文档内容
20.1（第 3 课时）利用勾股定理作图或计算（解析版）
目 录
类型一、勾股定理与无理数......................................................................................................................................1
类型二、弦图计算....................................................................................................................................................10
类型三、网格问题....................................................................................................................................................29
类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题........................................................................................................41
类型一、勾股定理与无理数
1．如图，点 ， 在数轴上，其表示的实数分别为 ，过 点作 ，且 ．以点 为圆心，
为半径作弧，与数轴正半轴交于点 ，则点 表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键．
根据勾股定理得到 ，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解．
【详解】解：点 ， 在数轴上，其表示的实数分别为 ，
∴ ，
∵过 点作 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 表示的数为 ，
故选：B．
2．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点 处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾
股定理求出点 处所表示的数到 的距离，再观察点 在 的左边，即可作答．
【详解】解：由图可得，点 处所表示的数到 的距离为 ，
图中标注在点 处所表示的数为 ．
故选：A．
3．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．
根据勾股定理可求出点 到原点的距离，进而求出点 到原点的距离，再根据点 的位置确定点 所表示
的数．
【详解】∵点 表示的数为3，
点 到原点的距离为3，
由图可得 ，
点 到原点的距离 ．
∵点 到原点的距离和点 到原点的距离相等，
点 到原点的距离为 ，
点 表示的数为 ．
故选：D．
4．如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线
长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据勾股定理求出 的长，结合 以及数轴的特点即可求解．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ， ，∴ ，
由题意得， ，
∴点E表示的实数是 ．
故选：D．
5．如图，已知 ， 于点 ，点 对应的数是 ， ，那么数轴上点 所表示的数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
利用勾股定理求出 ，进而根据点A的位置，即可求解．
【详解】解： 点 对应的数是 ，
，
，
，
根据勾股定理，可得 ，
，
点A在数轴上对应的数是 ．
故选：A．
6．如图， ，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出 的长．
【详解】解：由数轴可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴数轴上点A表示的数为 ．故选：A．
7．如图，数轴上的点 、 对应的实数分别是 、 ，线段 于点 ，且 长为 个单位长度．若
以点 为圆心， 长为半径的弧交数轴于 和 之间的点 ，则点 表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得 ，求出 ，由 即可
求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上的点 、 对应的实数分别是 、 ， ， 长为 个单位长度，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∵以点 为圆心， 长为半径的弧交数轴于 和 之间的点 ，
∴ ，
∵数轴上的点 对应的实数是 ，
∴点 表示的实数是 ．
故选：D．
8．如图，数轴上点A所表示的数是2， ，且 ．以原点O为圆心， 为半径画弧，交数
轴的负半轴于点C，则点C表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出 的值，然后根据圆的性质即可求
解．
根据勾股定理求得 的长，然后根据圆的性质即可求解 ，进而即可判断．
【详解】解：由已知得 ，
∵ ，且 ，
∴在 中， ，
∵以原点 为圆心， 为半径画弧，交数轴负半轴于点 ，
∴ ，
∴点 所表示的数为 ；故选D．
9．如图，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理
求线段长是解决问题的关键．
先由勾股定理求出 ，再由基本尺规作图得到 ，则 ，从而得到答案．
【详解】解：如图所示： 于 ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
以点 为圆心， 的长为半径画弧，交数轴于点 ，
，
则 ，
点 表示的数为 ，
故选：B．
10．如图，在长方形 中， 在数轴上．若以点 为圆心，对角线 的长为半径作
弧交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用．
先利用勾股定理求出 ，根据 ，求出 ，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
，
，
∵以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 表示的数为 ，，
，
∴点 表示的数为 ，
故选：D．
11．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴，勾股定理；由图可知，A点到原点的距离为 ，再根据点A在原点的
右边，即可得到点A表示的实数.
【详解】解：如图所示，A点到原点的距离为 ，
∵点A在原点的右边，
∴点A表示的实数为 .
故答案为： .
12．如图所示，数轴上点 所表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长
是解答本题的关键．根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，再求出原点和点A
之间的线段的长，即可知A所表示的数．
【详解】解：∵由图可得，直角三角形的两直角边为1，2，
∴斜边长为 ，
∴原点和点A之间的距离为 ，
∴数轴上点A所表示的数为： ，
故答案为： ．
13．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段 于点B，且 长为1个单位长度．若
以点A为圆心， 长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ．【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
先求出 的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题．
【详解】解：由题意得： ，
，
则点P到原点的距离为： ，
所以点P表示的数为： ，
故答案为： ．
14．如图，若点A在数轴上表示的数是 ，以A为圆心， 为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则
点E所表示的数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出 的长．
先利用勾股定理求出 的长，即可得到 的长，再根据实数与数轴的关系求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∵点A表示的数为 ，
∴点E表示的数为 ，
故答案为： ．
15．如图所示在数轴上有个 的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点
表示的数为 ．以A为圆心、 为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为 ．【答案】
【分析】本题考查了实数，勾股定理与数轴．
根据勾股定理求出 的值，可知 的值，进而作答即可．
【详解】解：由图可知 ，
以A为圆心、 为半径画弧交数轴于点C，
，
点C表示的数为
故答案为：
16．如图，矩形 的边 在数轴上，若点 与数轴上表示数 的点重合， ，以点 为圆心，对
角线 的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则该点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出 ，进而根据数轴上两点间距
离即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：由图可知，点 在数轴上表示的数为 ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵若点 与数轴上表示数为 ，
∴该点表示的数为 ，
故答案为： ．
17．如图所示，已知 ， ，以点O为圆心， 长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；(2)比较大小：点A所表示的数_____ ；（填“>”或“<”）
(3)在数轴上找出 对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)
(3)作图见详解，理由见详解
<
【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图．
（1）先求 的长度，再利用“圆的半径相等”确定 的长度，最后结合数轴位置确定数；
（2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方
数；
（3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为 ，再以原点为圆心，斜边为半
径画弧，交数轴正半轴的点即为 对应的点．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴数轴上点A所表示的数为 ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：<．
（3）解：如图所示为所求：
理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作 ，使 ，
在 中， ，
以点O为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点F，此时 ，
∴点F即为 对应的点．
18．如图， ．
(1)点A表示的数是______，点A表示的数______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)在数轴上作出 所对应的点（保留作图痕迹）；
(3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想．A．数形结合 B．方程 C．分类讨论 D．化归
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)A
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点．
（1）根据勾股定理得到 ，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小；
（2）以点 为圆心画弧，交原点右侧数轴于点 ，则可得 ，那么点 表示的数
即为 ；
（3）根据题干以及解析即可确定解题思想．
【详解】（1）解：∵ ，且 在原点左侧，
∴点A表示的数是 ，
∵ ，即
∴ ，
点A表示的数 ，
故答案为： ， ；
（2）解：点 表示的数即为 ；
（3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想，
故答案为：A．
类型二、弦图计算
19．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等
的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形
与四边形 均为正方形，H是 的中点．若 的长为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A
【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键．
由四边形 与四边形 均为正方形，点H是 的中点，可知 分别为 的中点，
可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形 面积的 ，从而阴影部分总面积为
正方形 面积的3倍，结合勾股定理算出 ，所以得出正方形 面积为5，即可作答．
【详解】解：∵四边形 与四边形 均为正方形，点H是 的中点，
∴ 分别为 的中点，
，
， ，
，
依题意， ，
，
∵ 的长为5，
∴ ，
∴ （负值已舍去），
即 ，
∴ ，
，
故选：A．
20．如图，正方形 是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正
方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键
找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答．
【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形 ， ， 是正方形，∴ ， ， ，
∴
，
∵ ，
，
，
∴
．
故选：C ．
21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中 ， ，则每个直
角三角形的面积为（ ）
A．24 B．25 C．50 D．75
【答案】A
【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得
，再与已知条件 联立，即可求出 的值，从而求出每个直角三角形的面积，
掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理，得
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，∴每个直角三角形的面积为 ．
故选：A．
22．如图，图 是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中
的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．
探究学习中，标上字母绘成图 所示，若记朱方对应正方形 的边长为 ，青方对应正方形 的
边长为 ，已知 ， ，则图 中的阴影部分面积为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（
）是解题的关键．
先根据已知条件求出 的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积．
【详解】解：如图2， ， ，
阴影部分面积 ，
朱方对应正方形 的边长为 ，青方对应正方形 的边长为 ，
， ，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，
，
， ，
，
阴影部分面积，
故选：
23．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股
算术算法的推广．书中的证明方法是将 个边长分别为 、 、 的全等直角三角形拼成如图所示的五边形
，其中 、 为直角边、 为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知 ， 个
直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是 ，那么 的长是（）
A．7 B．17 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理及完全平方公式的变形是解
题的关键．
先根据 个直角三角形的面积与白色区域面积求出五边形相关图形的面积，再结合勾股定理求出 ，
进而得到 的长度．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为 ， 个直角三角形的面积为 ，白色部分面积为 ，
∴由图形可知 ．
∵由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
24．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的
“弦图”，图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记为 ．若
，则 的长是（ ）A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题
的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．
【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则： ，
由题意，得： ， ， ，
，
，
，
，
，
即 ，
，
故选：A．
25．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ，连结
并延长，交 于点 ，若 ，E为 中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 证明 得出 ，根据勾股定理即可得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．
【详解】解： 为 中点，，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
26．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正
方形 的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出 的长，进而求出小正方形 的边长，再根据面积
公式求出其面积即可．
【详解】解：由图和勾股定理，得： ，
∴小正方形 的边长为 ，
∴小正方形 的面积是 ；
故选B．
27．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用 ， 表示直角三角形的两条直角边长（ ），下列四个说法：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题
的关键．
利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，由勾股定理得， ， ，
∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意；
由 得， ，整理得 ，
∴ ，
∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）；
由③得，
∴ ，
∴ ，
∴选项①错误，不符合题意；
故选：C．
28．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的
直角三角形和一个小正方形 密铺构成的大正方形 ．连接 ，若 ，且大正方形
的面积是 ，则小正方形 的边长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明 ，推出 ，再利用勾股定理构建方程求
出 可得结论．
【详解】解：由题意 ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵正方形 的面积为 ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴正方形 边长为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段
长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
29．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直
角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小
正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求 的值为 ．
【答案】196
【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式
及其变形求解代数式的值是解本题的关键．
由图形面积可得 ， ，可得 ，再代入 进行计算即可．
【详解】解：由图可知， ，
．
小正方形的面积是4，
，
，
，
．
故答案为：196.
30．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在
中，若直角边 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示
的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分） ．【答案】76
【分析】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意利用题中隐含的已知条件来解答此类题．
由题意可知 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由 延伸一倍，从而求得风车的一个轮
子，进一步求得四个．
【详解】解：如图，依题意得： ， ，
在 中， ， ，
∴“数学风车”的周长是： ．
故答案为：76．
31．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三
角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为 ．若小
正方形的面积为4， ，有下列说法：① ，② ，③一个直角三角形的面积为10；
④大正方形的边长为 其中正确的是 填序号
【答案】①②④
【分析】本题考查勾股定理 ——以弦图为背景的计算题．根据 可判断①；根据小正方形的面
积为4，可判断②；结合①②，通过计算可判断③；根据勾股定理可判断④．
【详解】解： ， ，
，故①正确；
小正方形的面积为4，，故②正确；
， ，
， ，
一个直角三角形的面积为 ，故③错误；
大正方形的边长为 ，故④正确；
故答案为：①②④．
32．在“赵爽弦图”中， ，将四个全等直角三角形中的较长直角边 向外延长一倍（即 ），
得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理
可将“数学风车”的直角边求出，进而由勾股定理即可求出 ，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
33．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个
全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若 ， ，则正方形 的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理 ，进而得到
，最后求小正方形的面积即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，
∴中间小正方形 的面积为 ．
故答案为：4．
34．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，
较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则 再利用勾股定理得 ，然后根
据 ，的 ，最后根据 ，进而求出答案．
【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形
的边长为c，
∴ ，
∵大正方形的面积为13，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即 ，
由图可知小正方形的边长为： ，
∴小正方形的面积为： ．
∴ ，
小正方形的面积为5．
故答案为：5．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为
，较长直角边长为 ， ，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ．【答案】9
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题
型．
由题意可知，中间小正方形的边长为 ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面
积为 ．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为 ，
∴ ，即 ①，
∵ ，
∴ ②，
得 ，
∴大正方形的面积 ，
故答案为：9．
36．综合与实践
【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为 ， ，斜边为 ）拼成含有正方
形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
(1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为
，也可表示为 ，因此，化简可得 ；
(2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理；
(3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法
证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程．
【答案】(1) ； ；
(2)①
(3)见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键．
（1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理；
（2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出 ；
（3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，
化简得到勾股定理．
【详解】（1）解： 大正方形可拆分为边长为 的正方形和4个直角边分别为 ， 的直角三角形，
故大正方形的面积可表示为 ，
大正方形边长为 ，
大正方形面积也可表示为 ，
，
化简得 ．
答： ； ； ．
（2）解： 图①可拆分为边长为 的正方形和4个直角边分别为 ， 的直角三角形，
其面积为 ，
图①是边长为 的正方形，
其面积也可以表示为 ，
，
化简得 ，
故图①可证明勾股定理．
图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理．
答：①．
（3）证明： 图4可拆分为2个直角边长分别为 ， 的直角三角形和一个直角边为 的等腰直角三角形，
图4的面积可表示为 ，
图4是上底为 ，下底为 ，高为 的梯形，
图4的面积也可表示为 ，
，
化简得 ．
37．在北京召开的第24届国际数学家大会上，依据“赵爽弦图”设计的如图所示的会标，有力彰显了中国古代数学的伟大贡献．设赵爽弦图中直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若
，大正方形的面积为14，求小正方形的面积．
【答案】小正方形的面积是4
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握赵爽弦图是解题的关键；根据题意和图形，可以得到
， ，然后即可求得 的值，再根据图形可知 ，最后代入数据计算
即可．
【详解】解：由大正方形的面积为14，结合正方形面积公式及勾股定理可知： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴即小正方形的面积是4．
38．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边
长都为c），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出直角三角形的三
边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式 ．利用
以上所得的直角三角形的三边关系进行证明： ．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某
种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条
直线上)，并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路 少多少
千米？(3)在第（2）问中若 时， ，设 ，求x的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)新路 比原路 少 千米
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理的推导和应用，解题的关键是掌握勾股定理的灵活应用和数形结合的思
想．
（1）利用两种梯形的面积表示方式进行整理即可；
（2）设 千米，则 千米，利用勾股定理列出方程，然后进行求解即可；
（3）设 ，则 ，利用两个直角三角形的公共边和勾股定理进行列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴梯形 的面积为 或 ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：设 千米，则 千米，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
（千米），
答：新路 比原路 少 千米；
（3）解：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
39．综合与实践
探索：将边长分别为 、 的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面
积吗？(1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；
方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为
，即阴影部分面积为： ．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面
验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证
公式，俗称“无字证明”．
(2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明．
(3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长
为 ，较短的直角边长为 ，斜边长为 ，证明： ．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的
关键．
（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积；
方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为 ，即
阴影部分面积为 ．由此得到平方差公式；
（2）用 表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式；
（3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明： ．
【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为： ；
方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为
，即阴影部分面积为 ．
由此我们可以得到平方差公式： ；
故答案为： ； ；
（2）证明：如图3，
方法①： ，
方法②： ，；
（3）证明：如图4，
大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为 ，较短的直
角边长为 ，斜边长为 ，
方法①：大正方形的边长为 ，所以 ，
方法②： ，
所以 ，
．
40．【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式： ，化简证得勾股定理： ．
【初步运用】
(1)如图1，若 ，则小正方形面积 大正方形面积=________；
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若 ， ，此时小正方形内空白部分的面积为
_________；
(3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24， ，
该风车状图案的面积为_______；
(4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的
面积分别为 ， ， ，若 ，则 _______．
(5)如果用三张含 的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边
三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含 的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式
及其推导过程．
【答案】(1)(2)28
(3)24
(4)10
(5)
【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题
的关键．
（1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（2）根据空白部分的面积为 小正方形的面积 两个三角形的面积，计算即可，
（3）可设 ，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形 的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用
x，y表示出 ， ， ，得出答案即可；
（5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴小正方形面积：大正方形面积 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意得
，
∵空白部分的面积为 小正方形的面积 两个三角形的面积，
∴空白部分的面积为 ．
故答案为：28；
（3）解：根据题意得
， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴该风车状图案的面积 ；
故答案为：24；
（4）解：将四边形 的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．
∵正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ，且 ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10；
（5）解： ．
设大正三角形的高为 ，中心小正三角形的高为 ，三个全等三角形的高为 ．
由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，
，
大等边三角形的面积 ，
，
小等边三角形的面积 ，
，
，
三个这样的三角形面积之和为 ，
，
，
∴ ．
类型三、网格问题
41．如图，在单位长度为1的 的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（
）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算 ， ， ， 的长度，即可获得答
案．
【详解】解：由勾股定理可得， ， ， ，
．
故选：D．
42．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点 ，使得 是等腰三角形，且
为其中一腰．这样的 点有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思
想的应用，小心别漏解．
首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从 ， 去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
，
①若 ，则符合要求的有： 共2个点；
②若 ，则符合要求的有： 共3个点；
这样的C点有5个．
故选：C．43．如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，
C，D，则下列线段中，长度为 的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理的运算方法，即斜边的平方等于两直角边的平方
和．本题分别计算各线段的长即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴长度为 的是线段 ，
故选：B．
44．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中， 的三个顶点均在格点上，则 中 边
上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作 于点D，过点A作 ，交 的延长线
于点E．由题意可得 ， ， ，根据 的面积
即可求出 ．
【详解】解：过点C作 于点D，过点A作 ，交 的延长线于点E．
由题意可得 ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 中 边上的高为 ．
故选：D．
45．如图，每个小正方形的边长为1，四边形 的顶点 、 、 、 都在格点上，则下面4条线段
长度为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理进行求解，进行判断即可．
【详解】解：由勾股定理得， ， ， ，
线段长度为 的是 ，
故选D．
46．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 的两个端点都在正方形网格的格
点上，则 的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能结合网格特点分析线段长度是解题的关键．
利用勾股定理，分别计算各选项对应的直角三角形的斜边长度，判断是否能在网格中得到线段 的长度．
【详解】解：若 ，在网格中找不到整数 、 满足此等式，故 的长不可能是 ，故A项符合
题意；如下图， ，长度为 的线段可在网格中找到，故B项不符合题意；
如下图， ，长度为 的线段可在网格中找到，故C项不符合题意；
如下图， ，长度为 的线段可在网格中找到，故D项不符合题意；
故选A．
47．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的顶点均在格点上，则四边形
的边长为整数的边是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答．
【详解】解：由题意及图，得
， ， ，
∴四边形 的边长为整数的边是 和 ．
故选B．
48．如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在
格点之间的距离为（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为 ，
故选：C．
49．如图，在 的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格
特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意， ， ， ，
，
∵ ，
∴线段 的长度最长，
故选：C．
50．如图，在 的网格中，以 为一边，点 在格点处，使 为等腰三角形的点 有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键．
根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解．【详解】解：如图所示， ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴点 为所求点；
∵ ， ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴点 为所求点；
综上所述，点 有4个，
故选：D ．
51．如图，在单位长度为1的 的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段 ， 的顶点都在格点
上．
（1）线段 ， 的长度分别为 ， ；
（2）设 ， 所夹的锐角为 ，则 的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于
确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导．
（1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长
度）；
（2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可．
【详解】解：（1）由题意得 ， ，
故线段 ， 的长度分别为 ， ．
故答案为： ， ．
（2）如图，选取格点 ，连接 ， ．由勾股定理逆定理，易得 为等腰直角三角形，
所以 ，
由图可知 ，
所以 ．
故答案为： ．
52．如图， 的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若 于点 ，则 的长为
．
【答案】 / /
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出 的面积，利用勾股定理求出 的长，再
根据面积法即可求出 的长，利用面积法求高是解题的关键．
【详解】解：由网格可得， ，
由勾股定理可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
53．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中， 的三个顶点均在格点上，则 中 边
上的高为 ．【答案】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作 于点D，过点A作 ，交 的延
长线于点E．由题意可得 ， ， ，根据 的面积
即可求出 ．
【详解】解：过点C作 于点D，过点A作 ，交 的延长线于点E．
由题意可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 中 边上的高为 ．
故答案为：
54．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，利用勾股定理可以求得 的长．【详解】解：由图可得，
，
故答案为：
55．如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上
表示 的点重合，则 ，数轴上点 所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上表示，数轴上两点间的距离，解题关键利用勾股定理求出相
应线段的长．
先利用勾股定理求得 ，再利用数轴上两点间的距离求出点 表示的数．
【详解】解：设点 表示的数为 ，
，
由作法可知 ，
∴ ，解得： ，
∴数轴上点 所表示的数为 ，
故答案为： ， ．
56．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心， 长为半径画弧交最上方的网格线于点D，
若点A的坐标为 ，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，求出 的长是解题的关键．
连接 ，则 ，在 中，利用勾股定理求出 即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，由题意知： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
57．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，
的三个顶点都在格点上，位置如图所示：
(1)找到格点 ，连接 ，与 交于点 ，且使得 （保留利用格点的作图痕迹）；
(2)求出 边上的高 长．
【答案】(1)见解析
(2) 边上的高 长为
【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理、运用等面积法求三角形的高，熟练掌握网格作图的方法，
运用等面积法求三角形的高的方法是解题的关键．
（1）过点 作 于 ，取格点 ，连接 ，使 ， 交 于点 ，则有
，由 得 ，所以可得 ，即 ；
（2）由 ，代入 ， ， 的值即可求得高 ．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求．
（2）解：由勾股定理得： ，∵ ，
∴ ．
∴ 边上的高 长为 ．
58．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
(1)在图①中，连接 、 ，使 ．
(2)在图②中，连接 、 、 ，使 ．
(3)在图③中，在 边上找格点 ，连接 ，使 的面积是 面积的2倍．
【答案】(1)见解析（答案不唯一）
(2)见解析
(3)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据勾股定理得 ；
（2）连接 ，取 中点M，结合勾股定理得 ；
（3）在 边上找格点 ，使 ，然后连接 即可．
【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求；
（2）如图所示，点M即为所求；（3）如图所示，点M即为所求；
类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题
59．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合
的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度 ，将它往前推 至C处时（即水平
距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
设 ，则 ，故 ，在 中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ．
∴绳索 的长是 ．故选：C．
60．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工
高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步 10
尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为
尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，
利用勾股定理可得方程，即可求解．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，则 尺
由题意可知： 尺， 尺，则 尺，则 尺，
在 中，由勾股定理可得： ，
则可列方程为： ．
故选：D．
61．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线 剪开，将右半部
分上下翻转得到的图形，其中四边形 ，四边形 与四边形 均为正方形，若图1中空白
部分面积为37，线段 的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．25
【答案】B【分析】由题意可设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，读懂题意，确定图2中两个直角
三角形的直角边是 ，由题中条件列出等式 ，进而得到 由空白图形
面积得到 ，两式相减即可得到答案．
【详解】解：由题意可设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
图2是将图1沿直线 剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，
，即图2中两个直角三角形的直角边是 ，
线段 的长为7，
，则 ①，
图1中空白部分面积为37，
，即 ②，
由① ②得 ，
图2中两个直角三角形的面积和为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查以勾股定理证明为背景的问题，涉及完全平方和公式、不规则图形面积求法、正方形面
积公式及直角三角形面积公式，读懂题意，将题中条件准确用数学表达式表示求解是解决问题的关键．
62．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及
5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即
可．
【详解】解：当人走到点 的位置，头顶 与点 距离是 时，灯刚好自动发光，
作 于 ，则 ，
在 中， ，
答：身高 的学生要走到离墙 的地方灯刚好发光．
故选：D．
63．已知 是斜边长为 的等腰直角三角形，以 的斜边 为直角边，画第二个等腰
，再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰 ， ，依此类推，第 个等腰直角
三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的 倍，然后发现其规律即可求解．
【详解】解：在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的 倍，
∵第一个等腰直角三角形的斜边长为 ，
∴第二个等腰直角三角形的斜边长为 ，
第三个等腰直角三角形的斜边长为 ，
第四个等腰直角三角形的斜边长为 ，
以此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长为 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的三边长的数量关系，以及找规律型，解题的关键是熟练等腰直角三
角形的直角边与斜边长的关系．
64．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几
何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部
分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（ ）A．5尺 B．6尺 C．8尺 D．10尺
【答案】D
【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．
【详解】解：设绳索长为x尺
∴根据题意得：
解得 ．
∴绳索长为 尺，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．
65．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了（ ），却踩坏了花草．
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】先根据题意求出他们走出的“路”长，进而得到少走的距离．
【详解】根据勾股定理可得他们走出的“路”长是：
，
则少走的距离是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
66．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别
1km和3km，且 相距3km，则铺水管的最短长度是（ ）km
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】作A关于河的对称点E，连接 ，连接 ，则 就是所求的最短距离，利用勾股定理求出
的长即可．【详解】解：作A关于河的对称点E，连接 ，连接 ，则 就是所求的最短距离．
过A作 于G，过E作 于F，
∵ ，
∴ ，
，
在 中， ，
∴铺水管的最短长度是 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
67．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为 ）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高
度至少为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶底面的圆心连线长为4个油桶的直径．
由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形，它的
边长是 ，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高．
【详解】解：取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形 ，
，
过点A作 于点D，
，，
遮雨棚高度至少为： ，
故答案为：
68．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，
问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，
自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺．
【答案】29
【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可．
本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长
(尺)，
因此葛藤长 (尺)．
故答案为：29．
69．如图（单位： ），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无
缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的 至少为 ．
（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接 ，过点A作 交 的延长线于点C，利用勾股
定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【详解】连接 ，过点A作 交 的延长线于点C，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
70．某校在一次消防演练中，消防车按如图 所示的方式停放， 长的云梯 需要到 高的宿舍楼
的点 处，其示意图如图 ，已知云梯的底端 到地面的距离 是 ，与宿舍楼 的水平距离
是 ．云梯的长度够吗？请说明理由．
【答案】云梯的长度足够
【分析】本题主要考查了勾股定理，连接 ，利用勾股定理求出 ，通过比较可知 ，
可知云梯的长度不够．
【详解】解：如下图所示，连接 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，云梯的长度足够．
1．在 中， ．若 ，如图1，根据勾股定理，则 ．
(1)若 是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．
(2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题
的关键．
（1）过点 作 的延长线于点 ，在 中， ， ， ，
在 中， ， ，那么有 ，化简可得 ，
从而推出 与 的大小关系；
（2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为 ，那么另外两边分别
为 和 ，根据三角形三边关系有 ，再结合（1）的结论，可得到 的范围，从而解得
答案．
【详解】（1）解： ，证明过程如下：
过点 作 的延长线于点 ，如图所示：不妨设 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
；
（2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下:
假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为 ，那么另外两边分别为
和 ，
那么有 ，
，
由（1）的结论可知， ，
，
，
或 ，
，
或 ，
又 ，
，
当 时， ， ，
综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4．
2．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等腰 ，且 ，连
接 ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出 ， ， ，再证明
，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明： 在等腰 中， ，在等腰 中， ，
， ， ，
，
．
．
（2）由（1）知 ，
∵在等腰 中， ，
．
，
．
．
，
．
3．【问题背景】
（1）如图1，点 是线段 ， 的中点，求证： ；
【变式迁移】（2）如图2，在等腰 中， 是底边 上的高线，点 为 内一点，连接 ，延长 到点
，使 ，连接 ，若 ，请判断 、 、 三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰 中， ， ，点 为 中点，点 在线段 上（点 不与
点 ，点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）通过证明 即可证明 ；
（2）连接 ，根据条件证明 可得 ，进而得到 ，
由勾股定理即可证明；
（3）延长 到T，使 ，连接 ，延长 交 于点J，即可证明 ，利用
全等三角形的性质可得 ，即可求得．
【详解】（1）证明：∵点 是线段 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，∵ 是等腰三角形， 是底边 上的高线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 到T，使 ，连接 ，延长 交 于点J，如图，
∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
3．如图，在 中， ， ，D是 边上一点（点D与 、 不重合），连结
，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由；
(3)点 在 上运动时，试探究 是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由题干中的条件通过角边角即可证明 ；
（2）由 得到 ， ，然后求得 ，然后根据等角对等
边即可求解；
（3）通过 ， ，得到 ，进而求得当 时， 最小，
的值最小，然后即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中，，
∴ ；
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
当 时， 最小， 的值最小．
∵ ， ，
∴ 的最小值为3，
∴ 的最小值为 ．
4．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为
a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形 中 于点O， ， ， ，请直接写出 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据 均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求
出 的值.
【详解】（1）解： ，
另一方面 ，
即 ，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①， ②， ③， ④
可得 ；
可得 ；
即： ，
，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．
1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式
的最小值”：小鄞同学发现 可看作两直角边分别为 和2的直角三角形斜边
长， 可看作两直角边分别是 和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，
将问题转化为求线段 的长，进而求得 的最小值是_____．
（2）类比迁移：已知 ， 均为正数，且 ．求 的最大值．
【答案】（1）13；（2）
【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段
最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键．（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出 ， ，根据两点之间线段
最短，可得 的最小值为 的长，再利用勾股定理求出 的长即可；
（2）构造矩形 ，取 的中点C，作 于点C， ，可推出
的值最大，需 的值最大，即当A，D，B三点共线时， 的值最大，最大值
为 ，由点C是 的中点， ，可得出D是 的中点，即 ，再运用勾股定理求解即
可．
【详解】解：（1）如图，
在 中，
由勾股定理，可得 ，
在 中，
由勾股定理，可得 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长，
在 中，
由勾股定理，可得 ，
∴ 的最小值是13；
故答案为：13；
（2）构造图形如下，矩形 ，点C是 的中点， 于点C， ，
在 中，
由勾股定理，可得 ，
在 中，
由勾股定理，可得 ，∴ ，
要使 的值最大，需 的值最大，
∴当A，D，B三点共线时， 的值最大，最大值为 ，
∵点C是 的中点， ，
∴D是 的中点，
∴ ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值 ．
2．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和3的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，
并使直角边 和 在同一直线上（图1），向右平移直角 使点 和 重合（图2），这时
，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据
两点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式 的最小值为___________；
（2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
【模型拓展】（3） 的最大值是___________；
（4）已知正数 满足 ，则 ___________．
【答案】（1）13；（2） ；（3） ；（4）
【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形
中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键．
（1） 和 对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得 为最
小值；
（2） 和 对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得 为最小
值；
（3） 和 对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得 为最
大值；
（4） 和 对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
设 ，点 在 的上方，且 ，点 在 的下方，且 ，
则 ，
∴代数式 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长，
即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值为13；
（2）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，设 ，点 在 的上方，且 ，点 在 的下方，且 ，
则 ，
∴代数式 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长，
即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ；
（3）构造 ，如图所示：
过点 作 ，交 延长线于点 ，
则 ，
设 ，
则 ， ，
∴代数式 表示 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 的长，
即代数式 的最大值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最大值为 ；
（4）构造 于 ，如图所示：设 ，则 ，
，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
∴方程的解是 ．
故答案为： ．
3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和
形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
(1)如图，我们可以构造边长为 的正方形 ， 为 边上的动点．设 ，则 ．则
＝ + 的线段和；
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
(3)【应用拓展】应用数形结合思想， 的最小值是
【答案】(1) ，
(2)(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）根据已知图形利用勾股定理计算即可；
（2）作点 关于 的对称点 ，连接 ，得到 ，则 的最小值即为 的长，
利用勾股定理计算即可；
（3）构造两个边长为 的正方形 和 ， 为 边上的动点， ，设 ，则 ，
得到 ，延长 至点 ，使得 ，则 垂直平分线段 ，
上任意一点到点 和点 的距离都相等，即总有 ，连接 ，由“两点之间，线段最短”知，
当点 在 和 交点处时， 的长最短，从而 的长最短，最小值为线段 的长，利
用勾股定理求解即可；
【详解】（1）在已知图形中， ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
；
故答案是： ； ．
（2）作点 关于 的对称点 ，连接 ，
则 ，
则 的最小值即为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ；
（3）如图，构造两个边长为 的正方形 和 ， 为 边上的动点， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，延长 至点 ，使得 ，则 垂直平分线段 ， 上任意一点到点 和点 的距离都相
等，即总有 ，连接 ，由“两点之间，线段最短”知，当点 在 和 额交点处时，
的长最短，从而 点的长最短，最小值为线段 的长，过点 作 ，交 于点
，
在 中， ， ，
，
的最小值等于 ．
故答案是： ．
4．如图，C为线段 上一动点，分别过点B，D作 ，连接 ．已知
．
(1)求当x等于何值时， ?
(2)当 时，求 的长．
(3)利用图形求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意， 时， ，继而得到 ，结合
，得到 ，解方程即可．
（2）当 时， ，利用勾股定理计算即可．（3）根据 得 ，
构造 ．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【详解】（1）根据题意， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
（2）根据题意， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
故 ．
（3）根据 得 ，
构造 ．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长 到点F，过点A作 于点F，
则四边形 是矩形，
故 ．
故 ．
5．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然， ， ．
请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，
可得到勾股定理： __________________， __________________；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点
P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 的最小值（ ）．
【答案】（小试牛刀） ， ；（知识运用） ；（知识迁移）代数式
的最小值为15．
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，由三角形三边关系可得当
三点共线时， 距离最小；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，则
，由上可得当 三点共线时， 距离最小．
【详解】解：（小试牛刀） ；
；
故答案为： ， ；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：由题意可得： ，
，则 的最小值，即为 的最小值，
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时 ，
∴ 的最小值为 ，
作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 米，
故答案为： ；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，
设 ，则 ，
∴ ，
由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小为 ，
作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ．
∴代数式 的最小值为15．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
