文档内容
20.1（第 3 课时）利用勾股定理作图或计算（原卷版）
目 录
类型一、勾股定理与无理数......................................................................................................................................1
类型二、弦图计算......................................................................................................................................................4
类型三、网格问题....................................................................................................................................................11
类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题........................................................................................................15
类型一、勾股定理与无理数
1．如图，点 ， 在数轴上，其表示的实数分别为 ，过 点作 ，且 ．以点 为圆心，
为半径作弧，与数轴正半轴交于点 ，则点 表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点 处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线
长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（ ）A． B． C． D．
5．如图，已知 ， 于点 ，点 对应的数是 ， ，那么数轴上点 所表示的数是
（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ，则数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，数轴上的点 、 对应的实数分别是 、 ，线段 于点 ，且 长为 个单位长度．若
以点 为圆心， 长为半径的弧交数轴于 和 之间的点 ，则点 表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，数轴上点A所表示的数是2， ，且 ．以原点O为圆心， 为半径画弧，交数
轴的负半轴于点C，则点C表示（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形 中， 在数轴上．若以点 为圆心，对角线 的长为半径作
弧交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的数为（ ）A． B． C． D．
11．如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
12．如图所示，数轴上点 所表示的数为 ．
13．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段 于点B，且 长为1个单位长度．若
以点A为圆心， 长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ．
14．如图，若点A在数轴上表示的数是 ，以A为圆心， 为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则
点E所表示的数是 ．
15．如图所示在数轴上有个 的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点
表示的数为 ．以A为圆心、 为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为 ．
16．如图，矩形 的边 在数轴上，若点 与数轴上表示数 的点重合， ，以点 为圆心，对
角线 的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则该点表示的数为 ．17．如图所示，已知 ， ，以点O为圆心， 长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数_____ ；（填“>”或“<”）
(3)在数轴上找出 对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹）
18．如图， ．
(1)点A表示的数是______，点A表示的数______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)在数轴上作出 所对应的点（保留作图痕迹）；
(3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想．
A．数形结合 B．方程 C．分类讨论 D．化归
类型二、弦图计算
19．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等
的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形
与四边形 均为正方形，H是 的中点．若 的长为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
20．如图，正方形 是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正
方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）A．65 B．70 C．75 D．80
21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中 ， ，则每个直
角三角形的面积为（ ）
A．24 B．25 C．50 D．75
22．如图，图 是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中
的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．
探究学习中，标上字母绘成图 所示，若记朱方对应正方形 的边长为 ，青方对应正方形 的
边长为 ，已知 ， ，则图 中的阴影部分面积为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．24
23．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股
算术算法的推广．书中的证明方法是将 个边长分别为 、 、 的全等直角三角形拼成如图所示的五边形
，其中 、 为直角边、 为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知 ， 个
直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是 ，那么 的长是（）A．7 B．17 C． D．
24．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的
“弦图”，图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记为 ．若
，则 的长是（ ）
A． B．5 C． D．
25．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ，连结
并延长，交 于点 ，若 ，E为 中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
26．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正
方形 的面积是（ ）A．3 B．4 C．6 D．9
27．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正
方形的面积为4，若用 ， 表示直角三角形的两条直角边长（ ），下列四个说法：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③
28．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的
直角三角形和一个小正方形 密铺构成的大正方形 ．连接 ，若 ，且大正方形
的面积是 ，则小正方形 的边长是（ ）
A． B． C．2 D．
29．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直
角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小
正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求 的值为 ．
30．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在
中，若直角边 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示
的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分） ．
31．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三
角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为 ．若小正方形的面积为4， ，有下列说法：① ，② ，③一个直角三角形的面积为10；
④大正方形的边长为 其中正确的是 填序号
32．在“赵爽弦图”中， ，将四个全等直角三角形中的较长直角边 向外延长一倍（即 ），
得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为 ，则 的长为 ．
33．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个
全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若 ， ，则正方形 的面积为 ．
34．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，
较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ．
35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为
，较长直角边长为 ， ，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ．36．综合与实践
【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为 ， ，斜边为 ）拼成含有正方
形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
(1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为
，也可表示为 ，因此，化简可得 ；
(2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理；
(3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法
证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程．
37．在北京召开的第24届国际数学家大会上，依据“赵爽弦图”设计的如图所示的会标，有力彰显了中国
古代数学的伟大贡献．设赵爽弦图中直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若
，大正方形的面积为14，求小正方形的面积．
38．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边
长都为c），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出直角三角形的三
边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式 ．利用
以上所得的直角三角形的三边关系进行证明： ．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某
种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条
直线上)，并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路 少多少
千米？
(3)在第（2）问中若 时， ，设 ，求x的值．
39．综合与实践
探索：将边长分别为 、 的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面
积吗？
(1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；
方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为
，即阴影部分面积为： ．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面
验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证
公式，俗称“无字证明”．
(2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明．
(3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长
为 ，较短的直角边长为 ，斜边长为 ，证明： ．
40．【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式： ，化简证得勾股定理： ．
【初步运用】
(1)如图1，若 ，则小正方形面积 大正方形面积=________；
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若 ， ，此时小正方形内空白部分的面积为
_________；
(3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24， ，
该风车状图案的面积为_______；
(4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的
面积分别为 ， ， ，若 ，则 _______．
(5)如果用三张含 的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边
三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含 的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式
及其推导过程．
类型三、网格问题
41．如图，在单位长度为1的 的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（
）
A． B． C． D．
42．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点 ，使得 是等腰三角形，且
为其中一腰．这样的 点有（ ）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
43．如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，
C，D，则下列线段中，长度为 的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
44．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中， 的三个顶点均在格点上，则 中 边
上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
45．如图，每个小正方形的边长为1，四边形 的顶点 、 、 、 都在格点上，则下面4条线段
长度为 的是（ ）
A． B． C． D．
46．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 的两个端点都在正方形网格的格
点上，则 的长不可能是（ ）A． B． C． D．
47．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的顶点均在格点上，则四边形
的边长为整数的边是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
48．如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在
格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．4
49．如图，在 的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
50．如图，在 的网格中，以 为一边，点 在格点处，使 为等腰三角形的点 有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
51．如图，在单位长度为1的 的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段 ， 的顶点都在格点上．
（1）线段 ， 的长度分别为 ， ；
（2）设 ， 所夹的锐角为 ，则 的度数为 °．
52．如图， 的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若 于点 ，则 的长为
．
53．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中， 的三个顶点均在格点上，则 中 边
上的高为 ．
54．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段 的长度是 ．
55．如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上
表示 的点重合，则 ，数轴上点 所表示的数为 ．
56．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心， 长为半径画弧交最上方的网格线于点D，
若点A的坐标为 ，则点D的坐标为 ．57．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，
的三个顶点都在格点上，位置如图所示：
(1)找到格点 ，连接 ，与 交于点 ，且使得 （保留利用格点的作图痕迹）；
(2)求出 边上的高 长．
58．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
(1)在图①中，连接 、 ，使 ．
(2)在图②中，连接 、 、 ，使 ．
(3)在图③中，在 边上找格点 ，连接 ，使 的面积是 面积的2倍．
类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题
59．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合
的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度 ，将它往前推 至C处时（即水平
距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（ ）．A． B． C． D．
60．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工
高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步 10
尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为
尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
61．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线 剪开，将右半部
分上下翻转得到的图形，其中四边形 ，四边形 与四边形 均为正方形，若图1中空白
部分面积为37，线段 的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．25
62．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及
5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（ ）A．1m B．2m C．3m D．4m
63．已知 是斜边长为 的等腰直角三角形，以 的斜边 为直角边，画第二个等腰
，再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰 ， ，依此类推，第 个等腰直角
三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．
64．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几
何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部
分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（ ）
A．5尺 B．6尺 C．8尺 D．10尺
65．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了（ ），却踩坏了花草．
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
66．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别
1km和3km，且 相距3km，则铺水管的最短长度是（ ）km
A．5 B．4 C．3 D．667．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为 ）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高
度至少为 ．
68．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，
问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，
自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺．
69．如图（单位： ），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无
缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的 至少为 ．
（结果保留根号）
70．某校在一次消防演练中，消防车按如图 所示的方式停放， 长的云梯 需要到 高的宿舍楼
的点 处，其示意图如图 ，已知云梯的底端 到地面的距离 是 ，与宿舍楼 的水平距离
是 ．云梯的长度够吗？请说明理由．1．在 中， ．若 ，如图1，根据勾股定理，则 ．
(1)若 是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．
(2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说
明理由．
2．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等腰 ，且 ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
3．【问题背景】
（1）如图1，点 是线段 ， 的中点，求证： ；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰 中， 是底边 上的高线，点 为 内一点，连接 ，延长 到点
，使 ，连接 ，若 ，请判断 、 、 三边数量关系并说明理由；【拓展应用】
（3）如图3，在等腰 中， ， ，点 为 中点，点 在线段 上（点 不与
点 ，点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ， ，请直接写出 的长．
3．如图，在 中， ， ，D是 边上一点（点D与 、 不重合），连结
，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由；
(3)点 在 上运动时，试探究 是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，
请说明理由．
4．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为
a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形 中 于点O， ， ， ，请直接写出 ．1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式
的最小值”：小鄞同学发现 可看作两直角边分别为 和2的直角三角形斜边
长， 可看作两直角边分别是 和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，
将问题转化为求线段 的长，进而求得 的最小值是_____．
（2）类比迁移：已知 ， 均为正数，且 ．求 的最大值．
2．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和3的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，
并使直角边 和 在同一直线上（图1），向右平移直角 使点 和 重合（图2），这时
，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据
两点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式 的最小值为___________；
（2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
【模型拓展】（3） 的最大值是___________；
（4）已知正数 满足 ，则 ___________．
3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和
形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
(1)如图，我们可以构造边长为 的正方形 ， 为 边上的动点．设 ，则 ．则
＝ + 的线段和；
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
(3)【应用拓展】应用数形结合思想， 的最小值是
4．如图，C为线段 上一动点，分别过点B，D作 ，连接 ．已知
．
(1)求当x等于何值时， ?
(2)当 时，求 的长．
(3)利用图形求代数式 的最小值．
5．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然， ， ．
请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，
可得到勾股定理： __________________， __________________；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点
P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 的最小值（ ）．
