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第 6 节 正弦定理和余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，
则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝
2 R sin __C；
cos A＝；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
常见
cos B＝；
变形 (3)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
cos C＝
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>
sin B cos Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直
角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B或C可能为钝角，故△ABC不一定为锐角
三角形.
2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由余弦定理知cos B＝＝＝.
3.已知在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于( )
A.2 B.1 C. D.
答案 D
解析 由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.
4.(易错题)在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4.则此三角形( )
A.有两解 B.有一解
C.无解 D.有无穷多解
答案 B
解析 由正弦定理得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°.又b＜a，所以B＜A，故
B＝45°，所以三角形有一解.
5.(易错题)在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的
形状为________.
答案 直角三角形或等腰三角形
解析 由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝
90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B
＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案 2
解析 由题意得S ＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
△ABC
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.考点一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝
30°，则B等于( )
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B. C. D.3
(3)(2022·珠海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足 2cos Bcos C(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则 cos A 的最小值是
________.
答案 (1)D (2)D (3)
解析 (1)根据正弦定理＝，得
sin B＝＝＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)法一 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，
解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
法二 由正弦定理＝，得sin C＝＝，从而cos C＝(C是锐角)，
所以sin A ＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝.
又＝，所以BC＝＝3.
(3)2cos Bcos C(tan B＋tan C)
＝2cos Bcos C
＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＝2sin A，
又cos Btan B＋cos Ctan C＝sin B＋sin C，
所以sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝2a，
由余弦定理，得cos A＝＝＝－≥－＝，
当且仅当b＝c＝a时取等号，故cos A的最小值为.
感悟提升 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的
对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其
他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，
所以其解也是唯一的.
训练1 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝
100，A＝45°，则符合条件的三角形有( )
A.一个 B.两个
C.一个或两个 D.0个
(2)(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则
AC＝________，cos∠MAC＝________.
答案 (1)B (2)2
解析 (1)由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以sin B＝.
因为aA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.
(2)由题意知在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝2，
由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B，即12＝4＋BM2－4·BM·，
解得BM＝4或BM＝－2(舍).
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝4，BC＝8，
在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
∴AC2＝4＋64－2×2×8×＝52，
∴AC＝2.
在△AMC中，由余弦定理可得
cos ∠MAC＝
＝＝.
考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，
则△ABC的形状为( )
A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形
的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
答案 (1)A (2)A
解析 (1)因为a，b，c依次成等差数列，
所以b＝.
由余弦定理可得cos B＝＝，
将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，
所以a＝c.
又B＝，所以△ABC为等边三角形.
(2)因为＝，
由正弦定理得＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
由＝，可得a≠b，所以A≠B.
又A，B∈(0，π)，
所以2A＝π－2B，即A＋B＝，
所以C＝，故△ABC是直角三角形.
感悟提升 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的
关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥
梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏
掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
训练 2 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若＜cos A，则
△ABC为 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin
A，则△ABC的形状为________.
答案 (1)A (2)直角三角形
解析 (1)由＜cos A，得＜cos A.
又B∈(0，π)，所以sin B＞0，
所以sin C＜sin Bcos A，
即sin(A＋B)＜sin Bcos A，
所以sin Acos B＜0.
因为在三角形中sin A＞0，所以cos B＜0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
考点三 与三角形面积(周长)有关的问题
例3 (12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[规范解答]
解 (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①……………………2分
由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.……………………4分
因为00)，
则由余弦定理知
cos A＝＝＝，
所以＝2××＝1.
9.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法
三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为 13里，14里，15
里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里.
答案 84
解析 由题意画出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，
由余弦定理得，
cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里).
10.(2021·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝
2，A＝，
(1)若B＝，求b；
(2)求△ABC面积的最大值.
解 (1)∵B＝，a＝2，A＝，
∴由正弦定理＝，
可得b＝＝＝2.
(2)∵a＝2，A＝，
∴由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
∴bc≤a2＝12，当且仅当b＝c取“＝”，
∴△ABC面积的最大值为
bcsin A＝×12×＝3.
11.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，且
满足b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存
在，说明理由.
解 (1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a.
又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，
则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，
所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S ＝absin C＝×4×5×
△ABC
＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得
cos C＝＝
＝<0，又a>0，故解得0a＋2，可得a>1，故1
