第51讲二项式定理（精讲）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第 51 讲 二项式定理（精讲） 题型目录一览 ①二项展开式中的特定项问题 ②二项式系数问题 ③二项展开式中各项系数的和问题 ④三项展开式的问题 ⑤两个二项式乘积展开式的系数 ⑥赋值法 一、知识点梳理 一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 1.二项式定理 n 一般地，对于任意正整数 ，都有： ， (ab)n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式． 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 2.二项式 的展开式的特点： ①项数：共有 项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次 数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ； ④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数（包括二项式系 数）．3.两个常用的二项展开式： (ab)n C n 0anC n 1an1b  (1)rC n ranrbr  (1)nC n nbn nN* ① （ ） (1x)n 1C1xC2x2 Crxr xn n n  n  ② 4.二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： Cr n 公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 ； ②字母 的次数和组合数的上标相同； ③ 与 的次数之和为 ． Cranrbr Crbnrar n n 注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 和 的二项展开式的第r+1项 是有 区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的． T (1)rCranrbr r1 n ②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 （只 需把 看成 代入二项式定理）． 二、二项式展开式中的最值问题 1.二项式系数的性质 ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． ③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 ． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． ⑤最大值：如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大． 2.系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． 三、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： abn C0an C1an1bC2an2b2 Cranrbr  Cnbn （1）设 n n n  n  n ， 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的 值． ①令 ab1 ，可得： 2n C n 0 C n 1   C n n 0C0C1C2C3 1nCn ②令 ，可得： n n n n n，即： C n 0 C n 2   C n n C n 1 C n 3  C n n1 （假设 n 为偶数），再结合①可得： C0 C2  Cn C1 C3 Cn1 2n1 n n  n n n  n ． （2）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ． ②各项系数和：令 ，得 ． 注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当 为偶数时，奇数项的系数和为 ；偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当 为奇数时，奇数项的系数和为 ； 偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若 ，同理可得． 二、题型分类精讲 题型 一 二项展开式中的特定项问题 策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项 展开式中的特定项的关键点如下： ①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式T ＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项． r＋1 ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式 (组)． ③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 【典例1】（单选题）已知 的展开式中的常数项为 ，则实数 （ ） A．2 B．-2 C．8 D．-8 【答案】B 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】 展开式的通项为： ， 取 得到常数项为 ，解得 . 故选：B【典例2】（单选题）二项式 展开式中含x项的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解. 【详解】二项式 的通项公式 ， 令 ，则 . 则二项式 展开式中含x项的系数是 . 故选：C 【题型训练】 一、单选题 1．在 的展开式中，第四项为（ ） A．160 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可. 【详解】在 的展开式中， 第四项为 . 故选：D. 2． 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B 【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常 数项等于-160求得实数a的值. 【详解】 的展开式通项为 ， ∴令 ，解得 ， ∴ 的展开式的常数项为 ， ∴ ∴ 故选：B. 3． 的展开式中 的系数为（ ） A．40 B． C．80 D． 【答案】A 【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得； 【详解】 的展开式的通项 ， 令 ，解得 ， 所以 ，所以 项的系数为 ， 故选：A 4．已知 的展开式中的常数项是672，则 （ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】写出二项式通项 ，整理后让 的次数为 ，得出 的值，再根据题意常数项的系数列出等式方 程即可得出 的值.【详解】展开式的通项为 ，令 ，得 ，∴常数项 是 ，故 ． 故选：C 5．二项式 的展开式中的常数项为（ ） A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式求解即可. 【详解】因为 ， 令 ，得 ， 所以二项式展开式中的常数项为 ． 故选：C. 6．若 展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ） A．2 B．3 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】 ， 令 ，得 ，则 时， 取最小值 . 故选：A 7． 的展开式中 的系数是126，则 （ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】C 【分析】求出展开式通项，令 ，解出 ，即可得出答案.【详解】展开式通项为 ， 令 ，解得 ， 因为 的系数是126，所以 ， 解得 ， 故选：C. 二、填空题 8．二项式 的展开式中的常数项为 . 【答案】240 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得. 【详解】二项式 的展开式通项为 ， 由 ，得 ， 所以所求常数项为 . 故答案为：240 9． 的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）. 【答案】960 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为， 展开式的第8项为 ， 所以， 的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 10．二项式 的展开式中的常数项是 . 【答案】【分析】利用二项式 的通项公式 ，即可求出结果. 【详解】二项式 的通项公式为 ， 由 ，得到 ，所以二项式 的展开式中的常数项是 ， 故答案为： . 11．若在 的展开式中，第4项是常数项，则 ． 【答案】12 【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到 ，即可求得答案 【详解】设展开式中第 项为 ，则 ， 又展开式中第4项是常数项， ∴ 时， ， ∴ 故答案为：12 12．设常数 ，若 的二项展开式中 的系数为144，则 ． 【答案】2 【分析】利用公式 ，令 即可求值． 【详解】解： ． 令 ，解得 ， 则 ， ，解得 ． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．已知 的展开式中 的系数是 ，则 . 【答案】 【分析】结合二项展开式通项，根据 的系数可构造方程求得结果. 【详解】因为 展开式通项为 ， 令 ，则 展开式中 的系数为 ， 即 ，解得： 或 ，又 ， . 故答案为： . 题型二 二项式系数问题 策略方法 二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n． 【典例1】（单选题） 展开式中的各二项式系数之和为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式的系数和可得出关于 的等式，解之即可. 【详解】 展开式中的各二项式系数之和为 ，解得 . 故选：A. 【典例2】（单选题）．若 二项展开式中的各项的二项式系数只有第 项最大，则展开式的常 数项的值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质得到 ，再写出展开式的通项，即可求出常数项. 【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第 项最大，所以 ， 则 展开式的通项为 （ 且 ）， 令 ，解得 ， 所以 ，即展开式中常数项为 . 故选：D 【题型训练】 一、单选题 1． 的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A．160 B．240 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】因为 ，所以 的展开式中二项式系数最大为 ， 即展开式的第4项，即 . 故选：C． 2．已知二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，二项式 的展开式共 项，即可求出 的值. 【详解】因为二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大， 则二项式 的展开式共 项，即 ，解得 .故选：A. 3．已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 项的系数为（ ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求得 ，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数. 【详解】因为 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ．则 又因为 的展开式的通项公式为 ， 令 ，所以展开式中的 项的系数为 ． 故选：B. 4．若 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 的展开式中的常数项为 （ ） A．6 B．8 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出 的展开式的 通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项． 【详解】由 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得 ，所以 ， 则二项式 的展开式的通项公式为 （ 且 ）， 令 ，解得 ， 所以 ，故 的展开式中的常数项为28， 故选：C．5．若 的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项展开式可知 ，计算出 ，即可知二项式系数最大为 ，即为第6项. 【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为 和 ， 即 ，由二项式系数性质可得 ； 因此展开式中二项式系数最大的项为 ，是第6项. 故选：C 6．二项式 的展开式中，含 项的二项式系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．21 【答案】B 【分析】易知展开式中，含 项的二项式系数为 ，再利用组合数的性质求解. 【详解】解：因为二项式为 ， 所以其展开式中，含 项的二项式系数为： ， ， ， ， ， . 故选：B二、填空题 7．若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到 ，再计算第三项的二项式系数即可. 【详解】 展开式的二项式系数和为 ，故 ， 展开式中第三项的二项式系数为 . 故答案为： . 8．若 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中 的系数为 . 【答案】 【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得 ，则 展开式中第 项为 ，令 可得答案. 【详解】因 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则 . 则 展开式中第 项为 . 令 可得 ，则 的系数为 . 故答案为： 9． 的展开式中含 项的二项式系数为 . 【答案】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．【详解】由题意知：通项为 ， 令 ，得 ， 所以 的展开式中含 项为第六项， 第六项的二项式系数为： ． 故答案为： ． 10． 的展开式中二项式系数最大的项是 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质即可知 最大，由二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】 的二项展开式有7项，其二项式系数为 ，由组合数的性质可知 最 大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是 . 故答案为： 11．已知 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含 的系数为 . 【答案】 【分析】根据题意求得 ，得到二项式为 ，结合展开式的通项，即可求解. 【详解】因为 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等， 可得 ，即 ，即二项式为 ， 其展开式的通项为 ，令 ，可得 ，即展开式中 的系数为 . 故答案为： . 12．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 . 【答案】14或23 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得 或 . 【详解】由题意可得 成等差数列，则 ， 即 ， 即 ，即 ， 解得 或 . 故答案为：14或23 题型三 二项展开式中各项系数的和问题 策略方法 常用赋值法，参考题型六 【典例1】（单选题）已知 的展开式中所有项的系数之和为256，则 （ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】令 ，得到 ，即可求解. 【详解】由二项式 的展开式中所有项的系数之和为256， 令 ，可得 ，解得 .故选：B. 【题型训练】 一、单选题 1．若 的展开式中常数项等于 ，则其展开式各项系数之和为（ ） A．1 B．32 C．0 D．64 【答案】C 【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于 ，则就出参数 ，则赋值给 即可求出展开式 各项系数之和. 【详解】因为 的展开式中常数项等于 ， 所以由 ， 当 ， 此时常数项为： ， 所以 ， 令 ，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 2．已知 的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ） A．－756 B．756 C．－2268 D．2268 【答案】D 【分析】利用赋值法结合条件可得 ，然后利用展开式的通项根据结合条件即得. 【详解】令 可得展开式中所有项的系数和为 ，所以 ， 故 ，令 ，则 ， 所以展开式中的常数项为： ． 故选：D．3．已知 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 的系数为（ ） A．28 B．-28 C．45 D．-45 【答案】A 【分析】根据展开式各项系数之和可得 的值，从而可得展开式的通项，进而可得 的系数. 【详解】 的展开式中各项系数之和为0 所以令 得 ，则 ， 所以 的通项为 所以展开式中 的系数为 . 故选：A. 4．已知 的二项展开式中，第 项与第 项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理求得 的展开通项，从而利用 与 的系数相等得到关于 的方程，进而求 得 的值，由此得解. 【详解】因为 的展开通项为 又因为第 项与第 项的系数相等，所以 ， 由二项式系数的性质知 ，则 ，故 ， 所以 的二项展开式中所有项的系数之和为 . 故选：C. 二、填空题5．已知 的展开式中，各项系数之和为 ，则二项式系数之和为 . 【答案】 【分析】令 ，结合二项式 各项系数和可求得 的值，进而可求得该二项式系数之和. 【详解】因为 的展开式中，各项系数之和为 ，令 ，可得 ，解得 ， 因此，二项式系数之和为 . 故答案为： . 6．在 的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ． 【答案】16 【分析】由二项式系数的性质可求 ，再利用赋值法求各项系数和. 【详解】因为二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是16， 所以 ，故 ， 取 可得二项式 的展开式中各项系数和为 ，即16. 故答案为：16. 7．已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ． 【答案】80 【分析】根据题意，由各项系数之和可得 ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果. 【详解】由题意，令 ，则 ，解得 ， 则 的展开式第 项 ， 令 ，解得 ，所以 . 故答案为：8．已知 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中 的系数为 ． 【答案】10 【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出 ，用通项公式求解即可. 【详解】因为 的二项展开式的各项系数和为32， 令 得： ，解得 ，所以 . 通项公式为： ， 令 ，得： ， 所以 的系数为： . 故答案为：10 9．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 ，则二项展开式中的常数项为 . 【答案】240 【分析】由已知求得 ，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可. 【详解】 的展开式中，二项式系数和为 ， 令 ，得 的展开式中，各项系数和为 ， 由题意可得 ，即 ，解得 ， 所以 的展开式的通项为 ，令 ，解得 ，故展开式的常数项为 ， 故答案为：240 10．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ． 【答案】729 【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案. 【详解】由题意 的二项式中，所有的二项式系数之和为64， 即 ， 设 的各项的系数为 ， 则各项的系数的绝对值之和为 ， 即为 中各项的系数的和， 令 ， ， 即各项的系数的绝对值之和为 ， 故答案为：729 题型四 三项展开式的问题 策略方法 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式 之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 【典例1】（单选题） 的展开式中， 的系数为（ ） A．80 B．60 C． D． 【答案】D【分析】由题得 ，再利用二项式的通项即可得到答案. 【详解】 ，则其展开式通项为 ， 令 ，则 的展开式中含 的项为 ， 所以 的系数为 ， 故选：D． 【题型训练】 一、单选题 1． 的展开式共（ ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵ ， 由二项式定理可知， 展示式中共有 项， ∴ 的展开式共有 项. 故选：B． 2．在 的展开式中， 的系数是（ ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】D 【分析】根据题意， 的项为 ，化简后即可求解. 【详解】根据题意， 的项为 ， 所以 的系数是 .故选：D． 3． 的展开式中的常数项为（ ） A．588 B．589 C．798 D．799 【答案】B 【分析】因为 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 各取一个相乘而得，分析 组合可能，结合组合数运算求解. 【详解】因为 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 中各取一个相乘而得， 若得到常数项，则有：①8个1；②2个 ，1个 ，5个1；③4个 ，2个 ，2个1； 所以展开式中的常数项为 . 故选：B. 4． 的展开式中含 的项的系数为（ ） A． B．60 C． D．30 【答案】A 【分析】将 转化为 ，根据二项式定理求出含 的项，即可得出答案. 【详解】因为 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ， 所以 的展开式中含 的项的系数为 . 故选：A. 5．已知 展开式的各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A．270 B． C．330 D．【答案】D 【分析】令 ，得 ，得 . 再根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】令 ，则 ，得 . 所以 ， 又因为只有 ， 展开式中有含 的项， 所以 的系数为 . 故选：D 6．已知 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理可分别得到 和 展开式的通项，令 即可讨论 得到 的取值，结合展开式通项，利用 的系数构造方程即可求得 的值. 【详解】 展开式的通项为： ， 且 ； 展开式的通项为： ， 且 ； 令 ，则 或 ，的系数为 ， 解得： . 故选：A. 7． 的展开式中 的系数为12，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 的展开式中 的系数可以看成：6个因式 中选取5个因式提供 ， 余下一个因式中提供 或者6个因式 中选取4个因式提供 ，余下两个因式中均提供 ， 故 的系数为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C 二、填空题 8． 展开式中， 项的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式定理求解． 【详解】 ，∵ 的指数是3，∴得到 ， ∵ 的指数是2，得到 ，∴ 项的系数为 .故答案为： 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 【答案】 【分析】原多项式中写出含 的项，然后再从 中写出含 的项，即可得含 的系数. 【详解】由含 的项中对应 的指数分别为 ， 所以 ， 对于 中含 的项为 ， 所以含 的系数是 . 故答案为： . 10． 的展开式中，含 的项的系数为 ． 【答案】 【分析】 的展开式中，含 的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到 ，其余3个都 取到2；第二类：4个因式中有2个取到 ，其余2个都取到2，结合组合数即可求解. 【详解】 的展开式中，含 的项有以下两类： 第一类：4个因式中有1个取到 ，其余3个都取到2，即 第二类：4个因式中有2个取到 ，其余2个都取到2，即 所以 的展开式中含 的项为 ， 故含 的项的系数为 . 故答案为： 11． 展开式中常数项是 .（答案用数字作答）【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项化简得常数项满足 ，即可代入求解. 【详解】 的展开式的通项为 ， , 令 ,则 或 ，或 ， 所以常数项为 ， 故答案为： 12．已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ． 【答案】2 【分析】 表示有5个 因式相乘，根据 的来源分析即可求出答案. 【详解】 表示有5个 因式相乘， 来源如下： 有1个 提供 ，有3个 提供 ，有1个 提供常数， 此时 系数是 ，即 ，解得： 故答案为： . 13．在 的展开式中， 项的系数为 . 【答案】220 【分析】根据给定条件，分析展开式中 项出现的情况，再列式计算作答. 【详解】 的展开式通项， 当 时， 展开式中 的最高指数小于12，而 的指数小于等于 ， 因此 中 的指数是负整数，要得到 项，当且仅当 ， 所以展开式中 项的系数是 展开式中 项的系数 . 故答案为：220 题型 五 两个二项式乘积展开式的系数 策略方法 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋ d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2． (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【典例1】（单选题） 的展开式中含 项的系数为（ ） A．10 B．12 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解. 【详解】 的二项展开式的通项为 ， 当 时， 的展开式中含 项为 ； 当 时， 的展开式中含 项为 ； 所以 的展开式中含 项的系数为 . 故选：A. 【题型训练】一、单选题 1． 的展开式中， 的系数为（ ） A．200 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和. 【详解】 ， 而 展开式的通项为 ， 所以当 时， 的系数为 ， 当 时， 的系数为 ， 所以 的系数为 ， 故选：B 2． 的展开式中各项系数之和为 ，则该展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取 代入计算得到 ，确定 展开式的通项，分别取 和 计算得到答案. 【详解】 的展开式中各项系数之和为 ，令 ，可知 ， ， 故 ， 展开式的通项为 ， 分别取 和 得到常数项为： ，故选：C 3．已知 展开式中 的系数为48，则实数 （ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式 的通项公式为： 的展开式中， 的系数为 ， 解得 ． 故选：A 4． 的展开式中含 的系数为（ ） A．1872 B．792 C．495 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项，先计算 中含 的项和常数项，再分别和 ， 相乘即可. 【详解】 的通项为 ， ， 令 得 ； 令 得 . 所以 的展开式中含 的系数为 . 故选:D.5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则 展开式中的常数项为（ ） A．12 B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据上四分位数的计算可得 ，再根据 ，分别求解两项 中的常数项求和即可. 【详解】因为 ，故取数据从小到大第5个数，所以 . 则 ， 又 中常数项为 ， 的项为 ， 故 展开式中的常数项为 . 故选：A. 6．已知 的展开式中 的系数为80，则a的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可得 ，结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】由题意可得 ， 对于 的展开式可得 ， 令 ，解得 ，故 的展开式中 的项的系数为 ； 对于 的展开式可得 ， 令 ，该方程组无解， 故 的展开式中没有 项； 又∵ 的系数为80，则 ，解得 ． 故选：D. 7． 的展开式中 的系数为（ ） A．18 B．135 C．540 D．1215 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】 ， 的展开式的通项为 . 因为 的展开式中没有 项， 的展开式中 项为 ， 所以 的展开式中 的系数为540. 故选：C. 8． 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可. 【详解】 的展开式的通项公式为 ， 所以 ． 令 ，解得 ， ．令 ，解得 ． 由题意，可知 ， 所以 ． 故选：D． 二、填空题 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 【答案】240 【分析】利用二项展开式的通项公式即可. 【详解】在 的展开式中， 的系数为 ； 在 的展开式中， 的系数为 ； 所以在 的展开式中， 的系数为 ； 故答案为：240 10．在 的展开式中含 项的系数是 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ；令 ，解得 . 所以 的展开式中含 的项为 ， 所以展开式中含 项的系数是 . 故答案为： 11．已知 的展开式中的常数项为240，则 ． 【答案】3 【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 值. 【详解】 的展开式的通项 ， 令 得 ，令 ，无解， 所以 的展开式中的常数项为 ，所以 . 故答案为：3 12．已知 的展开式中的常数项为240，则展开式中 项的系数为 . 【答案】30 【分析】根据二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 ，再求出指定项的系数得解. 【详解】 的展开式的通项 ， 令 得 ；令 得 （不符合题意）， 因此 的展开式中的常数项为 ，得 ， 所以 的展开式中 项的系数为 . 故答案为：3013．已知 （ 为常数）的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为 ． 【答案】 【分析】首先根据系数和公式求 ，再根据二项展开式的通项公式求 的系数. 【详解】依题意， 解得 ， 的展开式的通项为 ， ， ，其中 不含有 项， 的二项展开式中，当 时， 项的系数为 ， 可得 的展开式中 的系数为 ． 故答案为： ． 14． 展开式中 的系数是 . 【答案】5 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得 展开式中的 项的系数，结合多项式相乘，即可求 得答案. 【详解】由题意知 项和 展开式中的 相乘出现 项， 的通项公式为 ， 分别令 可得 项的系数为 ， 故 展开式中 的系数是 ， 故答案为：515．在 的展开式中，系数最大的项为 . 【答案】 【分析】分别求出 和 展开式系数最大的项，即可得出答案. 【详解】因为 的通项为 ， 的通项为 ， ∵ 展开式系数最大的项为 ， 展开式系数最大的项为 ， ∴在 的展开式中，系数最大的项为 . 故答案为： . 题型六 赋值法 策略方法 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有 关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 【典例1】（单选题） ，则 （ ） A．41 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可求出结果. 【详解】令 ，得 ， 令 ，得 ，所以 ，即 . 故选：A 【题型训练】 一、单选题 1． ，则 （ ） A．41 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可求出结果. 【详解】令 ，得 ， 令 ，得 ， 所以 ，即 . 故选：A 2．若 ，则 （ ） A．1 B．513 C．512 D．511 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令 ，求出 ，再令 ，求出 ，从而可求得结果. 【详解】令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 ， 故选：D 3．若 ，则 （ ） A．1 B．-1 C．15 D．-15 【答案】A 【分析】采用赋值法，即令 ，即可求得答案.【详解】由于 ， 故令 ，可得 ， 故选：A 4．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 求出 ，再令 求出 ，即可得解. 【详解】因为 ， 令 ，可得 ， 令 ，可得 ， 所以 . 故选：A 5．若 ，则 （ ） A．257 B．129 C． D． 【答案】B 【分析】令 得 ，令 得 ，相减即得结论． 【详解】令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ． 故选：B． 6．若 ，且 ，则实数 的值可以为（ ） A．1或 B． C． 或3 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可求 ，据此可求 的值. 【详解】令 可得 ， 即 ， 令 ，可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，整理得 ，解得 或 ． 故选：A. 7．若 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用赋值法即可求解. 【详解】因为 ， 令 得， ①， 令 得， ②， ① ②得， ， 所以 . 故选：B8． 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为64，则含 项的系数为（ ） A． B．28 C． D．35 【答案】C 【分析】设 ，然后代入 ， ，可整理得奇数次幂项的系数 之和，求得 ，即可求得答案 【详解】设 , 则令 ,可得 ①， 令 ,可得 ②， ① ②可整理得 ,解得 , 所以 , 所以含 的项为 ,其系数为 , 故选： . 9．已知 的展开式中 的系数为25，则展开式中 的偶次方的系数和为（ ） A．16 B．32 C．24 D．48 【答案】D 【分析】应用二项式定理确定展开式中含 的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和. 【详解】由 展开式通项为 ， ， 令 ，则 ；令 ，则 ； 所以 的展开式中含 的项为 ， 即 ，故 ，设 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相加得 . 故选：D 10．已知 ，则下列描述正确的是 （ ） A． B． 除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】B 【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】对于A：令 得： ；令 ，得 ． ，因此A错误； 对于B： ，因此B正确 对于C：因为 二项展开式的通项公式为 ， 由通项公式知， 二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以 ， 由 ，令 ，得到 ， 令 ，得到 ， 所以 ，因此C错误 对于D：对原表达式的两边同时对 求导，得到 ， 令 ，得到 ，令 ，得 所以， 所以选项D错误． 故选：B 二、填空题 11．已知 ，则 ． 【答案】5 【分析】利用赋值法求得 的值，进而得解. 【详解】令 得到 ， 所以 ， 故答案为：5. 12．若 ，则 . 【答案】15 【分析】由函数观点结合赋值法即可求解. 【详解】不妨设 ， 令 得 ， 令 得 ， 所以 . 故答案为：15. 13．已知 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 的系数为 ．【答案】720 【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出 ，然后利用二项式展开式求特定项即可. 【详解】由偶数项的二项式系数之和为16， 则有 ， 所以展开式中 的项为： ， 则展开式中 的系数为：720. 故答案为：720. 14．若 ，则 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】因为 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相加得： ，则 . 故答案： . 15．已知 ，则 ． 【答案】24 【分析】利用赋值法进行求解即可. 【详解】在 中， 令 ，得 ①， 令 ，得 ②， 令 ，得 ① ②，得 ，故答案为： 16．已知 ,则 .（用数字作答） 【答案】33 【分析】令 可得 ,令 可得 ,令 可得 ,两 式相加得 ,再减去 即可得出结果. 【详解】因为 . 令 ,得 ; 令 ,得 ①; 令 ,得 ②; ①+②得 , 所以 . 故答案为: . 17．记 ，则 ． 【答案】 【分析】分别取 和 ，所得式子作和即可整理得到结果. 【详解】取 ，则 ； 取 ，则 ； 两式作和得： ， . 故答案为： . 18．设 ，则 的值为 . 【答案】1【分析】由 ，展开式 中令 和令 ，即可求解. 【详解】令 有 ，令 有 ， 故 故答案为：1 19．若 ， = . 【答案】 【分析】赋值法求系数和及 ，进而求目标式的值. 【详解】令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 . 故答案为：