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一、单项选择题
1．已知直三棱柱 ABC－ABC 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，
1 1 1
AB⊥AC，AA＝12，则球O的半径为( )
1
A. B．2 C. D．3
2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其
外接球体积为( )
A. B．4π C. D．4π
3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的
所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
4．(2024·南昌模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，
EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三
棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为( )
A. 2 B．4 C．2 D.
5．(2023·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围
成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，
这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长
为1，则该多面体外接球的体积为( )
A. B. C．4π D．8π
6．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下
列说法中正确的是( )A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为π
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2
8.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径
恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，
O ，O 为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O 的一条直径，若球的半径r＝
1 2 1
2，则( )
A．球与圆柱的表面积之比为1∶2
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为π
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4]
三、填空题
9．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
10.如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通
过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，
补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______．
