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19.1 二次根式及其性质
知识点一 二次根式的定义
1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ ，⑦ ，其中二次根式有（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·广西玉林·月考）有下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤12，其中一
定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点二 求二次根式的值
1．（24-25八年级下·广东中山·月考）当 时，二次根式 的值为 ．2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当 时，二次根式 的值是 ．
3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当 时，二次根式 的值为 ．
4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当 时， 的值是 ．
知识点三 求二次根式的参数
1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若 ，则 ．
3．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
知识点四 二次根式有意义的条件
1．（2024·湖南·模拟预测）请写出一个使 有意义的a的值 ．
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）要使代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式 有意义时，x的取值范围是 ．
4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子 有意义，则 的取值范围是
知识点五 二次根式的化简
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： ； ．
2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ．
3．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ．
4．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）化简 ．1．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像 ， …这样的根式叫做复合二次根式，有一些
复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：① ；② ；
(2)化简： ；
(3)化简： ．
2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有
， ， ．这样可以把部分 的式子化为平方式的方法．
∴
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．
3．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：______；
______；
______；
【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第 个等式（ 为正整数），并证明；
【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算： ．
4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“整数区间”为 ；同理规定无理数 的
“整数区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，所以 的“整数区间”为 ，
的“整数区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“整数区间”是 ； 的“整数区间”是 ；
(2)若无理数 （ 为正整数）的“整数区间”为 ， 的“整数区间”为 ，求 的
值；
(3)实数 ， ， 满足关系式： ，求 的算术
平方根的“整数区间”．
