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第三章 一元函数的导数及其应用（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数 的导函数 ，若1不是函数 的极值
点，则实数a的值为（ ）．
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且满足
，则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的图象关于点 对称
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数 存在减区间，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，
1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含
的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于 ，有
，若取 ，则
，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将 ， ， ， ， 等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数
值近似求出原函数的值，如 ， ，则运用上面的想法求
的近似值为（ ）
A．0.50 B． C． D．0.56
8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，若 ，不等式
恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则下列直线中可能与 垂直的是
（ ）
A．x+4 y=0 B．
C． D．
10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数 在R上存在导函数 ，对任意的 有
，且在 上 ，若 ，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数 ，则（ ）
A． 有极大值，没有极小值
B． 有极小值，没有极大值
C．函数 与 的图象有两个交点
D．函数 有两个零点
12．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成立，则满足条
件的正整数 可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数 的图象在 处的切线方程为________．14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 ______.
①定义城为 ，②导函数 ；③值域为
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数 ，若
恰有两个极值点，则实数 的取值范围是_________.
16．（2023·河北·校联考三模）已知 分别是函数 图象上的动点，则 的最小值
为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数 ，
(1)求 、 的值；
(2)求 在 上的最值．
18．（12分）
（2023·北京西城·统考一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： 在 上单调递增；
(3)判断 与 的大小关系，并加以证明．
19．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用
所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万
元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元.已知在年产量不足4万件时， ，在年产
量不小于4万件时， .每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售
完.(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动
成本.）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
20．（12分）
（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设 ， ，且a、b为函数 的极值点
(1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线 在 处的切线斜率为 ，且方程 有两个不等的实根，求实数m的取值
范围.
21．（12分）
（2023·广西南宁·统考一模） ，
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 ；
(3)证明对于任意正整数 ，都有 .
22．（12分）
（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数 和函数 ，且
有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且，证明： ．
