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分课时教学设计
第四课时《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课在讨论了二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质的基础上对二次函数y=
ax2+bx+c的图象与性质进行研究.主要的研究方法是从一个具体的二次函数y=
1
x2-6x+21开始，通过配方y=ax2+bx+c向y=a(x-h) 2+k转化，体会知识之
2
间内在的联系,接着利用待定系数法求函数解析式。
学习者分析 学生在八年级已经学会了待定系数法求解析式，在前一节已经学会了探究二次函数
性质的方法。学生已经积累了探究二次函数性质的经验。学生已经具备了一定的观
察能力，类比能力，总结归纳的能力。
教学目标 1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
3.通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点
的数形结合思想．
教学重点 通过配方将数字系数的二次函数的解析式化为y=a(x-h) 2+k的形式，并由此得到
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质.
教学难点 将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k的形式。
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
【 提 问 】 抛 物 线 教师提出问题，学生回答
y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
活动意图说明：复习回顾二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质，及
y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系，为本节课学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质进行
铺垫．
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
探究：
1 教师提出问题，学生回答
如何画出y＝ x2－6x＋21的图象呢？
2
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，
容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函1
数y＝ x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
2
教师展示配方的具体过程：
1 1 1
2 2 2
y＝ x2－6x＋21＝ (x2－12x＋42)＝
1
2
(x2－12x＋36－36＋42)＝ (x－6)2＋3．
教师提出问题，学生回答
1
问：抛物线y= x2如何平移可以得到抛
2
1
学生动手实践画出二次函数y= x2-6x+21的
物线y= 1 x2-6x+21？ 2
2
图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体展示
1
用描点法画二次函数 y= x2-6x+21的图 画图过程。
2
象。
小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、
最值、增减性等方面描述图象特征和性质
1
抛物线 y= x2-6x+21的开口方向、对称
2
学生动手实践画出抛物线y=-2x2-4x+1图象，教师
轴、顶点、最值、增减性各是什么？
通过多媒体展示抛物线的图象，引导学生通过图象特征
，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，
你能用前面的方法讨论二次函数
发现不足。
y=-2x2-4x+1的图象和性质？
学生思考，试着配方
尝 试 将 y= ax2+bx+c（ a≠0） 化 为
y=a(x-h) 2+k的形式吗？
教师引导学生观察：两个等式右边的多项
式结构各有什么特点？教师与学生一起进行配
方变形，教师展示配方的具体过程：
y=ax2+bx+c=a ( x2+ b x+ c)
a a
( b b2 b2 c)
= a x2+ x+ - + =
a 4a2 4a2 a
( b b2 b2 4ac) 学生相互补充，师生共同梳理归纳
a x2+ x+ - + =
a 4a2 4a2 4a2( b ) 2 4ac-b2
a x+ +
2a 4a
你能说出二次函数y= ax2+bx+c（a≠0
）的图象特征和性质吗？
活动意图说明：这里我们借助从特殊例子归纳一般结论的研究思路，通过针对性的类比、对比
引导，放手让学生合作、交流，这样既突破了难点，又升华了新知，也体现了从特殊到一般的
研究思路
环节三：典例精析
教师活动3： 学生活动3：
例、把下面的二次函数的一般式化成顶点 学生思考作答，教师点评总结.
式：
y＝2x2－5x＋3.
5
解：y＝2(x2－ x)＋3，(将含x项结合在一起，提取
2
二次项系数)
[ 5 5 1 2]
y＝2 x2- x+( × ) +3 (按完全平方式
2 2 2
的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
[ 5 2 25]
y= 2 (x- ) - +3 (应用完全平方公式)
4 16
5 2 1
y=2(x- ) -
4 8
活动意图说明：运用配方法将函数一般式变为顶点式，并理解与掌握二次函数y= ax2+bx+c（a≠0
）
的图象特征和性质。
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
已知一次函数图象上的几个点可以求出它
的解析式？利用了怎样的方法？
教师提出问题，学生回答
已知一次函数图象上的两个点的坐标就可
以通过待定系数法求它的解析式。若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个
点，能求出二次函数的解析式吗？
学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤
解：设二次函数为y=ax2+bx+c
{
a-b+c=10
由条件得 a+b+c=4
4a+2b+c=7
{
a=2
解得 b=-3
c=5
因此二次函数解析式为y=2x2-3x+5
尝试总结二次函数解析式的一般方法？
学生尝试总结确定二次函数解析式的步骤。
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般
式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组
成一个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
活动意图说明：尝试类比探究确定一次函数解析式的方法，探究确定二次函数解析式的方法：
根据已知图象上的三个点的坐标，设一般式确定二次函数解析式．
环节五：典例精析
教师活动5： 学生活动5：
例、已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交 先由学生回答，最后给出答案
点为(0，-5),求抛物线的解析式.
解：由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3)
设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3．
∵函数图象经过点(0，-5)，
∴a(0+1)2－3＝－5．
解得a＝-2．
所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3．
活动意图说明：通过例题让学生掌握多种求解二次函数解析式的方法.
板书设计 一、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
二、待定系数法求二次函数解析式课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点
2.如图，抛物线对应的函数解析式是( )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x－2
3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，
n）均在二次函数图象上，求n的值为____．
4.将二次函数y=-x2-4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1,-1)，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
选做题：
5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)．
(1)求a的值；
(2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．
6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点(1,-2)．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【综合拓展类作业】
7.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B
的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时， 求点P的坐标．课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1．将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移 4个单位，得到的抛物线是
（ ）
A．y=(x-3) 2+4B．y=(x+3) 2+4
C．y=(x+3) 2-4D．y=(x-3) 2-4
2．一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是
上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
选做题：
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个
交点坐标为(3，0)，给出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为
(-1，0)；③当x<0时，y随x的增大而增大，④y =a+b+c．正确结论的序
最大
号是 ．
4.已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)， (2，－5)，且与x轴交于A，B
两点．
(1)试确定此二次函数的解析式．(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上．如果在，请求出△PAB的面
积；如果不在，试说明理由．
【综合拓展类作业】
5.如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点
C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写
出平移后抛物线的解析式．
教学反思 在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出
关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分
的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
