文档内容
第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
教学设计
课题 19.3第1课时 二次根式的加法与减法 授课人
1. 知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式；
2.会进行二次根式的加减法运算.
教学目标
3.经历探索二次根式加减运算法则的过程，培养学生的运算能力.
4.关注学生思考问题的过程，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科
学精神以及合作精神，树立创新意识.
掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运
教学重点
算.
教学难点 经历知识产生的过程，化简二次根式.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 下列哪些是最简二次根式？依据是什么？ 通过回顾
旧知为学
√12a × √18 × √x2−9 √ √5x3y × √27abc ×
习新知做
好准备.
√ab √3xy
2√x2＋y √ × √ √5(a2−b2 ) √
2 5
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式．
探究新知 1.被开方数相同的最简二次根式 通过猜想
验证强化
问题1 某新建医院计划在院内修建一个正方形
“先化简
的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷
再合并”
水池．如果小喷水池的面积是 2 平方米，花坛
的规则；
的边长是小喷水池的 3 倍，问花坛的外周与小
演绎证明
喷水池的周长一共是多少米？
深化运算
4√2＋12√2（米）或 4 (√2＋3√2)（米） 律 的 理
问题 2 如果小喷水池的面积是 8 平方米，花 解，培养
坛的绿化面积是 10 平方米，你能求出花坛的外 推 理 能
周与喷水池的周长一共是多少米吗？ 力.
4√8＋4√18（米） 或4(√8＋√18)（米）
问题1：4√2＋12√2（米）或 4 (√2＋3√2)（米）
问题2：4√8＋4√18（米） 或4(√8＋√18)（米）
二次根式的加减是如何计算的？
计算：
（1）3x2＋2x2＝__5x2__； （2）x2＋2x2＋4y＝__3x2＋
4y__．
类比合并同类项的方法，下列二次根式能合并吗？
4√2＋12√2 4√8＋ 4√18
二次根式加减运算的基本方法
4√2＋12√2
＝(4＋12)√2…… (利用分配律合并)
＝16√2
二次根式加减运算的基本方法
4√8＋ 4√18
＝8√2＋12√2……(化为最简二次根式)
＝(8＋12)√2……(利用分配律合并)
＝20√2
结论2：如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，
再考虑进行加减运算．
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次
根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.二次根式的加法与减法
判断：下列计算是否正确？为什么？
（1）√2＋√3 ＝√5； × （2）2＋ √2＝2√2； ×
√8＋ √18
（3） ＝√4＋ √9＝2＋3＝5． ×
2
注意：被开方数不同的二次根式(如√2与√3)不能合并．
被开方数相同的二次根式
几个二次根式化成 最简二次根式 以后，如果 被开方数
相同，这几个二次根式就是被开方数相同的二次根式 ．
判断几个二次根式是被开方数相同的二次根式的方法：
一是化每个二次根式为最简二次根式；
二是看化简后的二次根式中被开方数是否相同．
（链接例1）
二次根式加减运算的一般步骤1．化：将每个二次根式都化成最简二次根式；
2．找：找出被开方数相同的二次根式；
3．合：将被开方数相同的二次根式合并成一项．
（链接例2）
3.二次根式加法与减法的实际应用
（链接例3）
典例精析 【例1（教材P13例题）】 计算： 示范含系
√1 数和字母
（1）√80－√45； （2）√9a＋√25a; (3)2√12−6 +3√48.
的二次根
3
式加减，
【解】（1）√80－√45=4√5−3√5=√5；
强调化简
（2）√9a＋√25a=3√a+5√a=8√a;
的 普 适
√1
（3）2√12−6 +3√48=4√3−2√3+12√3=14√3. 性.
3
【例2（教材P13例题）】 计算：
1 3
（1）√12+√20+2(√3−√5);（2） (√3−√2)− (√2－√27)．
2 4
【解】（1）√12+√20+2(√3−√5)
＝ 2√3+2√5＋2√3−2√5
＝4√3．
1 3
（2） (√3−√2)− (√2−√27)
2 4
1 1 3 9
＝ √3− √2− √2+ √3
2 2 4 4
11 5
＝ √3− √2 ．
4 4
教师提醒：计算后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不
能写成带分数形式．
【例 3】 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm
的木板，能否采用如图的方式，在这块木
板上截出两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2
的正方形木板？【分析】由图可以看出，只有木板的宽大于大正方形的边长，木
板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个
正方形木板.
【解】大正方形木板的边长为√18dm.因为√18<5，所以这块木板
够宽.
两个正方形木板的边长的和为
（√8+√18）dm，而
√8+√18=2√2+3√2=5√2.
由√2<1.5可知5√2<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块
木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm2 和18
dm2 的正方形木板.
随堂检测 1．下列选项中和√3是同类二次根式的是（ D ） 通过设置
随 堂 检
√2
A．3√2 B． C．√18 D．－√27 测，及时
3
获知学生
2．若最简二次根式－2√a+2和√28可以合并，那么a＝ 5 ．
对所学知
识的掌握
3．下列等式中正确的是 ⑤ ．
情况，明
确哪些学
①√7－√5＝√2； ②5√6－√6＝5；
生需要在
课后加强
③3－2√5＝√5； ④√3x－√2x＝√x；
辅导，达
到全面提
⑤√27－√3＝2√3； ⑥2√3＋3√2＝5√5．
高 的 目
的.
4. 计算下列各式：
√1 √1
（1）2√12－3 －√27； （2）(√48－10√0.2)－3(√45－
3 3
)．
√1
【解】（1）2√12－3 －√27
3
＝ 4√3－√3－3√3
＝ 0．
√1
（2）(√48－10√0.2)－3(√45－ )
3
√5 √3
＝ 4√3－10× －3(3√5－ )
5 3
＝ 4√3－2√5－9√5＋√3
＝ 5√3－11√5．
5．计算：
1 √1 2 √x √1
（1） (√12－3 ＋√2)； （2） √9x＋6 －2x ．
2 3 3 4 x1 √1
【解】（1） (√12－3 ＋√2)
2 3
1
＝ (2√3－√3＋√2)
2
√3＋√2
＝ ．
2
2 √x √1
（2） √9x＋6 －2x
3 4 x
√x √x
＝2√x＋6× －2x×
2 x
＝2√x＋3√x－2√x
＝3√x．
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 巩固所学
知识，加
小结：
深对本节
1．最简二次根式 知识的理
解.
2．二次根式的加减
作业布置
板书设计 19.3.1 二次根式的加法与减法
1.被开方数相同的最简二次根式
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开
方数相同的二次根式进行合并
2.二次根式的加法与减法
3.二次根式加法与减法的实际应用
教学反思
