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24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计
课题 24.1.2 垂直于弦的直径 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
学习 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
目标 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点 1．理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问
题.
2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
难点 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.圆的定义 学生思考并回 回顾圆的相关
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 答 概念
O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做
圆．
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定
点O的距离等于定长r的点的集合．
2.弦的定义
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
3. 弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
讲授新课 环节一：探究圆的轴对称性 学生动手操 动手操作——猜
剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对 作，体会圆是 想——验证.
折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 轴对称图形 .
么结论？你能证明你的结论吗？
猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
求证：圆是轴对称图形.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任
意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也
在圆上.证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′
是弦，使AA′⊥CD，垂足为M
连接OA，OA′,则OA=OA′.
∵AA′⊥CD，
∴CD是AA′的垂直平分线.
通过观察分析 初步理解问题并
∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD
发现结论及推 能用所学的知识
的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称. 论，并学会运 解决问题.
圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所 用知识解决问
在直线都是圆的对称轴. 题.
注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称
轴是直线，而直径是线段.
环节二：探究垂径定理及推论
如图， 把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点
A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？
AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C
直径CD平分弦AA'，并且平分AA' ，A'CA
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形：如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M.
仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什
么？
已知：CD是直径，CD⊥AB
结论：AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧.
已知：AB不是直径，CD过圆心 ，AM=BM
结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC
思考：为什么平分的弦不是直径？
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD
一定会垂直弦AB吗？
不会
运用垂径定理 培养学生运用数
及其推论解决 学知识解决生活
实际问题，总 中实际问题的能
结辅助线的添 力.
加方法.根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线
来说，如果具备：
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦（非直径）
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意两个条件，都可以推出其
他三个结论.(知二推三)
环节三：合作探究
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结
晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦
的长）为 37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为
7.23m. 求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点
后一位).
解：过点O作OC⊥AB，连接OA. 如图，设赵州
桥主桥拱的半径为R m.
由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，
则AD=18.5m，OD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理得
R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
C
a h
2C
学生练习，师 通过各种变式练
a h 生互评订正. 习，让学生理解
和掌握垂径定理.
A B
垂径定理中辅助线的2添加方法：
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦
D
的距离），弓形高h的计d算题时，常常通过连半径
r
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾
股定理求解.
O
O
r
d
A B
C
弓形中的数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关
系：
d+h=r
C
a h
A B
2
D
d
r
环节四：课堂练习
O
1. 如图，已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足
为P，且OP=3，则AB= 8 .
C
O2.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若
圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
3. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下
列结论不一定正确的是( D )
A.CM=DM B.BC=BD
C.∠ACD=∠ADC D.OM=MB
4.已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两
条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB
和CD之间的距离是多少？
分析：弦AB、CD可能在圆心的同侧，也可能在
圆心的异侧. 分类讨论
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，
连接OC，OA.
∵ AB//CD，∴OE⊥AB.
∵AB=16cm，CD=12cm,
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2 cm.
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，过点 O 作
OE⊥CD，交CD于点E，延长EO交AB于点F，
连接OC、OA，如图2所示
∵ AB//CD，∴ OF⊥AB
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm.
∵OA=OC=10cm，
由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm.
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
垂直于弦的直径平分弦，
本节课的知识 识点.
内容 并且平分弦所对的两条弧
点.
①过圆心;②垂直
于弦; ③平分弦
径垂 （不是直径）; ④
推论
直 平分弦所对的优弧
于 ⑤平分弦所对的劣
弦 弧.
的
直辅助线 连半径，作弦心
距
板书 24.1.2 垂直于弦的直径 教师展示本节 展示本节课的内
圆是轴对称图形： 课的内容. 容.
垂径定理及推论：
例2 练习
