文档内容
必刷小题 4 函数与方程
一、单项选择题
1．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝2x＋ln x－4，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0，
所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上．
2．(2023·北京模拟)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－3；
当x>0时，令ex－2＝0，
解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
3．(2023·大庆模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(
)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由题意可知，函数f(x)＝2x－－a在(1,2)上单调递增，因为f(x)的一个零点在区间(1,2)
内，所以f(1)f(2)<0，
即<0，解得0时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增，
当00，
∴f(x)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375,1.437 5)，
即方程f(x)＝0有且仅有一个解，且在区间(1.375,1.437 5)内，
∵1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，
∴[1.375,1.437 5]内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
∵1.31∉[1.375,1.437 5]，1.38∈[1.375,1.437 5]，1.43∈[1.375，1.437 5]，1.44∉[1.375,1.437
5]，
∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.
10．(2023·济宁模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x＋ B．y＝x3＋x
C．y＝sin D．y＝cos
答案 BD
解析 对于A，设f(x)＝x＋，x≠0，
则f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
得y＝x＋为奇函数，令x＋＝0，方程无解，
即函数不存在零点，故A不符合；
对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R，
则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，
得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0，
得x＝0，即函数存在零点，故B符合；
对于C，设f(x)＝sin＝cos x，是R上的偶函数，故C不符合；
对于D，设f(x)＝cos＝－sin x，是R上的奇函数，且存在零点，故D符合．
11．(2024·湛江模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了
危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，
继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与
排气时间t(单位：分)之间满足函数关系y＝f(t)，其中＝R(R为常数)．若空气中一氧化碳浓
度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是( )
A．R＝
B．R＝－C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
答案 BD
解析 因为＝R，
所以可设f(t)＝a·eRt(a≠0)．
又
解得R＝－，a＝128，故B正确，A错误；
所以f(t)＝ ，
当f(t)≤0.5，即 ≤0.5时，得 ≤，
所以－t≤ln ，即t≥＝32，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误．
12．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，且x0，
2
f(3)＝3－4log 3<3－4log 2＝－1<0，
2 2
根据二分法可得，x＝2，
1
且f(2)＝2－4log 2＝－2<0，
2
所以零点所在的区间为[1,2]，
所以x＝.
2
14．(2023·潍坊模拟)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)＝________.
①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，＋∞)上单调递增；③f(x)有且仅有3个零点．
答案 x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)
解析 由f(x)是奇函数，不妨取f(0)＝0，且函数图象关于原点对称，
又f(x)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证f(x)在(2，＋∞)上单调递增，显然f(x)＝x(x＋1)(x－1)满足题意．
15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以
下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐
上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万
元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖
金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log x＋b；③f(x)＝k·x2＋
2
b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元．
答案 33
解析 根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高
而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上
升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b.
根据题意，得解得
所以f(x)＝x2－，
当x＝100时，f(x)＝×1002－＝33.
16．(2024·长春模拟)已知f(x)＝若y＝f(x)－a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是______．
答案 a＝0或a≥2
解析 由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函数y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图所示．
当a＝0时，满足条件，
当a≥2时，y＝a|x|与y＝f(x)有3个交点，
故a的取值范围是a＝0或a≥2.
