文档内容
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
教学设计
课题 19.1第1课时 二次根式的概念 授课人
1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式.
教学目标
2.掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中被开方数的取值范围.
1. 3.经历从平方根到二次根式的抽象过程，体会从具体到抽象的数学思想.
教学重点 二次根式的概念及二次根式有意义的条件.
教学难点 熟练求较复杂二次根式有意义的条件.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 问题1 什么叫作平方根？ 通过回顾
旧知为学
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个
习新知作
数 x 叫作 a 的平方根．
好准备.
问题2 什么叫作算术平方根？
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根√a叫作 a 的算术平
方根．正数 a 的算术平方根记为√a．
探究新知 1.二次根式的定义 通过问题
探究和讨
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
论，帮助
（1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的 学生理解
宽为 √65 m． 二次根式
的定义及
（2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边
其 特 征 .
长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 √a2+1 ．
通过观察
和讨论，
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)
帮助学生
与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果
发现二次
√h
用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 根式的性
5
质，并掌
你发现这些结果有哪些共同特征？ 握 其 应
用.
， ， √h，它们表示一些正数的算术平方根．
√65 √a2+1
5
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范
围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方
数只能是正数或 0．一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，“√❑”称
为二次根号．二次根式也是代数式.
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“
√
2 ❑”中一般把根指数 2 省略，写成“√❑”．
（链接例1）
2.二次根式有意义的条件
√a只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是
为二次根式的前提条件．
1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也
成立，即： √a有意义 ⇔ a≥0．
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成
立，即： √a无意义 ⇔ a＜0．
（链接例2、针对练习）
求使式子有意义的字母取值范围：
（1）二次根式型：√a 被开方数≥0
A
（2）分式型： 分母≠0
B
（3）零指数幂型：a0＝1 底数≠0
3.求二次根式的值
（链接例3）
典例精析 【例1】 指出下列哪些是二次根式. 通过例题
和练习帮
（1）√5； √
助学生掌
（2）√−3； 握所学知
识，培养
（3）√321；
学生的应
用能力.
（4）√x2+1； √
（5）√a−2（a≥2）； √
（6）√a−b（a＜b）．
【方法总结】二次根式
必须含有二次根号“√❑”；
被开方数 a≥0 ；
被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式
子．
【例2（教材P2例题）】 当 x 满足什么条件时，√x−2在实数
范围内有意义？
【解】由 x－2≥0， 得x≥2．
所以当 x≥2 时，√x−2在实数范围内有意义．
思考 当x是怎样的实数时，√x2在实数范围内有意义？√x3 呢？
前者x为全体实数；后者x≥0.
【针对练习】当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
【解】（1）由 a－1≥0， 得 a≥1．
所以当 a≥1 时，√a−1在实数范围内有意义．
（2）由 1 ≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3．
3−a
所以当 a＜3 时， √ 1 在实数范围内有意义．
3−a
（3）因为不论 a 为何值，(a+1) 2≥0 恒成立，
所以 a 取任意实数，√(a+1) 2在实数范围内都有意义．
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．
由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时，√x−4+(x−6) 0在实数范围内有意义．
【例3】 （1）当x=−2时，二次根式√−3x+10的值为 ；
（2）当x=2时，二次根式√1+x2的值是 ．
【解】（1）当x=−2时，
√−3x+10=√−3×(−2)+10=√16=4．
（2）当x=2时，√1+x2=√1+22=√5．
随堂检测 1．下列各式：√21，√x2+1，√3 9，√−6a（a＞0），其中是二次 通过设置
根式的有（ B ） 随 堂 检
测，及时
A．1个 B．2个
获知学生
C．3个 D．4个 对所学知
识的掌握
√ 3 情况，明
2．如果 是二次根式，则 x 的取值范围是（ D ）
x+5 确哪些学
生需要在
课后加强
A．x≠－5 B．x≥－5 辅导，达
到全面提
C．x＜－5 D．x＞－5
高 的 目3.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 的.
（1）√a−7；（2）√2a+3；（3）√−a；（4）√5−a．
【解】（1）由 a－7≥0，得 a≥7．
当 a≥7 时，√a−7在实数范围内有意义．
（2）由 2a＋3≥0，得 a≥ 3．
−
2
当 a≥ 3时， 在实数范围内有意义．
− √2a+3
2
（3）由 －a≥0，得 a≤0．
当 a≤0 时，√−a在实数范围内有意义．
（4）由 5－a≥0，得 a≤5．
当 a≤5 时，√5−a在实数范围内有意义．
4.要画一个面积为18 cm^2 的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的
长、宽各应取多少？
【解】设长为3x cm，宽为2x cm，
∴3x﹒2x=18，
∴6x²=18,
解得x=√3.
∴3x=3√3,2x=2√3.
答：长为3√3cm，宽为2√3 cm．
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加
小结：
深对本节
1．二次根式的定义 知识的理
解.
2．二次根式有意义的条件
作业布置
板书设计 19.1第1课时 二次根式的概念
1.二次根式的定义
一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，“√❑”称为二次根号．二次根式也是代数式.
2.二次根式有意义的条件
3.二次根式的实际应用
教学反思
