文档内容
20.1（第 2 课时）勾股定理在实际生活中的应用（解析版）
目 录
类型一、梯子滑落问题..............................................................................................................................................1
类型二、旗杆问题......................................................................................................................................................8
类型三、大树折断问题............................................................................................................................................18
类型四、航海问题....................................................................................................................................................20
类型五、受影响问题................................................................................................................................................26
类型六、最短路径问题............................................................................................................................................29
类型七、其他问题....................................................................................................................................................45
类型一、梯子滑落问题
1．如图，一架长 的梯子靠在墙上，梯子底端离墙 ，如果梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端将
滑动（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可．
【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：
，
梯子的顶端下滑 后，顶端距离墙角的距离：
，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：
，
梯子的底端滑动的距离为：
．
故选：C．
2．如图，小宇将 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端
与地面的距离是（ ）A． 米 B． 米 C．2米 D． 米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度 ，
故选：D
3．如果梯子的底端离建筑物 ，那么长 的梯子可以达到该建筑物的高度是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键．
由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再
利用勾股定理计算高度即可．
【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为 米．
∵梯子长 ，底端离建筑物 ，
∴由勾股定理，得 ，即 ，
解得： ．
故选B．
4．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火
灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房
的距离 为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为
了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米．
【答案】8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在 △ 中，根据勾股定理求出的长，在 △ 中，由勾股定理求出 的长，利用 即可得出结论．
【详解】解：在 △ 中，
米， 米，
（米 ，
米， 米，
（米 ，
（米 ，
（米 ．
故答案为：8．
5．如图，一架云梯 长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙 是7 米，若云梯顶端下滑4米
（即 米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离 是 米．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的
使用勾股定理求 的长度是解题的关键．
根据梯子长度不会变这个等量关系，根据勾股定理分别求出 米，
米，然后根据 ， 计算 ，即可解题．
【详解】解：由题意知 米， 米， 米，
在直角 中， 为直角边，
∴ 米，
已知 米，则 （米），
在直角 中， 为直角边，
∴ 米，
∴ （米）．
故答案为：8．
6．如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A
沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 米．【答案】2
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴BD=OD-OB=8-6=2（米），
故答案为：2．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息
抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
7．小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5
米长的梯子 斜靠在竖直的墙 上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，
那么点B将向外移动多少米？
(1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程；
(2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，
有可能相等吗？他是这样想的，当 时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来．
【答案】(1)解答过程见详解
(2)解答过程见详解
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．
（1）根据题意利用勾股定理得出 的长度，再根据已知长度得出 的长度，紧接着继续利用勾股定理
得出 的长度，进而求得点B将向外移动的距离；
（2）根据全等三角形的性质得到 ， ，进而得出 ，设 米，根据勾
股定理列出方程求解x的值，此时当 米时，梯子的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向
外移动的距离有可能相等．【详解】（1）解：由题意知，在 中，由勾股定理得，
（米），
∵在移动的过程中， 为定值， 米，
∴ （米），
∴在 中，由勾股定理得， （米），
∴ （米），
即点B将向外移动0.8米．
（2）解：当 时， ， ，
∴ ，即 ，
设 米，由勾股定理得，
，
解得： ， （舍去），
当 米时，即梯子的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
8．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云
梯底端距墙脚的距离 ．
(1)这架云梯顶端距地面的距离 有多高？
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端 下滑到 位置上（云梯长度不改变）、 ，那么梯子的
底端移动的距离 是多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题
的关键．
（1）在 中应用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知， ，然后在直角三角形 中利用勾
股定理求得 ，最后利用 求得答案．
【详解】（1）解：在 中， ，
由勾股定理得： ，答：这架云梯顶端距地面的距离 为 ．
（2）解：在直角三角形 中， ，
由勾股定理得： ，
，
答：梯子的底端移动的距离 是 ．
9．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙 上，此时梯子顶端 A到地面的距离为 ．
(1)求梯子底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑 ，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用．
（1）在 中，直接利用勾股定理求解即可．
（2）在 中，直接利用勾股定理可得 ，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴梯子底端B到墙角O的距离为： ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴梯子底端 B 将向外移动 ．
10．如图，长 的梯子 靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离 ．
(1)求梯子顶端距地面的高度 ；(2)若梯子顶端 沿墙面向下滑动 ，则梯子底端 向右滑动______ ．
【答案】(1)梯子顶端距地面的高度 为 ；
(2)
【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意直接利用勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出 的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：在 中， ，
则 ，
答：梯子顶端距地面的高度 为 ；
（2）解：如图，梯子顶端A沿墙面向下滑动 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则梯子底端 向右滑动 ．
故答案为： ．
11．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在
水平方向上滑动了多长的距离呢？
【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【分析】（1）应用勾股定理求出 的高度；
（2）利用勾股定理求出 的距离即可解答．【详解】解：（1）由题意，得 ，
所以： （米)．
（2）由 ，得
（米)．
（米)．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息．
12．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离
BB'为多少米？
【答案】（1）梯子距离地面的高度为 米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾
股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO 米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
类型二、旗杆问题
13．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度 ，将它往前推送 (即：水平距离 )
时，秋千踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 长为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 、 的长，掌握直角三角形
中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定
理可得 ，求解即可．
【详解】解： ， ，
，
设秋千的绳索长为 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得： ，
即绳索 的长度是 ．
故选：B．
14．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二
尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门
高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
【答案】A
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，
运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，
难度一般．
15．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉
直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端 ，并测得绳子末端距离打结处 ，则旗杆的高度为【答案】9
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高
度为 ，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可．
【详解】解：设旗杆的高度为 ，则绳子的长度为 ，
由勾股定理得： ，
解得： ，
所以旗杆的高度为 ；
故答案为：9．
16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，
也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图1，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是___________；
(2)应用二：解决实际问题．
小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录：
①测得水平距离 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为13米；
③小明牵线放风筝的手到地面的距离 长为1.5米，如果小明想让风筝沿 方向再上升4米， 和
的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识．
（1）画出圆柱侧面展开图，求出 ， ，根据勾股定理即可求出 ；
（2）由题意得 ， 米，求出 米，根据勾股定理求出 米，米．问题得解．
【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接 ．
∵圆柱的底面半径为 ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ．
在 中， ．
故答案为：
（2）解：如图，
由题意得 ，
在 中， 米，
当风筝沿 方向再上升4米时， 米，
在 中， 米，
米．
故答案为：2
17．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等注 ： 线 段 表 示 旗
模型抽象
杆， 垂直地面于点
第一次操作：如图 ，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出
测绘过程 的一段在地面拉直后记作 ，用皮尺量出 的长度．第二次操作：如图
，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点 处用皮尺量出 的长度．
数据信息 图 中 的长度为 ；图 中 的长度为 ．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．
【答案】学校旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设学校旗杆的高度为 ，则图②中， ， ， ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设学校旗杆的高度为 ，则图 中， ， ， ，
在 中，由勾股定理得：
∴ ．
解得： ，
答：学校旗杆的高度为 ．
18．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为
了测得风筝的垂直高度 （如图），他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的小明的身高为 米．(1)求风筝的垂直高度 ．
(2)如果小明想让风筝沿 方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度 为 米
(2)如果小明想让风筝沿 方向下降5米，那么他应该往回收线 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得 ， 米， ， ， 米， 米，则
，再由勾股定理求出 的长即可得解；
（2）在 上取点 ，使得 米，连接 ，则 米，在 中，由勾股定理得出 的长，
即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得： ， 米， ， ， 米，
米，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
即风筝的垂直高度 为 米；
（2）解：如图：在 上取点 ，使得 米，连接 ，
，
则 米，
在 中，由勾股定理可得 米，
∴ （米），
故如果小明想让风筝沿 方向下降5米，那么他应该往回收线 米．
19．如图，数学兴趣小组要测量旗杆 的高度，同学们发现系在旗杆顶端 的绳子垂到地面多出一段的
长度为 米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 处，到旗杆底部 的距离为 米．(1)求旗杆 的高度；
(2)小明在 处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落
在点 处，问小明需要后退几米（即 的长）？
【答案】(1)旗杆 的高度为 ；
(2)小明需后退 ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的
关键．
（1）设旗杆 的高度为 ，则 ，再由勾股定理计算即可得解；
（2）过E作 ，垂足为M，证明四边形 为长方形，得出 ， ，由勾
股定理得 ，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆 的高度为 ，则 ，
在 中， ，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
答：旗杆 的高度为 ；
（2）解：过E作 ，垂足为M，
则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
，
， ，
在 中， ，由勾股定理得： ，
答：小明需后退 ．
20．在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼 ，楼顶 处刚好有一根绳子
（ ）垂直落到地面，绳子（ ）比楼高（ ）多 米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开
米时（即 米），绳子（ ）刚好举过头顶，小明的身高是 米（即 米），小明能够
求出这栋居民楼 的高度，请帮小明写出完整的过程．
【答案】居民楼 的高度为 米．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程
计算是解题关键．
过点 作 ，则 ， ，设居民楼 的实际高度为 米，然后对 、 进行表示，
再利用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：如图，过点 作 ．可知 ， ．
设居民楼 的实际高度为 米，根据题意，
绳子 的长度为 米， 米， 米，
在 中，根据勾股定理：
，
代入已知条件：
，
展开化简：
，
，
，
可得 ．答：居民楼 的高度为 米．
21．白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之
后，为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度 为_____；
(2)若小明想让风筝沿 方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
(3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，
风筝在经过t秒之后 高度是上升还是下降，说出你的理由．
【答案】(1)17.62米
(2)他应该往回收线7米
(3)风筝高度上升，理由见详解
【分析】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键．
（1）首先在 中，利用勾股定理求出 的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度 ；
（2）首先明确风筝沿 方向下降11米后对应的 的高度，即可在新的 中，求出 的长度，
即可求出他应该往回收线多少米；
（3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为 米，风筝线长度变为 米，即可
求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降．
【详解】（1）解：根据题意可得： 米， 米， ，
∴在 中， （米），
∵小明的身高为1.62米，
∴ （米），
故答案为：17.62米；
（2）解：如图，∵风筝沿 方向下降11米，
∴此时 （米），
∴此时 （米），
∴应该往回收线： （米）；
（3）解：风筝高度上升，理由如下：
由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为 米，风筝线长度变为 米，
∴此时竖直高度为 ，
∴风筝的总高度为 ，
∵ ，
∴ 随t的增大而增大，
∴风筝高度上升．
22．某学校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆（如图1）高度的实践活动，同学们制订了测量方案，
并利用课余时间完成了实地测量．如图2，线段 的长表示旗杆高度， 垂直地面于点N．将系在旗杆
顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段 ．用皮尺测出 的长度为 ．如图3，小丽同学将绳子末端
放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点
N与点B之间的距离为 ．已知小丽身高 为 ．请根据所给信息，求学校旗杆 的高．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点A作 于C，根据平行线间距离相等可得
，设 ，则 ， ，利用勾股定理可
得 ，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作 于C，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
答：学校旗杆 的高为 ．
类型三、大树折断问题
23．如图，一棵高为10m的大树被台风刮断，若树在离地面4m处折断，树顶端刚好落在地面上，折断后
树顶端离树底部（ ）m．
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合勾股定理即可求得折断后树顶端离树底部的距离．
【详解】解：如图：
∵AB＝4米，BC＝10﹣4＝6（米），
∵∠A＝90°
∴AB2+AC2＝BC2
∴42+AC2＝62，
解得：AC＝ ，
∴折断后树顶端离树底部有 米．
故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理进行求解.
24．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处 与地面的距离 ，折断处 与折断后树的顶端 的距
离 ．在大树倒下的方向上的点 处停着一辆小轿车， 的距离为 ，求 的距离．
【答案】 的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解
题关键．
先对 运用勾股定理求解 ，再由线段和差计算即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
答： 的距离为 ．
25．如图，一棵高为 的大树被台风刮断，若树在离地面 处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离
树底部多远．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定
理计算边长．
先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），再用勾股定理求出
另一条直角边（树顶端到树底部的距离）．
【详解】解：由题意，树高 ，离地面 处折断，
则折断部分长度为 ，
设树顶端到树底部的距离为 ，
树残留部分与地面垂直，由勾股定理得： ，
即 ，
（舍去负根）．
答：此处离树底部 远．
类型四、航海问题
26．一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西 的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西 的方
向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为 海里．
【答案】50
【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得 ， ， 海里，
海里， ，则 ，求出 ，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接 ，
，
由题意可得： ， ， 海里， 海里， ，
∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理可得： 海里，
故A，C两地相距为 海里，
故答案为： ．
27．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号
以每小时 的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时 的速度沿北偏西60°方向航
行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于 ， 处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为
．
【答案】20【分析】根据两船的航行方向得出 ，在直角三角形 中，易得 ， ，利用勾
股定理求得 的长，即两船的距离．
【详解】解：由题意可得， ， ，所以 ．
在直角三角形 中，
因为 ， ，
所以 ，即两船的距离为20 n mile．
故答案为：20．
【点睛】本题考查方向角及勾股定理的实际应用．从实际问题中抽象出直角三角形，进而利用勾股定理是
解题关键．
28．如图， ， 分别是两个港口， ， 是海上两座小岛景点， 在 正北方向 千米处， 在 北
偏东 方向， 千米， 在 的南偏西60°方向，且 在 北偏西 方向．（参考数据：
）
(1)求港口 和小岛 的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；
(2)一艘货船从 港口出发沿 前往 港口，同时一艘观光船也从 港口出发，沿路线 前往小岛
，货船的速度与观光船的速度之比为 ，出发 小时后观光船在由 到 的途中且离 港口的直线距
离与离货船的直线距离正好相等．求货船从 港口出发多少小时后到达 港口（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角
形的公共边 ．
（1）根据题意证得 ，求得过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，
， ，结合直角三角形利用三角函数即可解答；
（2）设货船速度为 ，观光船速度为 ， 过 作 于 ， 于
根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边 ，结合勾股定理列方程求出 ，用路程除以速度即可解
答．
【详解】（1）解：∵ 在 正北方向 千米处， 在 北偏东 方向， 千米， 在 的南偏
西 方向，且 在 北偏西 方向，
∴ ， ， ，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ， （千米），
∴ （千米），
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ （千米），
∴ （千米）
答：港口 和小岛 的距离为 千米．
（2）设货船速度为 ，观光船速度为 ，
出发 小时后：货船行驶的路程
即货船在 上的位置距 点 千米
观光船行驶的路程： ，
因 故观光船在 上距 点的距离为 （记该点为 ），
观光船 在由 到 的途中且离 港口的直线距离与离货船 的直线距离正好相等．
即 ， ，
∴ 是等腰三角形，
过 作 于 ， 于 ，则 ，
由（1）得 ，
在 中， ， ，则：
，
，
，
在 中 ，
在 中 ，
∴ ，
化简得 ，
解得 或 ，
∵ ，故 舍去，
货船速度为： ，
由（1）可得 （千米），
货船从 港口到 港口用时： ，
答：货船从 港口出发 小时后到达 港口．
29．在 岛上有一个观测站，上午 时观测站发现在 岛正北方 海里 处有一艘船向正东方向航行，上
午 时，该船到达距 岛 海里的 岛，且 ，求该船的航行速度．【答案】该船的航行速度为 海里 时
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得 海里， 海
里，然后根据勾股定理可得 海里，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得， 海里， 海里，
在 中， 海里，
航行了 小时，
船航行的速度 海里 时．
答：该船的航行速度为 海里 时．
30．如图，一艘轮船以16海里 时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里 时的速
度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口 后，相距多远？
【答案】30海里
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确
的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．
【详解】解：连接 ，
由题意得， 海里， 海里，
在 中， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
（海里）．
答：两船 后相距30海里．
31．甲，乙两船同时从港口A出发，甲船以24海里/小时的速度向北偏东50°航行．乙船以32海里/小时的
速度向南偏东40°航行，一小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，画出图形，并求C、B两岛之间的距离．【答案】40海里.
【分析】如图所示，由题意可以得到∠CAD=40°，∠DAB=50°即∠CAB=90°，再利用勾股定理求出BC的长即
可.
【详解】解：∵甲船以24海里/小时的速度向北偏东50°航行．乙船以32海里/小时的速度向南偏东40°航行，
一小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛
∴AC=24×1=24海里，AB=32×1=32海里，∠CAD=40°，∠DAB=50°
∴∠CAB=90°
∴ 海里
答：B、C两岛之间的距离为40海里.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够计算出∠CAB=90°.
32．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414）．
【答案】A、C两地之间的距离为14.1km
【分析】由题意得∠ABC＝90°，由勾股定理，从而得出AC的长．
【详解】解：由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，
∴∠ABQ＝30°，
∴∠ABC＝90°．
∵AB＝BC＝10（km），∴AC＝ （km）．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是根据题意得到∠ABC=90°．
类型五、受影响问题
33．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台
风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市 的B处（即 ），
正以 的速度沿 直线方向移动．
(1)已知A市到 的距离 ，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时
(2)A市受台风影响的时间为 小时
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题
关键．
（1）在 中，根据勾股定理求出 ，台风的速度已知，即可得出台风中心从 点移到 点所经
过长时间；
（2）假设 市从 点开始受到台风的影响，到 点结束，根据题意在图中画出图形，可知 ，
市在台风从 点到 点均受影响，即得出 两点的距离，便可求出 市受台风影响的时间．
【详解】（1）解：由题意得，在 中，
，
，
（小时），
即台风中心从 点移到 点需要6小时；
（2）解：以 为圆心，以 为半径画弧，交 于 、 ，
则 市在 点开始受到影响，离开 点恰好不受影响（如图），由题意， ，在 中，
，
， ，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为 小时．
34．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正
西方向 的B处，以每小时 的速度向北偏东 的 方向移动，距离台风中心 的范围内
是受台风影响的区域．若A城到 的距离为 ，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】遭受台风影响的时间是 小时
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，设 上点 ， ，使 千米，
作 ，则C是 的中点，在 中，解出 的长，则可求 长，在 长的范围内都是受
台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】解：设 上点 ， ，使 千米，
是等腰三角形，
作 ，
是 的垂直平分线，
，
在 中， 千米， 160千米，由勾股定理得， （千米），
则 千米，
遭受台风影响的时间是： （小时）．
35．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为 ，即距离台风中心为 的区域都
会受到台风的影响．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的路线， 是大型农场，且 ．
若 ， 之间相距 ， ， 之间相距 ．判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场 会受到台风的影响，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法
求点到直线的距离是解题的关键．
先利用勾股定理求出 的长度，再通过三角形面积公式求出 到 的距离 ，最后比较 与台风影
响半径 的大小，判断农场 是否受影响．
【详解】解：农场 是否会受到台风的影响，理由如下：
过点 作 于 ．
， ， ，
在 中，由勾股定理得
，
，
，
解得 ，
，
农场 会受到台风的影响．
36．广东省 月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热
带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某
沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向 的B处有一台风中心，沿 方向以 的速度移
动，已知城市A到 的距离 为 ．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小
时？
【答案】(1)台风中心经过 从B点移到D点
(2)A市受到台风影响的时间持续
【详解】（1）解：由题意可知， ， ， ，
，
，
台风中心经过 从B点移到D点；
（2）解：在射线 上取点E，F，使得 ，
由 得 ，
在 中， ，
，
，
A市受到台风影响的时间持续 ．
类型六、最短路径问题
37．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，已知 ， ，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是
（ ）A．13m B．10m C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，然后
根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：展开图如下：
蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为 的长度，
由展开图得 ，
（ ），
故选：A．
38．如图，圆柱底面周长为20，高为12， 是底面圆的直径，点C是 的中点．现有一只蚂蚁从点C
爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ）
A．2 B．13 C．17 D．22
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题．
画出展开图，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，∵圆柱底面周长为20，高为12，
∴ ， ，
根据勾股定理可得 ．
故选：B．
39．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器
底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，则蚂蚁吃到饭
粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题
的关键
将容器侧面展开，作出 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在
中，根据勾股定理即可求出 的长度；
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交 的延长线于D，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
连接 ，则 即为最短距离，
∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外
壁，离容器上沿 与饭粒相对的点A处，∴ ， ，
在 中， ．
故选B．
40．如图，一圆柱体底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿 将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，
线段 的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，沿 将圆柱侧面展开，
由题意得， ，
线段 的长即为蚂蚁爬行的最短路程，
在 中，由勾股定理得 ，
∴蚂蚁爬行的最短路程是 ，
故选：D．
41．如图，圆柱形玻璃杯高为17 ，底面周长为16 ，在杯内壁离杯底6.5 的点B处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4.5 且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短
距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A． B． C．15 D．17
【答案】D
【分析】本题重点考查平面展开--最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长 到点 ，使 ，连接 交 于点
，连接 ，由 垂直平分 ，得 ，则 ，可知蚂蚁从外壁 处到内
壁 处的最短路程为线段 的长，作 于点 ，则 ，求出
，求得 ，根据勾股定理求出
，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长 到点 ，使 ，连接 交
于点 ，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为线段 的长，作 于点 ，则 ，
∴四边形 是矩形，
∴蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为17 ，
故选：D．
42．如图，圆柱的底面周长为 ，高为 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的
正对面）的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧
面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 爬到点 处，那么它爬行的最短路程即为
的长，再由勾股定理求出 即可．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
圆柱高为 ，底面圆的周长为 ，
，
由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 爬到点 处，那么它爬行的最短路程为 的长，
在 中，
．
故选：B．
43．如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位： ），一只蚂蚁沿台阶表面从点A
出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点
之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示，
在 中， ， ，
，
即一只蚂蚁沿台阶从点 出发爬到点 ，其爬行的最短线路的长度是 ．故选：C．
44．如图，一个棱长为 的正方体盒子上，一只蚂蚁在 的中点 处，它到 的中点 的最短路
线是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】解：①沿 展开，如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ；
②沿 展开，如图所示：
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴最短路线长是 ，
故选：D．
45．如图，底面周长为 ，高为 的圆柱体，在圆柱下底面 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 相对的食物 ，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用 最短路径问题，把圆柱体展开，连接 ，由两点之间线段最短，可
知线段 即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形 ，连接 ，则线段 即为爬行的最短路径，
， ， ，
∴ ，
即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是 ，
故选： ．
46．如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，
则最短路线长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】D
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，AC=3•π=3π，
所以AB= =5π（cm）．故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，将立体图形化为平面图形是解题的关键．
47．如图， 和 是一个三级台阶两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁想到点 处去吃可口的食物．若这
个台阶的每一级的长、宽和高分别为 ， 和 ，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为
．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和
宽即可解答．
【详解】解：如图，
三级台阶平面展开图为长方形，长为 ，宽为 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
即 ．
故答案为： ．
48．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木
雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高
长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方
的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ．
【答案】5米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙
的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：如图，
根据题意可得，底面周长为 米，柱身高为4米，
∵有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的 点，
米， （米），
（米），
故雕刻在木柱上的巨龙至少为 （米），
故答案为：5米．
49．如图，教室墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，若 ， ，点P到 的距离
是3，一只蚂蚁要从P爬到B，它的最短行程是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理（最短路径），理解题意，过P作 于点G，连接 ， ，先
运用勾股定理得 ，再在直角三角形 中，由勾股定理得：
，即可作答．
【详解】解：如图，过P作 于点G，连接 ，
此时 的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，
∵点P到 的距离是3
，
∵ ， ，∴在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
∴这只蚂蚁的最短行程是5．
故答案为：5
50．如图，在 中， ， ， ， ，若在边 上取一点M，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作轴对称图形，解含有 的直角三角形，等边三角形的判定与性质，解决本题的关
键是作辅助线作轴对称图形转化边长．
作辅助线，以 为对称轴，作点B关于 的对称点 ，连接 ，作 交 于点M，可证明
为等边三角形，转化边长 ，再由三点共线求解最小值即可．
【详解】解：以 为对称轴，作点B关于 的对称点 ，连接 ，作 交 于点M，如图，
在 中， ， ，则 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
若 有最小值，则点 ，点M，点D三点共线时最小，
∵ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
51．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行
于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是
米．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为 米，因为长方
形的宽为3米，一只蚂蚁从点 处到 处需要走的最短路程是对角线 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为 米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点 处到 处需要走的最短路程是对角线 ，
米，
故答案为： ．
52．代数式 的最小值为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角
形，利用勾股定理求解是解题关键．作 ，过点B作 ，过点D作 ，使，连接 交 于点C，设 ，则 的长即为代数式 的最小
值，然后构造 ，利用直角三角形的性质可求得 的值．
【详解】解：作 ，过点B作 ，过点D作 ，使 ，连接 交 于
点C，
如图所示，
设 ，
，
则 的长即为代数式 的最小值．
过点A作 交 的延长线于点F，
，
则 ，
所以 ，
即 的最小值为13．
故答案为：13．
53．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3， ， 为长方体的两个顶点．
(1)求点 到点 之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，求爬行的最短路程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）如图1，标记顶点 ， ，连接 ， ，根据勾股定理先算出 的长，再利用勾股定理计算出
的长即可．
（2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出 的长进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，标记顶点 ， ，连接 ， ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
即点 到点 的距离为 ．
（2）将长方体中含有 ， 两点的平面展开成平面图．
如图2所示， ，
如图3所示， ，
如图4所示， ，因为 ，
所以一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，爬行的最短路程为 ．
54．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，
旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为 ．若油罐高约
，油罐底面圆直径约为 ，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上．
(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为 ，求旋梯的扶手长度 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的 最小值．（本题（1）（2）中 ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）由题意得，将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 ，
即 最小，进而通过勾股定理即可求解；
（2）由题意得，将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 ，
即 最小，进而通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 最小，如下图，∵油罐底面圆直径约为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴旋梯的扶手长度
；
（2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴旋梯的扶手长度．
类型七、其他问题
55．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，问小鸟至少飞行 米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键．
先画出几何图形，然后求出直角边 ，用勾股定理计算求解．
【详解】解：如图，设大树高为 ，小树高为 ，过C点作 ，连接 ，
根据题意，可知四边形 是矩形，
， ，
，
根据勾股定理可得 ，
一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 ．
故答案为： ．
56．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树
的树顶，问小鸟至少飞行 米．
【答案】【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想
解答．
根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：如图所示，
由题意可得， （米）， 米，
，
（米），
即小鸟至少飞行 米，
故答案为： ．
57．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如
果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇
的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是 尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水
池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得 ，整理得 ，即可作答．
【详解】解：设芦苇的长度是 尺，
∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．
∴
整理得 ，
故选：D．
58．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为 ，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可．
【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ，
∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为 ，最长为 ，
∴这只铅笔的长度最短为 ，最长为 ，
只有D符合题意，
故选：D．
59．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面
的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： =13cm，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
60．如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁
吃到糖所走的最短路程为（ ）A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A
点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC= ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是
解题的关键．
61．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 m．
【答案】17
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为 =12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，
难度不大．62．如图，有一个水池，水面 的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根
芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
先求出 尺，设 尺，则芦苇的高度 尺，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵水面 的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，
∴ 尺，
设 尺，则芦苇的高度 尺，
∴ ，
，
解得： ，
即芦苇的高度 尺．
故答案为： ．
63．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，高为 ，现有一根长为 的吸管任意放入
杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是
【答案】5
【分析】设圆柱的底面圆的直径为 ，高为 ，根据勾股定理得到
，解答即可．
本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为 ，高为 ，
由底面半径为 ，高为 可得根据勾股定理得到 ，
故 ，
故答案为：5．
64．如图是一个饮料罐，下底面直径是 ，上底面半径是 ，高是 ，上底面盖子的中心有一个
小圆孔．若一条到达底部长 的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小
忽略不计）是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，作 于点 ，则 ，依题意得 ，
，在 中， ，然后通过线段的和与差即可求解，
掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作 于点 ，则 ，
依题意得， ， ，
在 中， ，
∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ，
故答案为： ．
65．我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，
边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那
么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈
尺，1米 尺）【答案】水池深12尺，芦苇长13尺
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水
深为 尺，则芦苇长为 尺，根据勾股定理可得 ，进而求解即可．
【详解】解：设水深为 尺，则芦苇长为 尺，由题意得：
，
解得： ，
∴芦苇的长度为 （尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
1．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向
东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行
驶， 米， 米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A
的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)两赛车之间的距离是30米
(2)当两赛车的距离之和为 米时，遥控信号将会产生干扰
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得 米， 米，得到 米， 米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，出发 秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
答：两赛车之间的距离是30米．
（2）解：设出发 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时 ，
此时 ，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为 米时，遥控信号将会产生干扰．
2．小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直
的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D
的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】 公里．
【分析】先利用勾股定理求出 的长，设 公里，从而可得 的长，再在 中，利用
勾股定理即可得．
【详解】解：由题意得： 公里， 公里， ， ，
（公里），
设 公里，则 公里，
在 中， ，即 ，解得 （公里），
答：小渝家 到见面地点 的距离为 公里．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱的高为 ，在圆柱的侧面上，过上底面的
点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方．
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为 ， ， （即 ， ，
）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁
设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程． 木板的厚度忽略不计
【答案】(1)A
(2)所需金属丝的最短长度为
(3)
【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键．
（1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
根据勾股定理计算即可；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4
倍；
（3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：∵两点之间线段最短，
故选：A；
（2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高
构成直角三角形．由勾股定理，得 ．答：所需金属丝的最短长度为 ；
（3）解：如图，先将长方体的侧面 和侧面 展开，再作点C关于 的对称点N，连接 交
于点M，则 ．
所以 ；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时， 的值最小，即 的值最小，此
时 就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程．
在 中， ，根据勾股定理，得：
．
所以最短路程为 ．
1．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形 ， ，如图1放置，其三边长分别为 、 、
．显然， ，请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、
的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， ________
________ ________
则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为________千
米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P、使
得 ，求出 的距离．
【答案】小试牛刀： ； ； ； ；
知识运用：（1）41；（2） （千米）；
【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接 ，过点 作 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得
．
（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，分别在 和 中用勾股定理表示出 与 联立
方程求解即可．
【详解】解：小试牛刀：由图可知：
，
，
，
则它们满足的关系式为： ．
知识运用：
（1）如图2①，连接 ，作 于点E，
则： ， ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
（千米），
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，则 ，设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
即 千米．
2．【探究】
（1）把两个全等的直角三角形如图 放置，其三边长分别为 ， ， ． ，点 ， ， 在
一条直线上．请利用图 证明勾股定理．
【运用】
（2）如图2，铁路上 ， 两点（看作直线上的两点）相距 千米， ， 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 ， ， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，
使得 ，求 的距离．
【拓展】
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值（ ）．
【答案】（1）见解析；（2） 千米；（3）
【分析】（1）通过表示四边形 的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推
导勾股定理．
（2）设 长度为未知数，利用 结合勾股定理列方程求解．
（3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值．
【详解】解：（1）∵四边形 是梯形， ，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
展开得 ，
化简得 ．
（2）设 千米，则 千米．
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ，
展开得 ，
化简得 ，
∴ ，即 千米．
（3）构造几何模型：设 ，点 在 上， ， ，作 且 ，
且 ，则代数式 ．
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，过 作 于 ，则 ，
∴ ，
∴ 的长为 的最小值．在 中， ， ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称 最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、
利用几何模型转化代数问题是解题的关键．
3．已知在 中， ， ．
(1)如图1，过点 作 于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长度；
(2)如图2，点 为 内一点，连接 ， ， ，过点 在 的下方作 ，且 ，
连接 ， ，点 为 的中点，连接 、 ，求证： ；
(3)如图3，点 为 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，点 为线段 上一点，过点 作
交直线 于点 ，点 为线段 上一点，连接 ，当 时，连接 ， ．
在同一平面内将 沿直线 翻折得到 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
， ．若 ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)2
(2)见详解(3)
【分析】（1）先证明 ，再根据直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半求出 即可；
（2）作 关于 对称的 ， 关于 对称的 ，证明 ，
，根据中位线定理，得出 ，从而得出 ；
（3）先证 ，作 关于 对称的 ，可得 ，且 ，延长
交 于点P，作 关于 的对称线段 ，连接 ，
， ，设 交 于点N，以 为边作长方形 ，证 ， ，根据
，当 在一条直线上时取等号，最后只需求 即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
，
，
，
，
，
，
①，
，即
②，
由①②得 ，
在 中， ，
．
（2）证明：作 关于 对称的 ， 关于 的对称 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，，
由对称性， ，且点 是 的中点，即 ，
是 的中位线， 是 的中位线，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
根据四边形内角和 ，得 ，
作 关于 对称的 ，
∵ ，
∴ ，
，且 ，
又∵ ，
延长 交 于点P，则 ，则 垂直平分 ，
作 关于 的对称线段 ，连接 ， ， ，
，
，
设 交 于点N，以 为边作长方形 ，则 ，
由轴对称的性质，得
，
，
，，
，
在 中， ，根据勾股定理，得 ，
， ，
，
，
当 在一条直线上时取等号，
在 中， ．
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，三
角形的中位线，轴对称，最短路径，矩形的性质等知识．根据轴对称，构造辅助线是解题的关键．
4．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如
图①，在一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角
处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙 ，蚂蚁爬到苍蝇
处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少 ？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多
数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！
【方案设计】
为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由 个棱长为
的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走
路程最短？（1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折
叠原理，一共有3种不同的爬行路线．
①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的
平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）；
②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，
并画出相应的最短路线，即线段 ；
（2）比较验证
③比较 ， ， 三种爬行路线的长短后可得，线段 ， ， 中最短路线是________；
【问题回归】
定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语
言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用 进
行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题．
（3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所
走的路程用d表示，则 最小值为_____．
【答案】（1）①上，后；②见解析；（2） ；（3）
【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理；
（1）①观察图形即可得到答案；
②补充由前面与右面展开得到的平面图形，即可求解；
（2）比较大小，即可求解；
（3）根据（1）的方法，画出三种不同的爬行路线，结合定义，分别计算 ，比较大小，即可求解．
【详解】解：（1）图④是由上面与后面展开得到的平面图形，
故答案为：上，后．
②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形
（2） ， ， ，
∵ ，
∴线段 ， ， 中最短路线是 ，故答案为： ．
（3）如图，由左面与后面展开得到的平面图形
根据定义可得 ；
如图，由上面与后面展开得到的平面图形
根据定义可得 ；
如图，由上面与右面展开得到的平面图形
根据定义可得 ；
∵ ，
∴ 最小值为 ．
故答案为： ．
5．在边长为1的正方形网格中， 的顶点都在格点上，且 ．
(1)直接写出 的面积为______；
(2)若一个三角形的三边长分别为 （ ），请在网格中画出该三角形，并求其面
积；
(3)求代数式 （ ）的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．
（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为 ， 的直角三角形的斜边；直角边长为 的直角三角形的
斜边；直角边长为 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面
积．
（3）将代数式转化为平面直角坐标系中 轴上一点 的距离与 到点 的距离和的最小值，利
用成轴对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示
由图可知： 的面积是 ；
故答案为： ；
（2）解：如图所示， 即为所求
， ，
的面积是
（3） ，可以看成平面直角坐标系中 轴上一点 到点 的距离与
到点 的距离和的最小值，如图：设 ， ， ，则： ，
过点 作 轴的对称点 ，则： ， ，当且仅当 ， ， 三点共线时，
的值最小，即为 的长，
∵ ， ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
