文档内容
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
教学目标：掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．
教学重难点：垂径定理的综合应用
知识点一：圆的轴对称性
圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
例题．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴
变式1．下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
变式2．下列结论正确的是（ ）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与直径相交的直线是圆的对称轴知识点二：垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
例题．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
变式 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD 的长为
（ ）A． B．2 C．2 D．8
变式3．（2017•丰润区一模）如图．⊙O的直径AB垂直弦CD于E点，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（
）
A．4 B．8 C．2 D．4
变式4．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，CD=2 ，BD= ，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式5．如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
变式6．A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式7．如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 cm．
拓展点一：垂径定理及其推论的简单应用
例题．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOC=∠AOD B．BE=OE C．CE=DE D．AC=AD
变式1．已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是（ ）
A．弦CD一定是⊙O的直径 B．点O到AC、BC的距离相等
C．∠A与∠ABD互余D．∠A与∠CBD互补
变式2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为
（ ）A．2 B．3或4 C．1 D．1或7
变式3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．OE=BE B． =
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
变式2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD=30°，下列结论：①AE=BE；②OE=DE；
③AB=BC；④BE= DE．其中正确的是（ ）
A．① B．①②③ C．①③ D．①②③④
变式5．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC=（ ）
A． B．4 C．3 D．
变式6．如图，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）A．6cm B． cm C． cm D．9cm
拓展点二：垂径定理在实际生活中的应用
例题．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．26cm
变式1．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米D．15米
变式 2．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为6m，桥拱半径 OC 为4m，则水面宽 AB 为
（ ）
A． mB．2 m C．4 m D．6 m变式3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面上升
1m，油面宽度为8m，圆柱形油槽的直径为（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
变式4．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD
为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为 2 6 ．
易错点：解决平行弦问题时，因考虑问题不全面而造成漏解
例题．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（
）
A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
变式．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（
）
A．2 B．3或4 C．1 D．1或7
