文档内容
27.2.1.相似三角形的判定（3）
教学目标：
理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三
角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
教学重点
两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．
教学难点
探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．
一、新知引入
1．什么样的两个三角形是相似三角形？相似的两个三角形具有哪些特征？
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似)
3．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)
4．类比两个三角形全等，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的
对应角和对应边的关系？
(不需要)
二、新课讲解
由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应
成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
探究1：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个
三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．
试一试：证明你的结论！
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
（引导学生分析、讨论、形成逻辑过程，完成证明）
证明：
在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
∴△A`B`C`∽△ABC
●归纳：三角形相似的判定方法2：
三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：∵A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC
∴△ABC∽△A`B`C`例题讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′=12 cm，B′C′=18 cm，A′C′=24 cm.
解：相似
●总结：三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
巩固练习：
1、图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相
似？
导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度
的比是否相等来判断哪两个三角形相似．
解:图2 (2)中的三角形与△ABC相似．
2、如图，在正方形网格上有⊿ABC 与⊿ABC，它们相似吗？如果相似，求出相似比，如果不相似，
1 1 1 2 2 2
请说明理由。
答案：相似，相似比是2:1
探究2：
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的
第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否
相等？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
学生动手画图、测量，独立研究．
试一试证明你的结论：
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.
∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
∵A`B`:AB=A`C`:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A`B`C`∽△ABC●归纳：三角形相似的判定方法3：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
几何语言：∵∠A＝∠A`,∠A`,A`B`:AB=A`C`:AC.
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解： A
例2 判断图中△AEB和△FEC是否相似？
D
C
B
解：相似，利用判定3进行判定
巩固练习：
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.（想一想两个三角形相似比是少？）
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm，AC=15cm
∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
解：相似，（（1）相似比为： 或 ）
2、思考:①两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
②等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?
答：①一定相似②不一定相似
3、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角
三角形（ ）相似。C
A. 一定 B. 一定不 C.可能 D.无法判断
4、如图，下列比列一定成立的是：（ ）B
A. B. C. D.
三、拓展提高
例3 如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，其中，OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,求证：
⊿OAD∽⊿OBC
D
证明：∵ , A
∴ 又∵∠OAD=∠BOC∴⊿OAD∽⊿OBC O
应用提高：
B C
1、如图所示，点D是⊿ABC中，AB上一点，且AC2=AD*AB,求证：⊿ACD∽⊿ABC证明：∵AC2=AD·AB，∴
∵∠A=∠A．
∴△ACD∽△ABC，
2、如图，已知 ,试说明∠BAD=∠CAE.
证明：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
3、要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的
一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
解：设另外一个三角形的两边长分别为x，y则：
①4:2=5:x=6:y解得：x=2.5 ,y= 3
②4:x=5:2=6:y解得：x=1.6 ,y= 2.4
③4:x=5:y=6:2解得：x= ,y=
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？
学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．
五、布置作业
练习：教材P451、2、3．
当堂测评
1、图中的两个三角形是否相似？
2、已知△ABC 与△ABC 的相似比为4：3，△ABC 与△ABC 的相似比为4：5，则△ABC 与△ABC
1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3
的相似比为( )
A. 16：15 B. 15：16 C. 3：5 D. 16：15或15：16
3、如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC
相似，满足这样条件的直线共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4、如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长，交BC的延长线于
D，此时BC：CD为( )
A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2
5、如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
6、如图所示，在⊿ABC中，AB=AC,D点是CB延长线上的一点，点E是BC延长线上的一点，且满足
AB2=DB*CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC(2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数。
A
E
D C
B
7、如图，⊿ABC和⊿CDE都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交
于点N．
求证：（1）CG平分∠BGD． 2）⊿ACG∽⊿CEG1.答案 (1)相似． (2)不相似．
2. A 3. C
4. A
提示：如图，做CN∥AB,交ED于点N,
∵M是AC边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE,
∵AE= AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.
∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.
5.解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即 ∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
6.证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=DB•CE
∴
∴△ADB∽△EAC
（2）∠DAE=110。
7.
证明：如图，作CP⊥AD于P，CQ⊥BE于Q，
∵⊿ABC和⊿CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE
即∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴∠BEC=∠ADC，
∵CP⊥AD，CQ⊥BE
∴∠CQE=∠CPD=90°
在△CQE和△CPD中：
∴△CQE≌△CPD，
∴CQ=CP,∴CG平分∠BGD（到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。）
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
又 ∵∠CMB=∠AMG，
∴∠BCM=∠AGM=60°，
又 ∵CG平分∠BGD，
∴∠CGB=∠CGD=60°=∠EGP，
∴∠AGC=120°=∠CGE，
∠GCE=∠60°−∠BEC
∵∠EBC=60°-∠BEC，
∴∠GCE=∠EBC=∠CAD，
∴△ACG∽△CEG．
