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2023-2024 学年七年级人教版初中数学下学期期末模拟试卷 2
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
测试范围：相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、
不等式与不等式组、数据的收集、整理与描述
⭐ 知识点分析 共计：26个知识点
知识点 题量 占比
无理数 1 3.85%
垂线段最短 1 3.85%
调查收集数据的过程与方法 1 3.85%
算术平方根 1 3.85%
点的坐标 1 3.85%
统计图的选择 1 3.85%
同位角、内错角、同旁内角 1 3.85%
平行线的性质 1 3.85%
立方根 1 3.85%
平移的性质 1 3.85%
二元一次方程的解 1 3.85%
总体、个体、样本、样本容量 1 3.85%
解三元一次方程组 1 3.85%
不等式的性质 1 3.85%
不等式的解集 1 3.85%
解一元一次不等式组 1 3.85%
坐标与图形变化-平移 1 3.85%
二元一次方程的应用 1 3.85%
平行线的判定 1 3.85%
实数的运算 1 3.85%
解二元一次方程组 1 3.85%
一元一次不等式的整数解 1 3.85%
一元一次不等式组的应用 1 3.85%
二元一次方程组的应用 1 3.85%
一元一次不等式的应用 1 3.85%
频数（率）分布直方图 1 3.85%
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．在数 ， ，0.314， ， ，5中，无理数的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接根据无理数的定义解答即可．
【解答】解： ，
， ，是无理数，共2个．
故选： ．
【点评】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含 的，②
一些有规律的数，③开方开不尽的数．
2．如图，要把河中的水引到水池 中，应在河岸 处 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样
做依据的几何学原理是
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池 中，应在河岸 处 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选： ．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
3．小夏为了了解她所在小区（约有3000人）市民的运动健身情况，她应采用的收集数据的方式是
A．对小区所有成年人发问卷调查
B．对小区内所有中小学生发问卷调查
C．在小区出入居民随机发问卷进行调查
D．挨家挨户发问卷调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．
【解答】解： 、对小区所有成年人发放问卷进行调查调查不具代表性、广泛性，故 错误；
、对小区内所有中小学生发放问卷进行调查调查不具代表性、广泛性，故 错误；
、在小区出入口对出入居民随机发放问卷进行调查具代表性、广泛性，故 正确；
、挨家挨户发放问卷进行调查费人力、物力和时间较多，故 错误；
故选： ．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4． 的算术平方根是
A．4 B．2 C． D．
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解： ，4的算术平方根为2，
的算术平方根是2，
故选： ．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
5．点 在第二象限，距离 轴5个单位长度，距离 轴3个单位长度，则 点的坐标为A． B． C． D．
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【解答】解： 点 位于第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离 轴5个单位长度，距离 轴3个单位长度，
点的坐标为 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，
第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
6．要反应一周气温的变化情况，宜采用
A．统计表 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．折线统计图
【分析】反应一周气温的变化情况，即反应一周气温的升高、降低的变化情况，因此采取折线统计图较好．
【解答】解：折线统计图能够直观反应出一组数据的增减变化情况，因此要反应一周的气温变化情况，采
用折线统计图较好，
故选： ．
【点评】考查统计图的选择，条形统计图能直观反映出各个数据的多少；折线统计图则反应数据的增减变
化情况；扇形统计图反映各个部分占整体的百分比，因此可以根据反映问题的实际需要，正确选择恰当的
统计图．
7．如图，图中 与 是同位角的序号是
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．
【解答】解：图①中 和 是同位角，图②中 和 是同位角，图③中 和 不是同位角，图④中
和 是同位角，
故选： ．【点评】本题考查了同位角的定义，能够理解同位角的定义是解此题的关键，数形结合思想的运用．
8．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， ， 两点落在 ， 处，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的性质可得出 ，再根据 ，即可得出 的度数．
【解答】解： 把一张长方形的纸按图那样折叠后， ， 两点落在 ， 处，
，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键．
9．面积为9的正方形的边长是
A．9的算术平方根 B．9的平方根
C．9的立方根 D．9开平方的结果
【分析】设正方形边长为 ，根据面积公式得方程，解出即可．
【解答】解：设正方形边长为 ，
根据面积公式得： ，
解得 ， 不合题意，舍去，
故选： ．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念的运用，熟练掌握它们的区别与联系，根据
题意列出方程是解题关键．
10．如图， 沿着点 到点 的方向平移到 的位置， ， ， ，平移距离为7，则阴影部分的面积为
A．12 B．16 C．28 D．24
【分析】由 ，推出 即可解决问题．
【解答】解： 平移距离为7，
，
， ，
，
，
，
阴影部分的面积为 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的
线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．已知 是方程 的解，则代数式 的值为 9 ．
【分析】把 代入方程 得出 ，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：把 代入方程 得：
，所以 ．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出 是解此题的关键．
12．为了了解某地区初一年级5000名学生的体重情况，从中抽取了480名学生的体重，这个问题中的样本
容量是 48 0 ．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目填空即可．
【解答】解： 从中抽取了480名学生的体重进行分析，
在这个问题中，样本容量是480，
故答案为：480．
【点评】本题考查了样本容量，解题要分清具体问题中的样本，关键是明确考查的对象．样本容量是样本
中包含的个体的数目，不能带单位．
13．三元一次方程组 的解是 ．
【分析】先把第二个方程和第三个方程相加消去 ，则可组成关于 、 的二元一次方程组，再解二元一
次方程组，然后利用代入法求出 的值，从而得到原方程组的解．
【解答】解： ，
② ③得 ，
整理得 ④，
由①④组成方程组得 ，
解得 ，
把 ， 代入②得 ，
解得 ，所以原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组．
14．用“ ”或“ ”填空：若 ，则 ．
【分析】由解不等式的方法求解．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点评】考查了不等式的性质注意：①移项要变号，②不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的
符号要改变．
15．已知 是不等式 的解，且 不是这个不等式的解，则实数 的取值范围是
．
【分析】根据 是不等式 的解，且 不是这个不等式的解，列出不等式，求出
解集，即可解答．
【解答】解： 是不等式 的解，
，
解得： ，
不是这个不等式的解，
，
解得： ，，
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式的解集．注意解决本题的关键是求不等式的解集．
16．不等式组 的解集是 ，那么 的取值范围是 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
17．点 在 轴的上方，将点 向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点 ，
点 到 轴的距离大于点 到 轴的距离，则 的取值范围是 ．
【分析】根据点 在 轴的上方即可求得 ，由向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求得 点的坐标，
然后根据点 到 轴的距离大于点 到 轴的距离，得到关于 的不等式，进一步求得 ．
【解答】解： 点 在 轴的上方，
，
，
将点 向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点 ，则点 的坐标为 ，即
，
点 到 轴的距离大于点 到 轴的距离，，
解得 ．
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了坐标与图形变化 平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
18．陕西全民阅读工作深入推进，书香社会建设进展明显，读书学习蔚然成风．某校为加强爱读书、读好
书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有 种展示架120元 个， 种展示
架180元 个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，一共有 3 种购买方案．
【分析】设购买 种展示架 个， 种展示架 个，根据准备用720元购买图书展示架， 种展示架
120元 个， 种展示架180元 个，列出二元一次方程，求出非负整数解即可．
【解答】解：设购买 种展示架 个， 种展示架 个，
由题意得： ，
整理得： ，
、 为非负整数，
或 或 ，
一共有3种购买方案，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．如图， 与 相交于点 ， ，且 平分 ．试说明： ．
【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到 ，则可证明 ，根据平行线的判定
即可证明 ．
【解答】证明：因为 平分 ，所以 （角平分线的定义）．
因为 （对顶角相等），
所以 （等量代换）．
因为 ，
所以 （等量代换）．
所以 （同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
20．计算： ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：（1） ，
由②，可得： ③，
③代入①，可得： ，解得 ，
把 代入③，解得 ，
原方程组的解是 ．
（2）原方程组可化为： ，
① ②，可得 ，
解得 ，
把 代入①，解得 ，
原方程组的解是 ．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
22．计算：
（1） ；
（2）解不等式 ，并写出其非负整数解．
【分析】（1）根据含有乘方的有理数的运算法则，求一个数的立方根的运算，二次根运算法则即可求
解；
（2）根据不等式的性质求解，并找出其非负整数解即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
去分母得， ，
去括号得， ，移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
非负整数解为：0，1，2．
【点评】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，二次根式的运算，三次根式的运算，解一元一次
不等式的综合，掌握以上知识是解题的关键．
23．为改善办学条件，北海中学计划购买部分 品牌电脑和 品牌课桌．第一次，用9万元购买了 品牌
电脑10台和 品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了 品牌电脑12台和 品牌课桌120张．
（1）每台 品牌电脑与每张 品牌课桌的价格各是多少元？
（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买 品牌电脑35台以上（含
35台），按九折销售，一次购买 品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万
元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案？
【分析】（1）设每台 品牌电脑 元，每张 品牌课桌 元，列方程组即可求解；
（2）设购电脑 台，课桌 张，列出方程组，解得 、 的取值范围，再确定购买方案．
【解答】解：（1）设每台 品牌电脑 元，每张 品牌课桌 元，
则有 ，解得 ．
答：每台 品牌电脑6000元，每张 品牌课桌150元．
（2）有两种方案．设购电脑 台，则课桌有 张，
则有 ，
解得： ，
则 或36．
时， （张 ；
时， （张 ．
方案①：购电脑35台，课桌675张；方案②：购电脑36台，课桌630张．
【点评】（1）是二元一次方程组的应用，找到两个等量关系式是关键；
（2）考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系
式实关键．
24．李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第
三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：
购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用
第一次 5 5 900
第二次 6 7 1180
第三次 9 8 1064
（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？
（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
【分析】（1）设甲商品的标价是 元，乙商品的标价是 元，利用总价 单价 数量，结合前两次购买的
数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设商场是打 折出售这两种商品的，利用总价 单价 数量，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲商品的标价是 元，乙商品的标价是 元，
依题意得： ，
解得： ，
答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元；
（2）设商场是打 折出售这两种商品的，
依题意得： ，
解得： ，
答：商场是打7折出售这两种商品的．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，他选定了 、 两款网红饰品，
其进价分别为每个 元、 元．已知购进 款饰品8个和 款饰品6个所需花费相同；购进 款饰品10个
和 款饰品4个共需230元．
（1）请求出 、 两款饰品的进价分别是多少？（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中 款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他
有哪几种购进方案？
（3）小李最后准备将 、 两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照（2）中能够获得最大利润
的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利
润率不低于 ，那么他给出的红包总额不能超过多少元？
【分析】（1）根据购进 款饰品8个和 款饰品6个所需花费相同；购进 款饰品10个和 款饰品4个
共需230元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，以及（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买
的饰品都是整数个；
（3）根据题意和题目中的数据，可以写出利润与购进 款饰品数量的函数关系式，然后根据（2）中 款
饰品数量的取值范围，可以求得利润的最大值，再根据题意，可以列出相应的不等式，再求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得 ，
答： 款饰品的进价为15元 个， 款饰品的进价为20元 个；
（2）设购进 款饰品 个，则购进 款饰品 个，
由题意可得： ，
解得 ，
又 款饰品最多62个，
，
为整数，
，61，62，
共有三种购买方案，
方案一：购进 款饰品60个，购进 款饰品40个；
方案二：购进 款饰品61个，购进 款饰品39个；
方案三：购进 款饰品62个，购进 款饰品38个；（3）设利润为 元，
由题意可得： ，
随 的增大减小，
且 为整数，
当 时， 取得最大值，此时 ，
设小李给出的红包总额为 元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：小李给出的红包总额不能超过85元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
26．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．某学校为了解学生对“航空航天知识”
的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给
出部分信息： ．学生成绩的统计图如图所示（数据分为五组： ， ， ，
， ．
．成绩在这一组的是
80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
．成绩不低于85分为优秀．
根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查采用的方式是 抽样调查 ，样本容量是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的定义可知本次调查采用的方式是抽样调查，用“ ”的
频数除以对应的频率可得样本容量；
（2）根据题意可得“ ”和“ ”的频数，进而补全频数分布直方图；
（3）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可．
【解答】解：（1）本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是： ，
故答案为：抽样调查，50；
（2）成绩在 这一组的共有16名，成绩在 这一组的有 （名 ．
补全频数分布直方图如下：
（3） （名 ．
答：该校七年级学生达到优秀的大约有160名．
