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3.1.1 一元一次方程
1. 了解方程和等式的概念;理解方程的解和解方程的意义,并会检验方程的解
2. 了解一元一次方程的概念:掌握等式的性质,并能利用性质探究一元一次方程的解法
3. 通过对实际问题中数量关系的分析,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,逐步
形成数学的应用意识
知识点一 方程的概念
含有未知数的等式叫做方程.
方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数.
(1) 方程中的未知数可以是 ,也可以是其他字母,还可以含有多个未知数.例如:
, , 都是方程
(2) 如果等式 中 是未知数， 是已知数，那么我们把这个方程叫做
关于 的方程,例如:若 是未知数, 是已知数,则 就是关于 的方
程
即学即练 判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)4×5=3×7-1；
(2)2x+5 y=3；
(3)9-4x>0；
(4)x+5；
(5)x-10=3；
(6)5+6=11．知识点二 一元一次方程的概念
1.一元一次方程的概念
方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的
方程叫做一元一次方程,如 等.
2.一元一次方程具有如下特点:
(1)只含有一个未知数
(2)所含未知数的项的最高次数为1
(3)含未知数的项的系数不为0
(4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数
3.一元一次方程的标准形式
任何一个一元一次方程变形后总可以化为 的形式其中 是未知数，
是已知数,且 .我们把 叫做一元一次方程的标准形式
注意
判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概
念去判断.如 ,虽然 的次数出现了 2,但化简之后为
或 ,可知它是一元一次方程
即学即练1 下列各式中，① ；② ③ ；④ ；⑤
；⑥ ⑦ ⑧ 哪些是方程 ，哪些是一
元一次方程 ．（将序号写到横线上）
即学即练2 （2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知关于x的方
程 是一元一次方程，则 的值为（ ）
(m2-1)x2-2mx-2x+1=0 m
A．1 B．-1 C．1或-1 D．以上结果均不是知识点三 解方程与方程的解
1.解方程
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程
2.解
方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知
数的方程的解也可以叫做方程的根.)
3.判断一个数是不是方程解的方法
把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;
反之,则不是方程的解
4.方程的解和解方程的区别与联系
区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程
联系:解方程的目的是求出方程的解
即学即练 检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：
5x+1 3
(1) =x-1；(- ,3)
8 2
(2)2（y-2）-9（1- y）=3（4 y-1）．（-10,10）
知识点四 根据实际问题列一元一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解
决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节:
(1)审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,
如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系
(2)分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等
(3)建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为
方程,可直接或间接设未知数
即学即练 在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班的
一半多10棵．设乙班植树x棵．(1)列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数x的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
题型一 一元一次方程
1 1
例 1（2023 春·河南鹤壁·七年级统考期中）在方程3x- y=2，x+1=0， x= ，
2 2
1
x2-2x-3=0， =2中，一元一次方程的个数为（ ）
x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
举一反三1（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）下列各式是一元
一次方程的是（ ）
A．x-3=2 B．2x-3 y=5 C．2x-3<0 D．2x+6
1
举一反三2（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）请写出一个解为x= 的
3
一元一次方程： ．
题型二 从算式到方程
1
例2（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）若x=-3是方程 ax+2b=4的解，则代数式
3
6b-3a的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
举一反三1（2023春·河南开封·七年级统考期中）已知方程 是关于 的
(a-4)x|a|-3+2=0 x
一元一次方程，则a= ．
举一反三2（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）整式m2x-an的值随x取值的变化而变
化，下表是当x取不同值时m2x-an对应的值.则关于x的方程m2x-an=-4的解为（ ）
x … -1 0 2 3 …
m2x-an … -6 -4 0 2 …A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3
题型三 判断各式是否是方程
例3（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（ ）
A．x-3 B．1+2=3 C．x-2>1 D．x-1=2
举一反三1（2023春·吉林长春·七年级统考期中）下列各式中，属于方程的是（ ）
2
A．6+(-2)=4 B． x-2 C．7x>5 D．2x-1=5
5
举一反三2（2023春·福建泉州·七年级统考期中）下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a=0 B．2x+3 C．2x+1=5 D．2(x+1)=2x+2
题型四 列方程
例4（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有
几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？
若设人数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4
C．8(x-3)=7(x+4) D．8x+4=7x-3
举一反三1（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或
足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加
的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）
A．1.5x+x=43 B．1.5x+x+8=43
C．1.5(x-8)+x+8=43 D．1.5(x-8)+x=43
举一反三2（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考期中）如图，将边长为a+3的
正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝
隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
题型五 方程的解
例5（2023春·福建泉州·七年级校考期中）若x=5是关于x的方程2x-a=-5的解，则a的
值等于（ ）
A．20 B．15 C．4 D．3
举一反三1（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）方程2m+x=1和3x-1=2x-2有相同
的解，则m的值为 .
举一反三2（2023春·河南新乡·七年级校考期中）若关于x的一元一次方程ax+b=0的解
为x=1，则正确的是（ ）
A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．a与b互为倒数 D．a与b均为0
一、单选题
1.（2023春·福建泉州·七年级校考期中）给出下列式子①3x+8>2；②5x+2y=8；③
2 6x
x2+1=5；④a+b=b+a；⑤ x-4=1；⑥ =8-3x中，属于一元一次方程的有
3 5
（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·河南开封·七年级统考期中）关于x的方程2(x-1)-a=0的解是x=3，则a的
值为( )，
A．4 B．-4 C．5 D．-5
2x+1
3．（2023春·河南周口·七年级统考期中）若x=-1是关于x的方程 =2m-x的解，
2
则m 的值为（ ）
3 3 1 1
A． B．- C． D．-
4 4 4 4
二、填空题1.（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若 是关于x的一元一次方程，则a的
(a-1)x|a|=0
值为 ．
2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考期中）当a＝ 时，方程
a+1=x+2a的解是x=3．
3．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知方程 是关于x的一元一
(m-2)x|m|-1+3=0
次方程，则m的值是 ．
三、解答题
1.（2023春·上海宝山·六年级校考期中）关于x的方程(x+3)(x+a)=0有一个解是x=-1，
求1-a的值．
2．（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）若 是关于 的一元一次方程.
(a-1)x|a|-3=0 x
(1)求a的值；
(2)先化简，再求 的值.
4(a2+3a)-2(2a2-a+2)
3．（2023春·广东广州·七年级统考期末）已知代数式M=3(a-2b)-(b+2a).
(1)化简M；
(2)如果 是关于x的一元一次方程，求M的值.
(a+1)x2+4xb-2-3=0
