文档内容
第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式
（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求 ，再根据补集定义即可求解结论．
【详解】集合 ， ， ，
，
故选：D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则【答案】B
【分析】取 ，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大
小可判断D.
【详解】对于A：当 时，显然不成立，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，故D错误.
故选：B.
4．已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数 ，由共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意， ，
则复数 的共轭复数 .
故选：A.
5．已知 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】当 时， 且 ，所以 成立，
当 时，得 或 ，即 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
6．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运
动轨迹，他每跑 ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了 ，恰好回到起
点，前 的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方
程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为 ，刘老师总共跑的圈数为 ，（ ），
则由题意 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
7．复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点 ，则下列为真命题的是（ ）．
A．若 ，则点 在圆上
B．若 ，则点 在椭圆上
C．若 ，则点 在双曲线上
D．若 ，则点 在抛物线上
【答案】D
【分析】 、 分别表示点 与 、 之间的距离，记
， ，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】 表示点 与 之间的距离，
表示点 与 之间的距离，记 ， ，
对于A， ，表示点 到 、 距离相等，则点 在线段 的中垂线上，故A错误；
或由 ，整理得 ，所以点 在 ，故A错误；对于B，由 得 ，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若 ， ，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若 ，则 ，整理得 ，为抛物线，故D正确.
故选：D.
8．对于集合A，B，定义A\B= 且 ，则对于集合A={ }，B={
}， 且 ，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪ ”，则 C中元素个数为13.
【答案】B
【分析】根据各个选项确定相应的集合 ，然后由集合与子集定义得结论．
【详解】 ， ，集合 无公共元素，
选项A中，集合 为空集，没有真子集，A错；
选项B中，由 得 ，由 得 ，因此 中元素个数为 ，
B正确；
选项C中， 中元素个数为166，非空真子集个数为 ，C错；
选项D中， ，而 ，因此其中元素个数为331个，D错．
故选：B．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知实数 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，得到 ，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性
质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.
【详解】由不等式 ，可得 且 ，即 ，对于A中，由 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，根据不等式的性质，可得 ，所以B正确；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
因为 ，所以等号不成立，即 1，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，则 ，所以 ，所
以D错误.
故选：ABC.
10．已知复数 满足： ， ，若 在复平面内对应的点在第四象限，则
以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设复数 在复平面内对应的向量为 ，依题意可得四边形 为菱形，且
，即可求出 、 ，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】设复数 在复平面内对应的点分别为 ， 为坐标原点，
则复数 在复平面内对应的向量为 ，且 ，
， ，
所以四边形 为菱形，且 ，
又 ， 与 轴正半轴所成的角为 ，
所以 与 轴正半轴所成的角为 ，所以 与 关于 轴对称，
所以 ，则 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故A错误；
，故C正确；，故D错误.
故选：BC
11．已知 ，且 ，则（ ）
A．ab的最大值为1 B．ab的最小值为－1
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】AB
【分析】利用基本不等式的知识，结合特殊值法进行排除即可得到正确答案.
【详解】由于 ，所以 ，即 ，解得
，即 ，故A和B均正确，
令 ，满足题干的式子，但是 ，故C错误，
将 变形可得 ，所以
，
当且仅当 时等号成立，故D错误，
故选：AB.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． ， ，则 .
【答案】
【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得 .
【详解】若 ，则 ，解得 ，
所以 ；若 ，则 ，解得 ，
所以 ；
所以 .
故答案为： .
13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是
“返回家乡”的 条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.
【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，
必要性成立；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
14．函数 的最小值 ．
【答案】 /
【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.
【详解】由 ，
故
，
由 ，故 、 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合 ，集合 .
(1)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【详解】（1）∵ 是 的必要不充分条件，
∴ 是A的真子集.
①当 时， ，
②当 时，∴ ，解得 .
∴实数 的取值范围为 .
（2）由 ，
则①当 时， ，
②当 时，可得 或 ，
解得 或 .
∴实数 的取值范围为 .
16．已知 （其中i为虚数单位）.
(1)若 为纯虚数，求实数a的值；
(2)若 （其中 是复数 的共轭复数），求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)【分析】（1）利用纯虚数的概念结合复数的运算得到 求解a的值；
（2）利用复数的模的概念得到 求实数a的取值范围.
【详解】（1）由 ，可得 ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 ；
（2）因为 ，所以 ，
由 ，可得， ，解得， ，
故实数a的取值范围为
17．设命题 ，使得不等式 恒成立；命题 ，不等式
成立．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若 为真命题，即 ，使得不等式 成立，则转化对于 ，
即可.
（2）若 为真命题，即 ，不等式 成立，则转化为对于 ，
即可.
【详解】（1）若 为真命题，即 ，使得不等式 成立，
则对于 ， 即可.
由于 , ，则
（2）若 为真命题，即 ，不等式 成立，则对于 ， 即可.
由于 ， ， ，解得
p、q有且只有一个是真命题，则 或 ，
解得 .
18．已知实数a，b，c满足 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若a，b， ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，又 ，结合基本不等式可得 ，化简
求得 ，得证；
（2）法一，由已知条件得 ，同理可得 ， ，三式
相加得证；法二，根据已知条件可得 ，所以
，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
整理得 ，所以 ．
（2）解法一： 因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，所以 ，
同理可得 ， ，以上三式相加得 ，当且仅当 时等号成立．
解法二：因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，且 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立．
19．已知集合 ， ， ，若 ， ， 或 ，则称集合A具
有“包容”性．
(1)判断集合 和集合 是否具有“包容”性；
(2)若集合 具有“包容”性，求 的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个， ，试确定集合C．
【答案】(1)集合 不具有“包容”性，集合 具有“包容”性
(2)1
(3) ， ， ， 或 ．
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到 ，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且 ，再由条件 ，推出集合中有正数
也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【详解】（1）（Ⅰ）集合 中的 ， ，
所以集合 不具有“包容”性．
集合 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合
，所以集合 具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合 具有“包容”性，记 ，则 ，
易得 ，从而必有 ，
不妨令 ，则 ， 且 ，则 ，
且 ，
①当 时，若 ，得 ，此时 具有包容性；
若 ，得 ，舍去；若 ，无解；
②当 时，则 ，由 且 ，可知b无解，
故 ．
综上， ．
（3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且 ，又 ，且C中既有正数
也有负数，
不妨设 ，
其中 ， ， ，
根据题意 ，
且 ，
从而 或 ．
①当 时， ，
并且由 ，得 ，由 ，得 ，
由上可得 ，并且 ，
综上可知 ；
②当 时，同理可得 ．
综上，C中有6个元素，且 时，符合条件的集合C有5个，
分别是 ， ， ，
或 ．
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格
“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出 后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利
地完成.
