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第一讲：集合
【考点梳理】
1．集合及其关系
（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
（2）集合间的基本关系
表示
文字语言 记法
关系
子集 集合 的元素都是集合 的元素 或
集合 是集合 的子集，但集合 中至少
基本关系 真子集 A⊆B 或 B⊆A
有一个元素不属于
相等 集合 ， 的元素完全相同
不含 任何元素的集合．空集是任何集合
空集
的子集
注意：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）若有限集 中有
个元素，则集合 的子集个数为 ，真子集的个数为 .
2．集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号
表示
图形
表示
意义
性质 A∪φ=A A∪A=A A∩φ=φ A∩A=A A∪C A=U A∩C A=φ
, , U , U
A∪B=A⇔B⊆A A∩B=A⇔A⊆B
【典型题型讲解】
考点一：集合的概念：集合表示，元素的性质
【典例例题】
例1．集合 ，用列举法可以表示为 _________．
例2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3.设集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2.描述法，注意代表元素.
3.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
【变式训练】
1.已知集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.设集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A． B． C． D．无数个
3.定义集合 的一种运算： ，若 ， ，则 中的
元素个数为（ ）
A． B． C． D．
4.已知集合 ， ， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.设集合 ， ，则集合 元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二： 集合与集合之间的关系
【典例例题】
例1.（2022·广东潮州·高三期末）已知集合 ， ．若 ，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
例题2、（2022·四川·高三阶段练习）集合 的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则集合A的子集个数为（ ）
A．16 B．32 C．15 D．31
【方法技巧与总结】1.注意子集和真子集的联系与区别.
2.判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断：数轴、韦恩图
【变式训练】
1.设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2.已知集合 ， ， ，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3.(多选)已知集合 ， ，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
考点三： 集合的运算：交集、并集、补集运算
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·广东·铁一中学高三期末）设集合 ，则
（ ）A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.会用数形结合求集合的交集与并集运算
2.全集和补集是不可分离的两个概念
【变式训练】
1．（2022·广东中山·高三期末）设全集 与集合 的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3.已知集合 ，全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设集合 、 均为 的子集，如图， 表示区域（ ）
A．Ⅰ B．II C．III D．IV
5．建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止 年 月底，《长津湖》
票房收人已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津湖》的有 人，观看了《革命者》
的有 人，数据如图，则图中 ___________； ___________； ___________.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A． B． C． D．
7．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知集合 ， 满足 ， ，全集 ，则下列说法中可能正确的有（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素 B． 有一个最大元素， 没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素 D． 没有最大元素， 也没有最小元素
10．设 表示不大于 的最大整数，已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
