四边形是
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴 矩形
对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线相等且互相平分；
2．四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法
有什么启示？
二、合作探究 如图，在平行四边形ABCD中，对
探究点一：有一个角是直角的平行四边 角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON
形是矩形 ＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：
四边形NDMB为矩形．
解析：首先由平行四边形 ABCD可得
OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝
OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四
边形NDMB的对角线相等且互相平分，即
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD 可得证．
是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线， 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE ∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝
是矩形． OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴
解析：首先利用外角性质得出∠B＝ 四边形NDMB为矩形．
∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到 方法总结：证明一个四边形是矩形，若
AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四 题设条件与这个四边形的对角线有关，通常
边形，再利用平行四边形的性质得出四边形 证这个四边形的对角线相等．
ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可 探究点三：有三个角是直角的四边形是
得出四边形ADCE是矩形． 矩形
第 1 页 共 3 页又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝
OD.∵F 是 BO 中点，OF＝2cm，∴BO＝
4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝
4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝
如图，▱ABCD各内角的平分线分 4cm，∴S ＝4×4＝16(cm2)．
矩形ABCD
别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 方法总结：若题设条件与这个四边形的
是矩形． 对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通
解析：利用“有三个内角是直角的四边 常证这个四边形的对角线相等且互相平分．
形是矩形”证明四边形EFGH是矩形． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点问
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 题
∴ AD∥BC ， ∴ ∠ DAB ＋ ∠ ABC ＝
180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝
×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝ 如图所示，在梯形 ABCD 中，
∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形． AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝
方法总结：题设中隐含多个直角或垂直 26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D
时，常采用“三个角是直角的四边形是矩 以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿
形”来判定矩形． 着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点
探究点四：矩形的性质和判定的综合运 P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一
用 点到达端点时，另一点随之停止运动．
【类型一】 矩形的性质和判定的运用 (1)经过多长时间，四边形PQCD是平
行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是
平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即
如图，O是矩形ABCD的对角线 可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，
的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 根据AP＝BQ，代入后求出即可．
上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 解：(1)设经过ts，四边形PQCD为平行
(1)求证：四边形EFGH是矩形； 四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、 ＝6；
OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形 (2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即
ABCD的面积． AP＝
解析：(1)证明四边形EFGH对角线相 BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝.
等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长 方法总结：①证明一个四边形是平行四
CD和BC，然后根据矩形面积公式求得． 边形，若题设条件与这个四边形的边有关，
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA 通常证这个四边形的一组对边平行且相等；
＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH， ②题设中出现一个直角时，常采用“有一角
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－ 是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．
DH，即 OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形 三、板书设计
EFGH是矩形； 1．矩形的判定
(2)解：∵G 是 OC 的中点，∴GO＝ 有一角是直角的平行四边形是矩形；
GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°. 对角线相等的平行四边形是矩形；
第 2 页 共 3 页有三个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的性质和判定的综合运用
在本节课的教学中，不仅要让学生掌握
矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习
的过程中是否真正掌握了探究问题的基本
思路和方法．教师在例题练习的教学中，若
能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、
迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的
思维，提高课堂教学的效率．
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