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23.2 中心对称
【学习目标】
1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图
形．
2．理解中心对称图形．
3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．
4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．
【学习重难点】
重点：中心对称性质的应用
难点：旋转中的截长补短方法。
知识点一：中心对称及其相关概念
中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
例题．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．下列英语单词中，是中心对称图形的是（ ）
A．SOS B．CEO C．MBAD．SAR
变式2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
知识点二：中心对称的性质
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
例题．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO=BO B．BO=EO
C．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上
变式1．成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（ ）
①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图形上；⑤对称中
心必在对应点的连线上．
A．①③B．③④ C．④⑤ D．①⑤
变式2．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△AB C 关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标
1 1 1
是（ ）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）
变式3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC=45°，∠B′C′A′=80°，∠BAC= 5 5 °．
知识点三：中心对称的作图方法
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角
的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不
同，位置就不同，但得到的图形全等．
例题．如图，作出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°的图形．变式1．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A，在网格中画出平移后得到的△AB C ；
1 1 1 1
（2）把△AB C 绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB C ，在网格中画出旋转后的△AB C ．
1 1 1 1 2 2 1 2 2
变式2在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标
是（4，4），请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的AB C ，并写出点A的对应点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△AB C 关于y轴对称的△AB C ；
1 1 1 2 2 2
（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△AB C．
3 3
知识点四：中心对称图形（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心
对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形
自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
知识点五：关于远点对称的点的坐标
例题．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边
形，是中心对称图形的有 （填序号）
拓展点一：中心对称图形与轴对称图形的综合辨析问题
例题．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段
DC，点A的对应点为D，连接AD、BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
拓展点二：中心对称和中心对称图形的性质和应用
例题．如图，点A，B，C的坐标分别为（2，5），（6，3），（4，﹣1）；若以点A，B，C，D为顶点
的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．（0，0）B．（0，1） C．（3，2） D．（1，0）变式1．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
变式2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
拓展点三：关于原点对称的点的坐标特征
例题．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
变式1．在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P （﹣3，﹣ ），P点关于x轴的对称点为P
1 2
（a，b），则 =（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
变式2．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．拓展点四：平移、轴对称、中心对称的综合作图题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C
（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A 的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△AB C ；
1 1 1 1
②△AB C 与△ABC关于原点O中心对称，画出△AB C ．
2 2 2 2 2 2
（2）若将△AB C 绕点M旋转可得到△AB C ，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
1 1 1 2 2 2
2．如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分
别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．3．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点
C与点R的坐标之间的关系．
（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，
点N的坐标为 ．
（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求
三角形P′AC的面积．
（3）直接写出AC与y轴交点的坐标 ．
