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22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 教学设计
课题 22.1.4 二 次 函 数 单元 第22章 学科 数学 年级 九年级
y=ax2+bx+c的图象和性质
1.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象；
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式；
学习
目标
3.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
重点 1.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式.
2.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴．
难点 理解一般式与顶点式的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象和 学生回忆并回 回顾二次函数
性质？ 答问题. 顶点式的图象和
抛物线 y=a(x-h)2+k 性质以及平移的
a、k符 a>0 、 a>0 、 a<0 、 a<0 、 规律.
号 k>0 k<0 k>0 k<0
图象
开口方 向上 向下
向
对称轴 x=h
顶点坐 (h,k)
标
最值 最小值 最大值
增减性 当 xh 时，y 随 当 x>h 时，y 随
x 增大而增大. x 增大而减小.
2.平移规律？
上加下减，左加右减
讲授新课 环节一：二次函数一般式转变为顶点式 通过配方法将 会用配方法求二
我们已经知道二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性 二次函数一般 次 函 数 一 般 式
质 ， 能 否 利 用 这 些 知 识 来 讨 论 二 次 函 数 式转变为顶点 y=ax2+bx+c 的顶
式，并探究其 点坐标、对称轴.
图 象 和 性 质 ? 怎 样 将
性质.转换成y=a(x-h)2+k形式？
配方：
配方步骤：1、“提”：提出二次项系数；
2、“配”：括号内配成完全平方；
3、“化”：化成顶点式.
称为一般式；
称为顶点式.
通过环节一的
一般式通过配方得到顶点式. 练习，总结规 从具体问题到一
练习：将下面的函数解析式改为顶点式 律 ， 找 出 般规律获得二次
(1)y=x2-6x+10 y=ax2+bx+c 函数 y =a x2的
(2)y=-4x2-16x+1 的顶点坐标、 性质.
解：(1)y=x2-6x+10 对称轴.
=x2-6x+9-9+10
=(x-3)2+1
解： (2)y=-4x2-16x+1
=-4(x2+4x)+1 引导学生学会总
=-4(x2+4x+4-4)+1 结规律
=-4(x+2)2+16+1
=-4(x+2)2+17
环节二：探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐
标、对称轴
由配方的结果可知，
的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
因此， 的顶点是(6,3)，对称轴
是x=6.
根据前面的知识，我们可以先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向右平移6个单
位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象.
思考：还有其他平移方法吗？
先画出二次函数 的图象，然后把这个图象
向上平移3个单位长度，再向右平移 6个单位长
度，得到二次函数 的图象.
图象如下：
除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象.
用描点法画二次函数 的图象
(1) 列表
x ... 3 4 5 6 7 8 9 ...
... 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ...
(2) 描点
(3) 连线
(1) 二次函数 的图象是抛物线；
(2) 开口向上；
(3) 轴对称图形，对称轴为直线x=6
(4) 抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y=x2的顶点
为(0，0)，顶点是最低点；
(5) 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴
右侧，y随x的增大而增大.思考：不画图象，用上面的方法讨论二次函数
y=x2-6x+10和y=-4x2-16x+1的性质.
∵y=x2-6x+10 =(x-3)2+1
∴y=x2-6x+10的性质为：
(1)开口向上；(2)对称轴：直线x=3；(3)顶点坐标
（3,1）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右下
降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上
升，y随x增大而增大.
∵y=-4x2-16x+1 =-4(x+2)2+17
∴y=-4x2-16x+1的性质为：
(1)开口向下；(2)对称轴：直线x=-2；(3)顶点坐标
（-2,17）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右上
升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下
降，y随x增大而减小.
探究：将二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式，并画
出它的图象，说出它的性质.
学会运用待定系
学会用三点坐 数法求二次函数
因此，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为
标求二次函数 解析式.
解析式的一般
，顶点是
式.
如果a>0，当 时，y随x增大而减小，当
时，y随x增大而增大 ；
如果a<0，当 时，y随x增大而增大，当
时，y随x增大而减小.
a>0图象 a<0图象
y
y
x
O
x
O环节三：合作探究
例 1 一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、
(2,7)三点，求这个二次函数的解析式.
分析：两点可以确定一次函数，即求出这个一次
函数的解析式.
由几点的坐标可以确定二次函数？这几个点满足
什么条件？
二次函数的解析式y=ax2+bx+c中需要确定a、b、
c的值，由不在同一直线的三点（任意两点的连线
培养学生运用数
不与y轴平行）的坐标，列出关于a、b、c的三元
学生练习、板 学知识解决问题
一次方程组就可求出a、b、c的值.
演解题过程， 的能力和对知识
解: 设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
师生互评，进 的应用意识.
将(-1,10)、(1,4)、(2,7)代入解析式得
行订正.
解得
答：所求二次函数为y＝2x2-3x＋5
归纳：求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需要确
定a、b、c的值.
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）
列出关于a、b、c的三元一次方程组，求出 a、
b、c的值，就可以写出二次函数的解析式.
环节四：课堂练习
1. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐
标．（用顶点公式）
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－x2－2x ；
(3)y＝－2x2＋8x－8
(4)y＝0.5x2－4x+3
(1)开口向上，对称轴是x= ，顶点坐标是
（ ， ）
(2)开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，
1）
(3)开口向下，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，
0）
(4)开口向上，对称轴是 x=4，顶点坐标是（4，-
5）2.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝-1
3.二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴
x=-1.
4.抛物线 y＝ax2＋2x＋c 的顶点是(－1，2)，则
a=1，c=-3.
5. (1)已知函数y=2(x+1)2+1，当x<-1时，y随x增
大而减小，当x>-1时，y随x增大而增大 ；
(2)已知函数y=-2x2+x-4，当x< 时，y随x增大
而增大，当x> 时，y随x增大而减小.
6. 一个二次函数的图象经过(0,0)、(-1,-1)、(1,9)三
点，求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
将(0,0)、(-1,-1)、(1,9)代入解析式得
解得
答：所求二次函数为y＝4x2+5x.
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
本节课的知识 识点.
图 象
点.
性 质
板书 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教师展示本节 展示本节课的内
图象：抛物线
课的内容. 容.
性质：开口方向
对称轴
顶点
增减性
对称性
解析式（一般式、顶点式）：待定系数法
例1 练习
y=ax
2
抛物线
开口方向
对称轴
性
顶点
质
增减性
的
图
象 解 析 式
和
