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期中重难点复习之填空题分阶练（三阶75题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
二次根式基础题型
1．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知 ， ，则化简 的结果是 ．
2．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（用 ， ， 填空）
3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）要使 有意义，则x的取值范围是 ．
4．（2024·广东珠海·一模）计算： ．
5．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值：
， ．
6．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如果 与 同时有意义，那么 ．
7．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）最简二次根式 与 可以合并，则 ．
8．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则
．
9．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）若 ，则 ．
10．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若 为整数，且满足 ，则当 也为整数时，满足条
件的 的值有 个.勾股定理基础题型
11．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如果直角三角形的三条边分别为4、5、 ，那么 的值等于
．
12．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 ．
13．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数
轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是
．
14．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）老师在讲“实数”这节时，画了图(如图)，即以数轴的单位长
度为边长作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，则点A表示实
数 ．
15．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习） ， 是平面直角坐标系中的两点，线段 长度的
最小值为 ．
16．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在 中， ， 的平分线交
于点D， ， ，点D到 的距离为 .
17．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作
注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为 ，斜边长为 ．若 比 长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边 的长为 ．
18．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了 到达A
处，在港口的东南方向 处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为 ．
19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知
米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过
木块到达 处需要走的最短路程是 米．
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若 ，且 ， ， 为 的三边，
则 的面积为
平行四边形基础题型
21．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若， ，则 的长为 ．
22．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图：在 中， ， ，点D，E分别是 ，
的中点，连接 ， ，如果 ，那么 的周长是 ．
23．（2024·湖南长沙·一模）如图， 的对角线 相交于点 ．则
的周长为 ．
24．（2024·湖南长沙·一模）如图，如果要测量池塘两端 ， 的距离，可以在池塘外取一点 ，连接 ，
，点 、 分别是 、 的中点，测得 的长为 米，则 的长为 米．
25．（18-19八年级下·全国·单元测试）在 中， ，则 边上的中线
．
26．（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形 中，过点 作 于点 ，过点 作 的平行线
，连接 、 ， ，四边形 的面积为 ，若 ，则 的长为 ．27．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，在 中，对角线 和 相交于点O，如果 ，
， ，那么m的取值范围是 ．
28．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点 是边长为 的菱形 对角线 上的一个动点，
点 ， 分别是 ， 边上的中点，则 的最小值是 ．
29．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，点E是
边 的中点，点F在对角线 上，且 ，连接 ，若 ，则 ．
30．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 ， 分别落在 ，
的位置．若 ，则 等于二次根式提高题型
31．（2023·辽宁丹东·二模）如图所示， ．
32．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）已知实数a满足 ，则 的值是
．
33．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知 ，则 的平方根是 ．
34．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：
特例1： ；特例2： ；特例3：
……应用发现的运算规律求值 ．
35．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知 ，则代数式 的值为 ．
36．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另
一个式子的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中
均为整数），则有 ．
， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请利用小明发
现的方法，化简 ．37．（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①
；② 等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：
．
38．（23-24九年级下·山东潍坊·阶段练习）已知 ，当 分别取 时，所对应
的 值的总和是 ．
39．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）已知 分别是 的整数部分和小数部分，则
的值为 ．
40．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数 定义新运算“ ”，规定：
，求 中 的取值范围是 ．
勾股定理提高题型
41．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长方体的高为 ，底面长为 ，宽为 ．若一只
蚂蚁从点 爬到 ，则爬行的最短路程是 ．
42．（2024·重庆·一模）如图，在 中， ， ， ，点 ， 在斜边 上，
将边 沿 翻折，使点C落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点A落在 延长线上的点G处，则 的面积为 ．
43．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
的垂直平分线交 的延长线于点 ，交 于点 ，那么 的长为 ．
44．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， 平分 ．若 ， 则
的面积为 ．
45．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）如图， ，点D在射线 上，且 ，点P在射
线 上运动，当 是直角三角形时， 的长为 ．
46．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．
是 的平分线．若P，Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．47．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 中， ， ， ，BD平分
，且 ，则 与 的面积和是 ．
48．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中，
是 边上一动点，将 沿 折叠，点B落在 处， 交
于D，则 的最大值为 ．
49．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角，已知滑杆 长
，顶端 在 上运动，量得滑杆底端 距点 的距离为 ，当底端 向右移动 到达点 ，顶端
到达点 时，求滑杆顶端 下滑 米．
50．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图， 中， ， ， 是 的
边 上的高，点 是 上动点，则 的最小值是 ．平行四边形提高题型
51．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则第四个顶点 的坐标是 ．
52．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在 中， 于点 分别是
边的中点，连接 ，当 满足条件 时，四边形 是菱形．（填一个你认为恰当
的条件即可）
53．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在 中，D为斜边 的中点，E为 上一点，F为 中点，
，若 ，则 的长为 ．
54．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 是 上的一个动
点， 于 ， 于 ，则 的值为 ．55．（2024·陕西西安·二模）如图， 中， ，延长 至点 ，使 ， 为边
上的点，且 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 的长为 ．
56．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A、C的坐标
分别为 ，点D是 的中点，点P在 边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，
D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 ．
57．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形 是一张放在直角坐标系中的矩形纸片，O
为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， ， ，在 边上取一点M，将纸
片沿 翻折，使点B落在 边上的点N处．求M点的坐标是 ．58．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ，点 在边 上（不与点
A， 重合）， 于点 ， 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．
59．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，过点D作
于点E，连接 ，若 ， ，则菱形 的面积为 ．
60．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， 于点
E，F为 的中点，连接 ， ，下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中正确的结论有 ．
二次根式压轴题型
61．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知 为整数， ，则 的最小值是
．62．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习） ，则 ．
63．（2024八年级·全国·竞赛） ．
64．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设 ，则 的值为 ．
65．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．
勾股定理压轴题型
66．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中，
，则 的长为 ．
67．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ，以 为斜边在 上方
作等腰直角 ，连接 ，则 的最大值为 ．68．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在 中， ，点 是线段 上一
点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 的对应点是 ，当点 恰好落在 的边上时， 的长
是 ．
69．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图， 中， ， ， 、 分别是 、
边上的两个动点，满足 ，求线段 的取值范围 ．
70．（2023·浙江金华·三模）如图，在 中， 于点 ， 为 上一点，且 ，
，连接 ，若 为 的中点，则 ．
平行四边形压轴题型
71．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形 的边长为1，取 中点 ，取 中点 ，
连接 ， 与 交于点 ，连接 ，则 ．72．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 中， ，连接 ， 的平分
线交 于点E，在 上截取 ，连接 ，分别交 于点 ，点P是线段 上的动
点， 于点Q，连接 ，则 的最小值是 ．
73．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形 中， ， ， ，垂足为 ，
点 在菱形的边上，若 ，则 的长为 ．
74．（2023·山东济南·二模）如图，在矩形 中， ，点E是 边的中点，点F是线段
上任一点，连接 ，以 为直角边在 下方作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则
周长最小值为 ．
75．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，矩形 中， ， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是 ．
