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第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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1．半径为r的圆的内接正三角形的边长是
A．2r B．
C． D．
【答案】B
2．一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是A．r= R B．r= R
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C．r= R D．r= R
【答案】A
【解析】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r= R，
故选：A．
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3．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是
A．12 B．10
C．8 D．6
【答案】A
4．正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为
A．4 B．2
C． D．
【答案】A
【解析】∵正n边形的一个外角为60°，∴n=360°÷60°=6，
∵正六边形的外接圆半径与边长相等，∴正六边形的边长为4．
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故选A．
5．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°= ；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°= ，
则该三角形的三边分别为：1， ，
∵12+（ ）2=（ ）2，
∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是： ．
故选：A.
6．正六边形ABCDEF内接于 ，正六边形的周长是12，则 的半径是
A． B．2
C． D．
【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．同一个正方形的内切圆与外接圆的面积比为________．
【答案】1:2
【解析】如图，根据题意可知OA和OB分别是正方形的内切圆、外接圆的半径，因此设OA=x，则根据正方
形的性质求出OB的长为 x，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为1:2.故答案为
1:2.8．如图，正五边形 内接于 ，若直线 与 相切于点 ，则 __________．
【答案】
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9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐
步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的
面积，则S=_____．（结果保留根号）
【答案】
【解析】依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM= ，∴AB= ，
∴S=6S =6× × ×1=2 ．
ABO
△
故答案为：2 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．
而 ACE的面积是 OAH面积的6倍，即6× × R× R＝48 ，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
