文档内容
19.1 二次根式及其性质
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解( )2=a(a≥0)和 =a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
√a √a2
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出( )2=a(a≥0)和探究
√a √a2
=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
【过程与方法】
在明确( )2=a(a≥0)和 =a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用
√a √a2
性.
【情感态度与价值观】
通过运用二次根式的性质进行化简计算,解决一些实际问题,培养
学生解决问题的能力.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时
1 / 11四、教学重难点
【教学重点】
掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【教学难点】
能运用二次根式的性质化简.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么？
（二）探索新知
1.探究 的性质（出示课件5-7）
2
(√a) (a≥0)
教师问：什么叫作一个数的平方根？如何表示？
学生答：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这
个数x就叫作a的平方根.a的平方根是±√a.
教师问：什么叫作一个数的算术平方根？如何表示？
2 / 11学生答：正数有两个平方根，其中正的平方根√a叫作a的算术平
方根.用√a(a≥0)表示.
教师出示问题：
填空：
(√3)
2=(
)，(√0.5)
2=(
)
2
(√1)
=( )，(√0) 2=( )
3
学生答： ，
(√3)
2=3，(√0.5) 2=0.5
2
(√1)
=
1
，(√0) 2=0.
3 3
教师问：通过（1）的计算，你能确定( √a )²（a≥0）的化简结果
吗？说说你的理由.
师生一起解答：√3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于3的非负数，因此有 .
√3 (√3) 2=3
√1 1
同理，√0.5， ，√0分别是0.5， ，0的算术平方根.
3 3
2
因此，
(√0.5) 2=0.5，
(√1)
=
1
，(√0) 2=0.
3 3
教师总结点拨：（出示课件8）
（√a）2(a≥0)的性质：一般地，（√a）2＝a (a ≥0).
3 / 11即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
教师强调：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式√a有意
义的前提条件.
考点1：利用（√a）2(a≥0) 的性质进行计算
计算：（1） ；（2） .（出示课件9）
2 2
(√1.5) (2√5)
师生共同解答如下：
解：（1）（√1.5）2 =1.5；
（2）（2√5）2=22×（√5）2=4×5=20.
出示课件10，学生自主练习，教师给出答案。
考点2：利用（√a）2(a≥0) 的性质分解因式
在实数范围内分解因式：（出示课件11）
（1） 4x2−5； (2)m4−6m2+9.
师生共同解答如下：
解：（1） 4x2−5=(2x+√5)(2x−√5) ;
（2）
m4−6m2+9=(m2−3) 2=(m+√3) 2 (m−√3) 2 .
教师总结点拨：
本题逆用了（√a）2=a(a≥0) 在实数范围内分解因式.
4 / 11出示课件12，学生自主练习，教师给出答案.
2.探究 的性质（出示课件13-15）
√a2
教师问：你能解释下列式子的含义吗?
√22
,
√0.12
, √ (2) 2,
√02
.
3
学生独立思考后，教师找四名学生回答.
学生1答： 表示2的平方的算术平方根.
√22
学生2答： 表示0.1的平方的算术平方根.
√0.12
学生3答： √ (2) 2表示2的平方的算术平方根.
3 3
学生4答： 表示0的平方的算术平方根.
√02
教师展示问题:
化简下列根式，想一想.
√22
=_____;
√0.12
=_______;√ (2) 2=_____;
√02
=______.
3
学生答：
√22
=2;
√0.12
=0.1;√ (2) 2=2;
√02
=0.
3 3
教师追问：请说出得到结论的依据.
学生独立思考后，教师找四名学生回答.
学生1答：∵4=22,∴ = =2,因此 =2;
√22 √4 √22
5 / 11学生2答：∵0.01=0.12,∴ = =0.1,因此 =0.1;
√0.12 √0.01 √0.12
学生3答：∵4
=
(2) 2 ,∴√ (2) 2=√4=2,因此√ (2) 2=2;
9 3 3 9 3 3 3
学生4答：∵0=02,∴ = =0,因此 =0.
√02 √0 √02
教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示
这个规律吗?
师生讨论后共同解答如下：一个非负数的平方的算术平方根等于
这个数.即 =a(a≥0).
√a2
教师问:根据算术平方根的意义填空.
√（−2）2 =_____; √（−0.1）2 =_______; √ ( − 2) 2=_____.
3
学生分组讨论后回答如下：
学生答： √（−2）2 =2; √（−0.1）2 =0.1;√ ( − 2) 2=2.
3 3
教师问：请说出得到结论的依据.
学生独立思考后，教师找三名学生回答.
学生1答：∵（-2）2=4,∴ = =2,因此 =2;
√（−2）2 √4 √（−2）2
学生2答：∵（-0.1）2=0.01,∴ =0.1，因此
√（−0.1）2=√0.01
=0.1;
√（−0.1）2
6 / 11学生3答：∵( − 2) 2 = 4,∴√ ( − 2) 2 = √4 = 2,因此√ ( − 2) 2=2.
3 9 3 9 3 3 3
教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示
这个规律吗?
师生讨论后共同解答如下：一个负数的平方的算术平方根等于这
个数的相反数.即 =-a(a<0).
√a2
教师总结点拨：（出示课件16）
的性质：
√a2
={a(a≥0)，
√a2=|a|
−a(a<0).
教师强调：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
考点1：利用 的性质进行计算
√a2 (a≥0)
化简：(出示课件17)
（1） ；（2） ；
√16 √（−5）2
（3） ；（4）
√10−2 √（3.14−π）2
学生独立思考后，师生共同解答如下：
解：（1） ；
√16=√42=4
（2） ；
√（−5）2=√52=5
7 / 11（3） 10-1；
√10−2=√（10−1）2=
（4） = = .
√（3.14−π）2 |3.14−π| π−3.14
出示课件18，引导学生讨论相关问题.
师生共同归纳：（出示课件19）
计算 一般有两个步骤:
√a2
①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即 ;
√a2=|a|
②去掉绝对值符号,即 ={a(a≥0)，
|a|
−a(a<0).
出示课件20-21，学生独立思考后口答，教师给出答案。
教师拓展归纳：（出示课件22）
（ ）2和 的区别
√a √a2
（√a）2 √a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0 a取任何实数
从运算结果看 a |a|
表示一个非负数 a 表示一个实数 a
意义 的算术平方根的 的平方的算术平
平方 方根
考点2：几何图形与 的性质相结合的题目
√a2
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:（出示课件
8 / 1123）
+ .
√a2−√b2 √(a−b) 2
学生独立思考后，师生共同解答如下：
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。
（三）课堂练习（出示课件25-30）
练习课件第25-30页题目，约用时15分钟.
（四）课堂小结（出示课件31）
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点 关键点 注意事项
任何非负数的算术平
(√a)2=a(a≥0) 方根的平方,其结果仍 被开方数a是非负数
然是它本身
任何实数的平方的算
√a2=|a| 术平方根是它的绝对 底数a可以是任何实数
值
9 / 11（五）课前预习
预习下节课（19.2第1课时）的相关内容.
知道二次根式的乘法法则及其逆运用.
七、课后作业
1、教材第4页练习第1，2题.
2、培优练习19.1第2，3，4，5，7，9题.
八、板书设计：
二次根式及其性质
第2课时
1. 的性质
2
(√a) (a≥0)
考点1 考点2
2. 的性质
√a2
考点1 考点2
3.例题讲解
九、教学反思：
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的
形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓
10 / 11展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高. 在探
究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保
证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够. 在探究完成
二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式
的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.
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