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23.2 中心对称
【提升训练】
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后两部分重合．
2．如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，据此可得结论．
【详解】
解：第一个图形不是中心对称图形，不合题意；
第二个图形是中心对称图形，符合题意；
第三个图形是中心对称图形，符合题意；
第四个图形不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
4．下列图形是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据中心对称图形的定义进行判断即可；
【详解】
A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项错误；
B、旋转180°后不能与自身重合，故该选项错误；
C、旋转180°后能与自身重合，故该选项正确；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的判别，正确掌握知识点是解题的关键．
5．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】
直接根据中心对称图形的性质进行判断即可；
【详解】
A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的判别，正确理解中心对称图形的性质是解题关键；
6．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义进
行判断即可；
【详解】
A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键；
7．已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
【答案】B
【分析】
根据点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律逐项判断即可得．
【详解】
A、点 先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点 ，则点 的坐标为 ，即为
，则此项说法错误，不符题意；
B、绕原点按顺时针方向旋转 的点坐标变换规律：横、纵坐标互换，且纵坐标变为相反数，
则点 绕原点按顺时针方向旋转 后到点 ，则点 的坐标为 ，此项说法正确，符合题意；
C、点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均变为相反数，
则点 与点 关于原点中心对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
D、点坐标关于 轴对称的变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，
则点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律，熟练掌握各变换规律是解题关键．
8．下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
【点睛】
本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠
后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够完全重合；
熟练掌握定义是解题关键．
9．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
利用轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．
【详解】
解：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查识别轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
10．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，据此可得结论．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．
11．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据中心对称图形的定义判断即可
【详解】
A不是中心对称图形，符合题意；
B是中心对称图形，不符合题意；C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，熟练掌握两种图形的定义是解题的关键．
12．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图
形重合．
13．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和
原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
14．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形的意义和特征求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的意义和特征是解题关键．
15．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴，即可判断出答案．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键．
16．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
17．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解
【详解】
∵A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴D选项符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
18．国产越野车“BJ90”中，哪个字母或数字既是轴对称图形又是中心对称图形（ ）
A． B． C．9 D．0
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【详解】
解：A、字母 不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、字母 不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、数字9不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、数字0既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
19．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
20．下列所给的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
根据中心对称图形的定义判断求解
【详解】
∵A选项中的图形不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形是中心对称图形，
∴C选项符合题意；
∵D选项中的图形不是中心对称图形，
∴D选项不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的基本定义是解题的关键．
21．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距 个单位长度，若其中一
条抛物线的函数表达式为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
根据题意，先求出抛物线的对称轴，再根据两条抛物线的顶点相距 个单位长度，则顶点到原点的距离为
5，即可得到顶点的纵坐标的绝对值，然后即可求得 的值．
【详解】
，
该抛物线的对称轴是直线 ，
有两条抛物线关于原点成中心对称，且它们的顶点相距 个单位长度，
顶点到原点的距离是 ，顶点的纵坐标的绝对值是： ，
，
解得 ， ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了成中心对称的两个图形的性质、二次函数的性质，关键是求得顶点的纵坐标的绝对值．
22．下列标志是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解
【详解】
∵A选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴A选项符合题意；
∵B选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴D选项不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项项分析即可解答．
【详解】
解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
24．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解
【详解】
∵A选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项符合题意；
∵D选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴D选项不符合题意；故选C
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
25．2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目,下列三星堆文物图案中，既是中
心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解
【详解】
解：∵A选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，
∴B选项符合题意；
∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
26．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形C．等腰梯形圆 D．圆
【答案】D
【分析】
逐一考查各选项图形的对称性即可得到解答．
【详解】
解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查图形的对称性，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的意义和特征是解题关键．
27．下列图案，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，据此逐一判断即可得答案．
【详解】
A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
D.是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．【点睛】
本题考查的是中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．
28．将一个等腰三角形沿底边上的中线剪开，用剪下的两个三角形拼成的所有四边形中，是中心对称图形
的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据四边形的概念和特性，结合实际操作先判断出拼成的所有四边形，再进行判断出中心对称图形的个数
即可．
【详解】
解：以长直角边吻合来拼可得到一个平行四边形，以短直角边吻合也可得到一个平行四边形，以斜边吻合
来拼可得到一个不规则四边形和一个长方形．
所以，在这4个四边形中是中心对称图形的有3个，
故选：C
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
29．地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，
它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种对称图形的各自的特点是解题的关键．
30．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折
叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
31．如图，已知坐标原点 为平行四边形 的对角线 的中点，顶点 的横坐标为4， 平行
轴，且 长为5．若平行四边形 的面积为10，则顶点 的坐标为__________．【答案】
【分析】
如图（见解析），先根据平行四边形的面积公式和性质可得 ，再根据点 的横坐标和 的长可得
点 的坐标，然后根据关于原点对称的点坐标变换规律即可得出答案．
【详解】
如图，设 与 轴交于点 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，且 平行 轴，点 为 的中点，
，
平行四边形 的面积为10， ，
，
解得 ，
点 的纵坐标为1，
点 的横坐标为4，且 平行 轴， ，
点 的横坐标为 ，，
由关于原点对称的点坐标变换规律得： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点坐标变换规律，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
32．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，0）．
点C的坐标为_____；若正方形ABCD和正方形ABC B 关于点B成中心对称；正方形ABC B 和正方形
1 1 1 1 1 1
ABC B 关于点B 成中心对称；…，依此规律，则点C 的坐标为_______．
2 2 2 1 1 6
【答案】（3，2） （9，-16）．
【分析】
根据中心对称的概念可知 与 的横坐标相差4，纵坐标相差 ， 与 的横坐标相差 ，纵
坐标相差 ，依此可以求出点 的坐标．
【详解】
如图所示:∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
根据正方形的性质可知，
，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，
根据图象可得,
与 的横坐标相差4，纵坐标相差 ，
与 的横坐标相差 ，纵坐标相差 ，
∴ 的坐标为 ，
当 时，点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
故 的坐标为 ，
同理可得，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了两点成中心对称坐标的特点，同时考查了正方形的性质，解决本题的关键是分别找到 与
， 与 的横坐标之间的关系，纵坐标之间的关系．
33．在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________．
【答案】(2，-3)
【分析】
直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-
y），从而可得出答案．得出答案．
【详解】
解：点P（-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
34．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】
解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标
符号相反．
35．在平面直角坐标系中，若点P(x﹣2，x+1)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是_____．
【答案】﹣1＜x＜2
【分析】
根据题意可得点P在第二象限，再利用第二象限内点的坐标符号可得关于x的不等式组，然后解不等式组
即可．
【详解】
解：∵点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴ ，
解得：﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握第二象限内点的坐标符号．
三、解答题
36．如图，在 的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图．
（1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形．
（2）在图2中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：①、②、③、④处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形；
（2）如图所示：①、②使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．
【点睛】
本题考查了利用中心对称设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题的关键．
37．如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段 为边，按
下列要求画四边形 ，使得点C，D都在格点上．
（1）图①中的四边形 是轴对称图形，但不是中心对称图形
（2）图②中的四边形 是中心对称图形，但不是轴对称图形
（3）图③中的四边形 既是中心对称图形，也是轴对称图形【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【分析】
（1）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可；
（2）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可；
（3）根据轴对称图形及中心对称图形的定义画图即可；
【详解】
（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形，（画出一个即可）
（2）如图所示：四边形 是中心对称图形，但不是轴对称图形，（画出一个即可）
（3）如图所示：四边形 既是中心对称图形，也是轴对称图形．【点睛】
本题考查画轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义并熟练掌握各特殊四
边形的性质是解题关键．
38．如图，将一个长为8，宽为6的大矩形分割成如图所示24个全等的小长方形，它们的顶点称为格点．
请按下列要求分别作出格点三角形和格点四边形．
（1）在图1中画出一个等腰 ，使点 ， 在 内部（不包括在 边上）．
（2）在图2中画出一个矩形 ，使点 ， 在矩形 内部（不包括在矩形 边上）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可．
【详解】
解：（1）如图，△PCD即为所求作（答案不唯一）；
（2）如图，矩形QEFG即为所求作（答案不唯一）．．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
39．如图，在小正三角形组成的网格 中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点均在格点处的多
边形称为格点多边形，按下列要求画图．
（1）请在图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形 面积的一半．
（2）请在图2中画一个格点菱形，面积是格点四边形 面积的一半．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据菱形面积有两种算法，一种是对角线乘积的一半，一个是平行四边形面积公式底乘高．取AD，
DC，CB，BA中点E、F、G、H即可；
（2）取AC与BD的交点为O，取AO、OC的中点E、F，连接BE、DE、DF、BF，则四边形BEDF为菱
形，且面积为菱形ABCD面积的一半即可．
【详解】
（1）∵菱形面积有两种算法，一种是对角线乘积的一半，一个是平行四边形面积公式底乘高，图1中画一
个格点矩形，面积是格点四边形 面积的一半．
取AC的一半，与BD的一半，即利用三角形中位线画图，
取AD，DC，CB，BA中点E、F、G、H，∵EF∥AC，且EF= ， HG∥AC，且HG= ，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴FE⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形，
取BC、AD中点M、N，
因为三角形ABC与三角形ADC均为等边三角形，
∵AD=BC，AN= ， CM= ，AN∥MC，
∴CM=AN，AN∥MC，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴四边形ANCM为矩形．
参考答案有．
（2）取AC与BD的交点为O，取AO、OC的中点E、F，连接BE、DE、DF、BF，则四边形BEDF为菱
形，且面积为菱形ABCD面积的一半，
∵OE=OF，OB=OD，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵EF⊥BD，
所以四边形BEDF为菱形．
参考答案有．【点睛】
本题考查网格作图题，掌握网格的特征，与所作图形的特征是解题关键．
40．图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影，请
在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．
（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】
（1）结合题意，根据轴对称图形的性质作图，即可得到答案；
（2）结合题意，根据中心对称图形的性质作图，即可得到答案．
【详解】
（1）如下图，可构成轴对称图形（答案不唯一）；；
（2）如下图，可构成中心对称图形（答案不唯一）；
．
【点睛】
本题考查了轴对称、中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、中心对称图形的性质，从而完
成求解．
41．如图，在8×8的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求画格点四边形ABCD．
（1）在图1中画平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．
（2）在图2中画四边形ABCD，使得∠D＝90°，且PB∥CD．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】
（1）根据平行四边形和中心对称的性质，连接 并延长至点 ，使 ；连接 并延长至点 ，
使 ；连接 、 、 ，即可得到答案；
（2）首先连接 ，再根据直角、平行线的性质，画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】
（1）如图，平行四边形ABCD即为所求作；；
（2）如图，
四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了平行四边形、中心对称、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、中心对称、平行
线的性质，从而完成求解．
42．如图，Rt 的三个顶点分别是 ，结合所给的平面直角坐标系解答下列
问题：
（1）在图1中画出 以点 为旋转中心旋转 后对应的 ；（2）平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，在图2中画出平移后对应的 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据旋转的性质分别确定A、B、C 点的坐标后，顺次连接即可；
1 1 1
（2）根据点 A 的对应点 A 的坐标为 (0,−4) ，确定平移的方向和距离，依次得到对应点B、C 的坐标后，
2 2 2
顺次连接即可
；
【详解】
解：（1）旋转后如下图所示；
（2）平移后如下图所示．
【点睛】
本题考查了旋转和平移作图，解决本题的关键是牢记旋转的概念与性质，知道绕一点旋转180°即得到新图
形与原图形成中心对称；平移作图须理解图形上每一点的平移方式都是相同的，已知一对对应点的坐标即
可得出该图形以及图形上每一点的平移方式，考查了学生对概念的理解与应用．43．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为 ，请解答下列问题：
（1）画出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 关于原点对称的 ，并写出点 的坐标．﹐
【答案】(1)画图见解析，（5，﹣3）；(2)画图见解析，（﹣5，3）．
【分析】
(1)分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
(2)分别作出点A、B 、C 关于原点O的对称点，连接各对应点即得△ABC ，并写出点A 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
【详解】
解：(1)如图所示：点C 的坐标（5，﹣3）；
1
(2)如图所示，点C 的坐标（﹣5，3）．
2
【点睛】
本题考查图形的轴对称变换及中心对称变换．解答此类题目的关键是掌握几何变换的特点，然后根据题
意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．44．如图，在 中， ，且点A的坐标是（2，0）
（1）写出点B的坐标是__________；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为__________；
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为__________；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则 的面积是__________．
（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
【答案】（1）（2，4）；（2）（－2，3）；（3）（2，－3）；（4）2．
【分析】
（1）观察图形，直接写出点B的坐标即可；
（2）根据平面直角坐标系内平移与坐标变化的规律：给点B的横坐标减4个单位长度，纵坐标减1个单位
长度，即可得出点C的坐标；
（3）根据平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点，给点C的横纵坐标分别乘以－1，则可得出点
D的坐标；
（4）根据旋转性质找出点E的位置及坐标，确定 的位置及形状，即可利用面积公式进行计算．
【详解】
解：（1）点B的坐标是（2，4）；
故答案为：（2，4）；
（2）∵点B的坐标是（2，4），将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，
则2－4＝－2，4－1＝3，∴点C的坐标为（－2，3）；
故答案为：（－2，3）；
（3）∵点C的坐标为（－2，3），点C与点D关于原点O对称，
则－2×（－1）＝2，3×（－1）＝－3，
∴点D的坐标为（2，－3）；
故答案为：（2，－3）；
（4）∵点A的坐标是（2，0），将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，如图，
∴点E的坐标是（0，2），
∴OE＝2，
∵点D的坐标为（2，－3）
∴y ＝2，
D
∴S ＝ ．
△ODE
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了平移、旋转、对称与坐标变化，掌握平面直角坐标系内图形的平移、旋转、对称与坐标变化之
间的规律及特点是解题的关键．
45．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，请按要求画出符合条件的四边形并计算．
（1）画出以点A、B、C、D为顶点的四边形，它是轴对称图形也是中心对称图形，且点D在小正方形的
顶点上；
（2）画出以点A、B、C、E为顶点的四边形，它不是轴对称图形，但是中心对称图形，且点E在小正方形
的顶点上；
（3）连接 ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）作点A关于BC的对称点D，连接BD，CD，四边形ABCD即为所求作．
（2）作AE=BC，AE∥BC，连接EC，四边形ABCE即为所求作．
（3）利用勾股定理求作即可．
【详解】
（1）如图，四边形ABCD即为所求作；
（2）如图，四边形ABCE即为所求作；
(3)
【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识．
46．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣
1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△ABC ，请画出△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）△ABC以x轴为对称轴的对称图形为△ABC ，请画出△ABC ；
2 2 2 2 2 2
（3）请同学观察画出的△ABC 和△ABC 图形，写出它们的一种对称关系（若中心对称，请写出或画出
1 1 1 2 2 2
对称中心位置，若轴对称，请写出或画出对称轴）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ABC 和△ABC 图形关于直线y＝﹣x对称．
1 1 1 2 2 2
【分析】
（1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）结合图形可得△ABC 和△ABC 图形关于直线y=-x对称．
1 1 1 2 2 2
【详解】
解：（1）如图所示，△ABC 即为所求．
1 1 1（2）如图所示，△ABC 即为所求．
2 2 2
（3）△ABC 和△ABC 图形关于直线y＝﹣x对称．
1 1 1 2 2 2
【点睛】
本题主要考查作图-轴对称和旋转变换，解题的关键是掌握轴对称与旋转变换的定义和性质，并据此得出变
换后的对应点．
47．如图，已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0)．
△
（1）画出 ABC关于原点成中心对称的三角形 A′B′C′；
（2）将 A△BC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画△出图形；
（3）请△直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）第四个顶点D的坐标为(﹣7，3)或(3，3)或(﹣5，﹣3)
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，
再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；
（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．
【详解】
解：(1)如图所示，先求出点A、B、C的关于点O对称的点A′（2，-3）、B′（6，0），C′（1,0），描点
A′（2，-3）、B′（6，0），C′（1,0），连结A′B′、B′C′、C′A′，
则 A′B′C′即为所求；
△
(2)如图所示，求出A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后A″（-3，-2）、B″（0，-6）、C″（0，-1），
描点A″（-3，-2）、B″（0，-6）、C″（0，-1），连结A″B″、B″C″、C″A″，
则 A″B″C″即为所求；
△
(3)如图所示，以AB为对角线，AB中点横坐标= ，纵坐标= ，（-4， ），D 横坐
1
标=-8-（-1）=-7，纵坐标=2× -0=3，D（-7,3），
1
以AC为对角线，AC中点（- ， ），D 的横坐标=2×（- ）-（-6）=3，纵坐标=2× -0=3，
2
D（3,3），
2
以BC为对角线BC中点坐标为（-3.5,0）D 横坐标=2×（-3.5）-（-2）=-5，纵坐标=0-3=-3，
3D（-5，-3），
3
第四个顶点D的坐标为(﹣7，3)或(3，3)或(﹣5，﹣3)．
【点睛】
本题考查中心对称性质，旋转对称性质，平行四边形性质，中点坐标公式，掌握中心对称性质，旋转对称
性质，平行四边形性质，中点坐标公式，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
48．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB C ；
1 1
(2)若点B的坐标为(−3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A． C两点的坐标；
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△AB C ，并标出B 、C 两点的坐标．
2 2 2 2 2
【答案】（1）见解析；（2）见解析，A(0，1)，C(－3，1)；（3）见解析，B (3，－5)，C (3，－1)
2 2
【分析】
（1）先作出C ，再根据B C =BC作出B ，最后连结AC 、AB 、B C 即可；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）根据B点坐标建立直角坐标系后，再写出A、C的坐标；
（3）由题意写出A B C 的坐标后即可作出 AB C ．
2、 2、 2 2 2 2
【详解】 △
(1)由题意，在过A向上方向作C 使得AC =3，再过C 在水平向右方向作B ，使得B C =4，
1， 1 1 1 1 1
连结AC 、AB 、B C ，
1 1 1 1
则 AB C 即为求作图形；
1 1
(2)△由题意，在B向右3,向下5的点处设立坐标原点，然后根据竖直向上为y轴正方向，水平向右方向为x
轴正方向建立直角坐标系如图，
然后根据A、C点所在位置可以得到两点坐标为：A(0，1)，C(－3，1)；
(3) 由题意可以写出A B C 的坐标分别为：A（0，-1），B （3，-5）、C （3，-1），
2、 2、 2 2 2 2
∴可以如图画出A B C ，然后顺次连结A B C 即可得到如图所示的 AB C ．
2、 2、 2 2、 2、 2 2 2 2
△【点睛】
本题考查旋转与中心对称坐标变换的应用，熟练掌握直角坐标系的知识及图形的坐标变换是解题关键．
49．如图所示，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是点A（﹣2，3），点B（﹣1，1），点C（0，
2）．
（1）作△ABC关于O成中心对称的△AB C ；
1 1 1
（2）将△AB C 向右平移4个单位，作出平移后的△AB C ；
1 1 1 2 2 2
（3）在x轴上求作点P，使PA ＋PC 的值最小．
1 2
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）P点的坐标为 ．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用点平移的坐标特征写出A、B 、C 的坐标，然后描点即可；
2 2 2
（3）作点C 关于x轴的对称点C′，连接C′A，利用两点之间线段最短可判断此时PA ＋PC 的值最小，然
2 1 1 2
后利用待定系数法求出直线C′A 的解析式，从而得到P点坐标．
1
【详解】
（1）如图，△AB C 为所作；
1 1 1（2）如图，△AB C 为所作；
2 2 2
（3）点C 关于x轴的对称点C′，连接C′A，交x轴于点P，则PA ＋PC 的值最小，
2 1 1 2
设直线C′A 的解析式为： ，
1
把A（2，−3），C′（4，2）代入得
1
，解得
∴直线C′A 的解析式为： ，
1
当y＝0时， ，解得 ，
∴ P点的坐标为： ．
【点睛】
本题考查了作图−平移和中心对称变换、利用轴对称求两线段和最小以及一次函数的相关知识，属于常考
题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
50．△ABC在网格中的位置如图所示：（1）请画出△ABC绕着点O顺时针旋转90º后得到的 ；
（2）请画出△ABC关于点O对称的 ；
（3）在MN上找到一点P，使PA+PB的长度最短．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A，B，C 即可；
2 2 2
（3）作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于P点，此时PA+PB＝PB+PA′＝A′B，从而可判断
此时最短．
【详解】
解：（1）如图，△ABC 为所作；
1 1 1
（2）如图，△ABC 为所作；
2 2 2
（3）如图，点P为所作．【点睛】
本题考查作图−旋转变换，最短路线问题，熟练掌握位旋转变换的性质是解本题的关键．
51．如图，在正方形网格中， 的顶点都是在格点上，请用尺规完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作 关于点 的对称 ；
（2）在图2中，作 绕点 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的 ；
（3）在图2中，判断 的形状是______三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直角三角形．
【分析】
（1）根据对称的意义：连接，延长等于连接线段即可得到对称点；（2）根据点B的位置特点，点C的位
置特点，选择属性一致的位置即可；（3）设网格正方形的边长为1，计算AB，BC，AC的平方，根据勾
股定理的逆定理判断即可．
【详解】
（1）连接AO，延长AO到 ，使得AO=O ，得到点A的对称点，同理可得，B，C的对称点，作图如
图1；（2）根据题意，画图如图2，
；
（3）设网格正方形的边长为1，根据题意，得 ， ，
，
∴ ，
∴三角形ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查了网格正方形上的对称作图问题，旋转作图问题，三角形形状判定问题，熟练掌握中心对称的意
义，旋转的意义，勾股定理的逆定理是解题的关键．
52．在下列正方形网格中，点A是 上一点（点A和圆心O均为格点）．
（1）在图1中不过点A画 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与 组成的图形是轴对称
图形，但不是中心对称图形；（2）在图2中不过点A画 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与 组成的图形是中心
对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画 的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与 组成的图形既是中
心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据轴对称图形的意义可以作出图形；
（2）根据中心对称图形的意义可以作出图形；
（3）根据轴对称图形和中心对称图形的意义可以作出图形．
【详解】
（1）答案不唯一．
（2）答案不唯一．
（3）答案不唯一．【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的意义是解题关键．
53．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是 ．
（1）作出 关于点O对称的图形 ；
（2）以点O为旋转中心，将 顺时针旋转 ，得 ，在坐标系中画出 ，并写出
点 的坐标．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，
【分析】
（1）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△ABC ．
1 1 1
（2）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△ABC ；
2 2 2
【详解】
解：（1）如图所示， 即为所求．（2）如图所示， 即为所求．
．
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此
可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
54．在如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答
下列问题：
（1）作出 关于坐标原点O成中心对称的 ，画出 ，写出 坐标_________；
（2）将 绕点O逆时针旋转 得到 ，写出 的坐标__________．
【答案】（1）作图见解析，C （4，1）；（2）C （1，−4）．
1 2
【分析】
（1）根据中心对称的性质画出各点关于原点的对称点，顺次连接各点，写出C 坐标即可；
1（2）根据图形旋转的性质作出△ABC绕点O逆时针旋转90°的△AB C ，即可写出C 的坐标．
2 2 2 2
【详解】
解：（1）如图所示， 即为所求作的图形，并由图可知C （4，1）．
1
故答案为：（4，1）．
（2）如图所示，△AB C 为△ABC绕点O逆时针旋转90°的图形，并由图可知C （1，−4）．
2 2 2 2
故答案为：（1，−4）．
【点睛】
本题考查了中心对称及作图−旋转变换，熟知中心对称与图形旋转的性质是解答此题的关键．
55．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点坐标为： ， ， ．
（1）作 关于原点O成中心对称的 ；（2）将 向上平移5个单位，作出平移后的 ；
（3）在x轴上求作一点P，使 的值最小，并求出点P的坐标
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解，
【分析】
(1)根据关于原点对称的点的坐标特征分别作出点A、B、C关于原点的对称点A、B 、C ，即可得到
1 1 1
△AB C ；
1 1 1
(2)根据平移的性质分别作出点A、B 、C 向上平移5个单位的对称点A、B 、C ，即可得到△AB C ；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)由于点A′和A关于x轴对称，连结A′A 交x轴于P，则PA′=PA，所以PA+PA=PA′+PA =A′A，根据两
2 2 2 2
点之间线段最短得到PA +PA的值最小，接着利用待定系数法求出直线A′A 的解析式为 ，然后
2 2
计算函数值为0时的自变量的值即可得到点P的坐标．
【详解】
(1)如图， AB C 为所求；
1 1 1
(2)如图，△AB C 为所求；
2 2 2
(3) 作点A△关于x轴对称的对称点A′，连结A′A 交x轴于P，则P点为所求，
2
则PA′=PA，所以PA+PA=PA′+PA =A′A，
2 2 2
根据两点之间线段最短得到PA +PA的值最小，
2
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，当 时， ，
解得 ，
P点坐标为 ．
【点睛】
本题考查了作图-中心对称变换和平移变换．根据中心对称的性质可知，作对应点与中心O连线并延长，
利用对应线段相等，由此可以射线上的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出成中心对
称的图形．
56．规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心对称的抛物线
为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y＝mx2＋4x＋3经过点
0
（﹣1，0），顶点为A，抛物线y 与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．
1（1）m＝ ，点A的坐标是 ，抛物线y 的解析式是 ．
1
（2）对于抛物线y＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y 的顶点A 为发散中心，得抛物线y；再以抛物线y
0 1 1 2 2
的顶点A 为发散中心，得抛物线y，…，以此类推．
2 3
①求抛物线y＝mx2＋4x＋3以A 为发散中心得到的抛物线y 的解析式；
0 1 2
②求发散抛物线y 的发散中心A 的坐标；
4 3
③若发散抛物线y 的顶点A 的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出AA 的长度（用含n的式子表示）．
n n n n﹣1
【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y＝﹣x2＋20x﹣97；②A（22，7）；③2n﹣1
1 2 3
．
【分析】
（1）把点（﹣1，0）代入y＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，
0
进而根据中心对称的性质得到A，即可判断抛物线y 的解析式；
1 1
（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y 的解析式；②根据中心对称的性质求得
2
A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝ AAn，即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），
0
∴m﹣4＋3＝0，
∴m＝1，
∴y＝x2＋4x＋3，
0
∵y＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2﹣1，
0
∴顶点A的坐标是（﹣2，﹣1），
∵抛物线y 与抛物线y 关于点（1，0）成中心对称，
1 0∴抛物线y 的顶点A 为（4，1），
1 1
∴y＝﹣（x﹣4）2＋1，即y＝﹣x＋8x﹣15，
1 1
故答案为：1，（﹣2，﹣1），y＝﹣x＋8x﹣15；
1
（2）①∵A（﹣2，﹣1），A（4，1），抛物线y 与抛物线y 关于点A 成中心对称，
1 2 0 1
∴A（10，3），
2
∴y＝﹣（x﹣10）2＋3＝﹣x2＋20x﹣97；
2
②设A（a，b），
3
则 ， ＝3，
解得：a＝22，b＝7，
∴A（22，7）；
3
③∵A（﹣2，﹣1），An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），
∴AAn＝ ＝2n ，
∴AnAn﹣1＝ AAn＝2n﹣1 ．
【点睛】
本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等
知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．
57．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为 ．
①当点 落在该抛物线上时，求m的值；
②当点 落在第二象限内， A2取得最小值时，求m的值．
【答案】（1） ，顶点坐标为 ；（2）① 或 ；②
【分析】
（1）把 点坐标代入抛物线解析式可求得 的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）①由对称可表示出 点的坐标，再由 和 都在抛物线上，可得到关于 的方程，可求得 的值；
②由点 在第二象限，可求得 的取值范围，利用两点间距离公式可用 表示出 ，再由点 在抛物线
上，可以消去 ，整理可得到关于 的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时 的值，则
可求得 的值．
【详解】
解：
（1） 抛物线 经过点 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
，
抛物线顶点坐标为 ；
（2）①由 在抛物线上可得 ，
点 与 关于原点对称，
，
点 落在抛物线上，
，即 ，
，解得 或 ；
②由题意可知 在第二象限，
， ，即 ， ，
抛物线的顶点坐标为 ，
，
在抛物线上，，
，
， ，
；
当 时， 有最小值，
，解得 或 ，
，
不合题意，舍去，
的值为 ．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．
在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得 点的坐标，得到关于 的方程是解题的关键，在
（2）②中用 表示出 是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
58．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，
4），AB＝ ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线
C'．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 （用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为
P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若
不能，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣ x2+4；（2）①y＝ （x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2 ；（3）能，m＝ ﹣3或
6．
【分析】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2 ，0），再设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（2
，0）代入可得a＝﹣ 即可解答；
（2）①由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），可得出抛物线C′的解析式为y＝ （x﹣2m）2﹣4；
②联立两抛物线的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧
有两个不同的公共点，则得到关于m的不等式组，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当
△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，
可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如
图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2 ，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣2 ，0）代入可得a＝﹣ ，∴抛物线C的函数表达式为y＝﹣ x2+4．
（2）①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，
∴抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），
∴抛物线C′的解析式为y＝ （x﹣2m）2﹣4，
故答案为：y＝ （x﹣2m）2﹣4．
②由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有 ，解得2＜m＜2 ，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2 ．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，
四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∴∠FPE＝∠MFH，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y＝﹣ x2+4上，
∴m﹣2＝﹣ （m+2）2+4，解得m＝ ﹣3或﹣ ﹣3（舍弃），
∴m＝ ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣ x2+4中，2﹣m＝﹣ （m﹣2）2+4，
解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝ ﹣3或6．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二
次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．
59．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质
的过程．以下是我们研究函数的 图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题．
（1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象．x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 …
y … -1 1 0 -1 1
（2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内
打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”．
①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ）
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ）
（3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结
果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）补全表格及函数图象见解析；（2）√，√，×；（3） 、 ，
【分析】
（1）求出 和 对应的函数值即可补全表格，再描点作图即可求解；
（2）根据函数图象的性质逐一判断即可；
（3）根据函数图象，代入大致的数值进行验证即可求解．
【详解】
（1）补全表格如下：
x … - -3.5 -3 -2.5 -1. - -0. 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 …4 5 1 5
- -
y … 1 0 1
1 1
画出函数图象如下：
；
（2）①该函数的自变量的取值范围是x≠±2，正确；
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点，正确；
③在 、 以及 的每个范围内，y随x的增大而减小，错误；
（3）∵当 时， ，
当 时， ，
∴ 的一个解为 ；
同理可得 的另外两个解为 ， ；
综上， 的解为 、 ， ．
【点睛】本题考查函数的图象，掌握描点作图、利用图象解方程的方法是解题的关键．
60．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 （ ， ， 是常数）与 （ ， ，
， 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数
的旋转函数．小明是这样思考的，由函数 可知， ， ，
，根据 ， ， ，求出 ， ， 就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数 的旋转函数
（2）若函数 与 互为旋转函数，求 的值．
（3）已知函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点
的对称点分别是 ， ， ，试求证：经过点 ， ， 的二次函数与 互为“旋
转函数”．
【答案】（1） ；（2）1；（3）证明过程见详解．
【分析】
（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进
行判定．
【详解】
解：（1）根据题意得 ，解得
故解析式为： ．
(2)根据题意得
∴
∴ ．
(3)根据题意得A(1，0)，B(3，0)，C(0，-6)
∴A(−1，0)，B (-3，0)，C (0，6)
1 1 1
又
且经过点A，B ，C 的二次函数为
1 1 1
∵
∴两个函数互为“旋转函数”．
【点睛】
本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，
熟练运用相关知识是解题的关键．
