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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 54 练 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精练）
刷真题 明导向
一、双空题
1．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
2．（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数
为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ，
.
二、解答题
3．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投
篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命
中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
6．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起
进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检
测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的
检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
7．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的
同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确
则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题
回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回
答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得 分，共下5局．用 表示甲的得分，则
表示（ ）
A．甲胜3局负2局 B．甲胜4局负1局
C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局
2．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则 （ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
3．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机
拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为
（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
4．随机变量 的分布列如表所示，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．0
5．已知随机变量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．随机变量 的所有可能的取值为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．30 D．157．已知 ，离散型随机变量 的分布列如下表，若 ，则 （ ）
0 2
P m n
A． B． C． D．
8．设随机变量 的概率分布列如表所示，则 （ ）
2 3 4
A． B． C． D．
9．已知随机变量X的分布列如表（其中 为常数），则下列计算结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
A． B．
C． D．
10．若随机变量 的分布列如下表所示，则 的最小值为（ ）
0 1 2 3
A． B．
C． D．
11．已知随机变量 的分布列如下表，则 （ ）0 2 4
0.3 0.5
A．16 B．11 C．2.2 D．2.3
12．随机变量 服从两点分布，且 ，令 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．随机变量 的分布列如下表，且 ，则 （ ）
0 2
A．10 B．15 C．40 D．45
14．随机变量 的分布列为
1 2 3
n
则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知随机变量ξ的分布列为
1 2 3
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
16．随机变量 和 ，其中 ，且 ，若 的分布列如表：X 1 2 3 4
P m n
则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知离散型随机变量 的分布列如下：
0 1 2
下列选项中正确的是（ ）
A． 的值为 B． C． D．
18．随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
a
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．随机变量 服从两点分布，若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
20．随机变量 的分布列为（ ）
0 1 2
若 ，则（ ）A． B．
C． D．
21．随机变量X服从以下概率分布：
X 1 2 3
P a b
若 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
22．已知随机变量 的分布列如下：
则 的值为 ．
23．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
0 1 2 3
若离散型随机变量 ，则 ．
24．离散型随机变量X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量Y满足 ，则下列结果正确的为 ．
① ；② ；③ ；④ ．
25．从放有6黑3白共9颗珠子的袋子中抓3颗珠子，则白珠颗数的期望为 .26．设随机变量 的概率分布为 ， 为常数， ， ， ， ，则 ．
27．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到
达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则 .
28．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.1
则 ．
29．已知随机变量 的分布列为
-1 0 1 2
0.1 0.2 0.3 0.4
则随机变量 的数学期望 .
四、解答题
30．某一射手射击所得环数 的分布列如下：
(1)求 的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数 ”的概率．
31．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量 表示从该盒
中取出的红球个数．
(1)求随机变量 的分布列；(2)求随机变量 的期望和方差．
32．每年 月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接 年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求
每位参赛选手从 道“生态环保题”和 道“智慧生活题”中任选 道作答 每道题被选中的概率相等 ,设
随机变量 表示某选手所选 道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量 的分布列及方差 ．
33．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大
学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为 ， ，
p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为 ．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
34．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3
道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成
6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．
(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为 ，求 的分布列和数学期望．
35．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，
28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则
按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．36．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 、 ，已知甲、乙两名射手在每次射
击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的
概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求 、 的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
37．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在 、 两名同学中产生，测试方案如下： 、 两名学生各自
从给定的 个问题中随机抽取 个问题作答，在这 个问题中，已知 能正确作答其中的 个， 能正确作
答每个问题的概率是 ， 、 两名同学作答问题相互独立．
(1)设 答对的题数为 ，求 的分布列；
(2)设 答对的题数为 ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
38．某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调
研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 .
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据 ）
39．已知甲乙两个袋子各装有6个大小、材质都相同的小球．其中甲袋有4个白球2个黑球，乙袋有5个
白球1个黑球．
(1)从甲袋取出两个小球，记X为其中黑球的个数，求X的分布列和数学期望；
(2)从甲袋取出两个小球放入乙袋，再从乙袋取出两个球，求从乙袋取出两个球都是黑球的概率．【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．随机变量 的分布列如下表，其中 ， ， 成等差数列，且 ，
1 2 3
则 （ ）
A． B． C．2 D．
2．已知随机变量 的分布列如下表所示，若 ，则 （ ）
1 2 3
A． B． C． D．2
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为 ，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金
800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（ ）元.
A．700 B．600 C．200 D．100
4．将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的
个数为 ，则 的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
5．甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，若 的数学期望为 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
6．若随机变量X的分布律为 ， ，且 ， ，则
（ ）
A．1 B． C． D．4
7．随机变量 的分布列如下，则 （ ）
0 1 2
A． B． C． D．
8．若数据 ， ，…， 的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（ ）
A．数据 ， ，…， 的平均数为9B．
C．数据 ， ，…， 的方差为 D．
9．设离散型随机变量 的分布列为
若离散型随机变量 满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量 满足 为常数），则 的方差 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．在某次考试中，多项选择题的给分标准如下：在每题给出的四个选项中，正确选项为其中的两项或三
项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下，分别选了 ， ， ，则三人该题得分的数学期望分别为（ ）．
A． B．
C． D．
12．若离散型随机变量X的分布列如下，若 ，则 =（ ）
X -1 0 1 2
P a b c
A． B． C． D．
二、多选题
13．已知两个离散型随机变量 ，满足 ，其中 的分布列如下：
0 1 2
若 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
14．设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量 描述一次试验的成功次数， ， 分别为
随机变量的均值和方差，则（ ）
A． B．
C． D．
15．已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则（ ）
X/百万 0 2
P 0.2 m 0.6Y/百万 0 1 2
P 0.3 0.4 n
A．
B．投资两种项目的收益期望一样多
C． ，
D．投资A项目的风险比B项目高
16．已知随机变量 的分布列为 ，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知随机变量 和 的分布列如下， 与 的取值互不影响，则（ ）
0 1 0 1 2
A． 的取值范围是
B．存在 ，使得
C．
D．当 时，
18．口袋中有 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不
放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．若随机变量 的分布列如下表，且 ，则 的值为 .
0 220．袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数 的数学期
望为 ．
21．随机变量 的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
22．一个质地均匀的小正方体，其中三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这个小正方体连续抛掷两
次，若用随机变量 表示两次中出现向上的面所标的数字之积，则 的期望 ．
23．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率
为 ，若记取出3个球中黑球的个数为 ，则 ．
24．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，
不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为 ，且 ，则随机变量 的数学期望
．
25．某电视台有一种猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，已知选手猜对A、B、C三首歌曲的概率
依次是0.8、0.5、0.2，且猜对可获得的奖励依次为100元、200元、500元，只有猜对当前歌曲的歌名才有
资格进入下一首，则某选手按照ABC顺序猜歌所获奖金均值比按照BAC的顺序猜歌所获奖金均值多
元.
26．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，A，B均在C的同侧，记A，B之间所含其它字母个数为 ，
则方差D（ ）=
四、解答题
27．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增
强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开
展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取 个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
男 女
支持方案
一
支持方案
二
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取 人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布
列；
(2)在（1）中， 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小，（直接写结果）
28．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，
则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概
率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分 的期望和方差.
29．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身
体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且
继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球
单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为 ，乙得分的概率为 ；若乙发球，乙得分的概率为 ，甲得分的
概率为 ．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
(1)求第三回合甲发球的概率；
(2)设前三个回合中，甲的总得分为 ，求 的分布列及期望．
30．羽毛球运动是中学生喜爱的体育运动项目之一．为了研究中学生打羽毛球的水平，下表统计了甲同学
参加的60局羽毛球比赛的数据．
获胜局数 失败局数
甲先发球 20 10甲未先发
15 15
球
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联？
(2)已知甲同学与乙同学进行总决赛，采取五局三胜制，每局比赛没有平局且各局结果互相独立．视频率为
概率，每局比赛甲同学获胜的概率为上表中的频率，经抽签，第一局甲同学先发球，第二局乙同学先发球，
依次轮换．设 为甲同学在总决赛中获胜的局数，求 的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
31．周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比
赛，而且三场比赛相互独立．根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
母
父亲 弟弟
亲
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次
10 30 32
数
以上表中的频率作为概率，求解下列问题：
(1)若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列，期望和方差；
(2)如果李梦赢一场比赛能得到5元的奖励资金，请问李梦所得资金的期望和方差．
32．为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面
值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率
分布和数学期望；
(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.
①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；
②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的
奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.33．某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽
车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 20 10
米色内饰 15 5
(1)从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型
内饰为米色”，求 和 ，并判断事件A与B是否相互独立；
(2)活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅
内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）．
34．对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：
将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个
等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
(2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千
元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
年降水
量 适
偏少 偏多
作物种 中
类
甲 8 12 8
乙 12 10 7
丙 7 10 12【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．互不相等的正实数 是 的任意顺序排列，设随机变量
满足： 则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列{an}满足a＝0，且对任意n∈N*，an 等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，
1 +1
则（ ）
A．P（ξ＝2）＝ B．E（ξ）＝1
3 3
C．P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） D．P（ξ＝0）＜P（ξ＝0）
5 5 5 3
3．已知随机变量 的分布列为：
x y
P y x
则下列说法正确的是（ ）
A．存在x， ， B．对任意x， ，
C．对任意x， ， D．存在x， ，
4．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3
个小球 和3个小球 ，当发生有效碰撞时， ， 上的计数器分别增加2计数和1计数， ， 球两两发
生有效碰撞的概率均为 ，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上
计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球 个数的期望是（ ）个A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
二、多选题
5．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一
步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为
随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D． 中 最大
6．若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，则下列结论正确的是（
）
A．两秒后质点的坐标为2的概率为
B．四秒后质点的坐标为0的概率小于质点的坐标为2的概率
C．设三秒后质点的坐标为随机变量X，则
D．设n秒后质点的坐标为随机变量Y，则
三、填空题
7．已知 ，且 ，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则 ．
8．边长为2的正方形ABCD的中心为O，对A、B、C、D、O这五个点中的任意两点，以其中一点为起点、
另一点为终点作向量，任取其中两个向量（不包括“向量和同端点的相反向量”），以它们的数量积的绝
对值作为随机变量X，则其数学期望 ．
四、解答题
9．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个
黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个
球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；
若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量 表示最后摸出的2个球的分数之和，求 的分布列及数学期望.
10．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一
个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
到校时间 7：30之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50之后
乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05
乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为
0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，
反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当
天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校
的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前
坐地铁的次数为 ，求 ；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早
于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐
汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐
地铁去学校.记 为王老师第 天坐地铁去学校的概率，求 的通项公式.
11．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积
3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球
数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规
则出线的概率相同（例：若 ， ， 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概
率相同）．已知某小组内的 ， ， ， 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概
率都是 ，每场比赛的结果相互独立．(1)若 球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下： 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜．设小
组赛阶段 ， 球队的积分之和为 ，求 的分布列及期望．
