文档内容
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、内角与外角，
区别凸四边形，探索并掌握四边形内角和与外角和公式，了解四边
形的不稳定性.
2.在进行性质探索的过程中，发展学生的合情推理能力和动手操作
能力及应用数学的意识与能力.
3.在探究讨论中培养与他人合作交流的习惯；在性质应用过程中培
养独立思考的习惯.
重点：探索并掌握四边形内角和与外角和公式.
难点：四边形内角和与外角和公式的推导与证明.
知识链接：在八年级上学期我们学习了三角形，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：四边形的概念
问题1：阅读教材P46－47，类比三角形，回答下列问题：
（1）什么是四边形？
概念引入：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接
组成的图形叫作四边形.
（2）四边形各组成部分的名称有哪些？
概念引入：组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线
段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母
表示，如图①中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形
ABCD”.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图②中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将
四边形ABCD分为两个三角形.四边形相邻两边组成的角叫作四边形
的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组
成的角叫作四边形的外角.
（3）什么是凸四边形？
概念引入：如图③画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在
直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四
边形.而图④中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD
（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，
如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
探究点二：四边形的内角和与外角和
问题2：（教材P47思考）我们知道，三角形的内角和是180°，长
方形的内角和是360°，那么，任意一个四边形的内角和是多少度？
你能证明你的结论吗？
任意一个四边形的内角和是360°，由于四边形的一条对角线将这
个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角
形的相关知识加以解决.
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为
△ABC和△ACD两个三角形.求证：四边形的内角和是360°.
证明：在△ABC中，由三角形内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝
180°.同理∠2＋∠D＋∠4＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD
＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠D＋∠4）＝180°＋180°＝360°.即四边形的内角和是
360°.
【对应训练】教材P49练习第1题和第2题.
（教材P47例1）如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，
这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以
四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以
利用四边形的内角和求出其外角和.
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB＋∠1＝180°.
同理∠ABC＋∠2＝180°，∠BCD＋∠3＝180°，∠CDA＋∠4＝
180.
∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝
720°.
而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋
∠4＝360°.这样，我们就证明了：四边形的外角和等于360.
归纳总结：四边形的内角和是360°，四边形的外角和等于360°.
【对应训练】如图，∠1，∠2，∠3，∠4分别是四边形ABCD的四
个外角，若∠1＋∠2＝210°，则∠3＋∠4＝ 15 0 ° .
探究点三：四边形的不稳定性
问题3：（教材P48探究）如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根
木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接
起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
可以发现，四边形木架的形状会改变，因为四边形的四条边确定后，
四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性，而再钉一根木条后，
四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四
边形木架的形状不会改变.
归纳总结：四边形不具有稳定性.
问题4：在日常生活中，有需要利用四边形的不稳定性的地方吗？
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如伸缩门、升降
机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安装好之前，
木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，以防窗框变形等.
【对应训练】教材P49练习第3题.
1.下列图形中，具有稳定性的是（ C ）
2.[教材变式]求下列图中x的值.
x＝ 6 9 . x＝ 6 5 .3.如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度
数为 14 0 ° .
第3题图 第4题图
4.如图，从三角形纸片ABC中剪去△CDE，得到四边形ABDE.如果
∠1＋∠2＝230°，那么∠C＝ 5 0 ° .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
本节课是在学习了三角形的基础上进一步认识新的几何图形——四
边形，为后面学习多边形及其内角和做好准备，课堂中以三角形的
研究为基础，通过类比得到四边形的有关概念，体现了类比思想.由
于初中阶段的几何图形的研究限于平面图形，教学时注意强调“在
同一平面内”这个条件.
