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21.3.1 矩形（第 2 课时）
知识点1：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
1．C．
2．证明：∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∵OE∥BC，EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBF=90°，
∴四边形OEFB是矩形，
（2）解：∵△OBC的面积为12，AD=6，
∴BC=6，
∴OD=OB=4，
∴BD=8，
在Rt△ABD中，AB=❑√AD2+BD2=❑√62+82=10．
知识点2：有三个角是直角/对角线相等的四边形是矩形.
4．D．
5．C．
6．C
7．B
8．∠AMC=90°（答案不唯一）
9．解：如图所示，即为所求．10．（1）证明：∵AB=AC， D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵CE∥AD，
∴∠ECD=180°−∠ ADC=90°，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）由（1）可知四边形ADCE是矩形．
∴AE=DC，CE=AD=3，∠AEC=90°，
∵D是BC的中点，BC=4
1
∴DC=AE= BC=2，
2
在△ADC中，∠ADC=90°，
∴AC=❑√AD2+DC2=❑√32+22=❑√13，
∵EF⊥AC，
1 1
∴ EF⋅AC= AE⋅CE
2 2
1 1
即 EF⋅❑√13= ×2×3，
2 2
6❑√13
∴EF= ．
13
11．（1）解：∵△ABD是等腰三角形，AB=2，AD=1，
∴当BD=AB=2时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当BD=AD=1时，1+1=2，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，BD=2，
故答案为：2；
（2）解：①四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，
∵CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°，
∴∠DAO=∠BEO=90°，
在△AOD和△EOB中，
∠DAO=∠BEO=90°
{ )
∠AOD=∠EOB ，
OD=OB
∴△AOD≌△EOB，
∴BE=DA=1，AO=EO，
∴在Rt△ABE中，AE=❑√AB2 −BE2=❑√3，
1 ❑√3
∴AO=EO= AE= ，
2 2
∴在Rt△AOD中，OD=❑√AD2+AO2=
❑√7
，
2
∴BD=2OD=❑√7，
∴AC=BD=❑√7．
知识点3：矩形的性质和判定的综合应用.
12．都是直角
13．D
14．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵四边形ODEC是矩形，∴∠ACE=90°，
∵O、F分别为AC、AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2，
∵∠CAE=30°，
∴AE=2CE=4，
∴AC=❑√AE2 −CE2=❑√42 −22=2❑√3．
15．C
16．A
17．2.4或4或7.2
