文档内容
4.2 直线、射线、线段
考点1、直线、射线、线段的比较
不同点
名称 联系 共同点
延伸性 端点数
线段 不能延伸 2 线段向一方延长就
射线 只能向一方延伸 1 成射线，向两方延 都是直的线
直线 可向两方无限延伸 无 长就成直线
考点2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB
考点3、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
考点4、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
（5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法
考点5、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
∵M是线段AB的中点
1
A M B
∴AM=BM= 2 AB（或者AB=2AM=2BM）
考点6、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
题型一：直线、线段、射线的定义1．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）下列图形和相应语言描述错误的是（ ）
A． 过一点 可以做无数条直线B． 点P在直线 外
C． 延长线段 ，使 D． 延长线段 至点C，使得
2．（2022·贵州·遵义市播州区新蓝学校七年级）下列语句中叙述正确的有（ ）
①画直线AB＝3cm；
②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；
③线段AB与线段BA是同一条线段；
④射线AB与射线BA是同一条射线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2022·浙江·七年级专题练习）下列说法：①射线 与射线 是同一条射线；②线段 是直线 的一部分；
③延长线段 到 ，使 ；④射线 与射线 的公共部分是线段 ．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：直线的交点问题
4．（2022·福建·福州教院二附中七年级期末） ， ， 为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有
( )个．
A． ， 或 B． ， ， 或 C． 或 D．以上都不对
5．（2022·全国·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最
多有多少个交点？（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·七年级专题练习）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的
值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
题型三·：线段的和差问题
7．（2022·河南省实验中学七年级期中）点C是线段 的三等分点，点D是线段 的中点．若线段 ，
则线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
9．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点 为线段 的中点，点 为 的中点，若 ，
，则线段 的长（ ）
A．7 B． C．6 D．5
题型四：两点之间线段最短问题
10．（2022·河南省实验中学七年级期中）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固
定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植
树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现
象有（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
11．（2022·山东·诸城市龙源学校七年级阶段练习）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一
根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，
就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解
释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
12．（2022·贵州·兴仁市屯脚镇屯脚中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．过直线外一点可以画无数条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
题型五：最短路径问题
13．（2022·河南郑州·七年级期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使
点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）A． B． C． D．
14．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图，河道 的同侧有 、 两地，现要铺设一条引水管道，从 地把河水引
向 、 两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·重庆文德中学校七年级）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小
区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5
人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员
工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
题型六：线段的中点问题
16．（2022·山东菏泽·七年级期中）如图，C是 的中点，D是 的中点，下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．17．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的
中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D是AB的中
点，点E是AC的中点，则DE的长为（ ）
A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm
题型七：直线、线段、射线的综合问题
19．（2022·湖北孝感·七年级期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，3与5，4与 ， 与3， 与
．并回答下列各题：
(1)数轴上表示4和 两点间的距离是 ，表示 和 两点间的距离是 ；
(2)若数轴上的点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．
①数轴上 、 两点间的距离可以表示为 （用含 的代数式表示）；
②如果数轴上 、 两点间的距离为 ，求 的值．
(3)直接写出代数式 的最小值为 ．
20．（2022·广东·丰顺县三友中学七年级阶段练习）【新知理解】如图①，点 在线段 上，图中的三条线段， 和 ．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点 是线段 的“巧点”．
(1)填空：线段的中点________这条线段的巧点；（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)【问题解决】如图②，点 和 在数轴上表示的数分别是 和40，点 是线段 的巧点，求点 在数轴上表
示的数．
(3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向点 匀速运动：动点
从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿 向点 匀速运动．点 ， 同时出发，当其中一点到达终点时，
两个点运动同时停止，设运动的时间为 秒，当 为何值时， ， ， 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点
的线段的巧点？并求出此时巧点在数轴上表示的数．（直接写出答案）．
21．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级期中）如图线段AB和线段CD都在数轴上，已知AB=2（单位长度），
（单位长度），点A在数轴上表示的数是a，点C在数轴上表示的数b．
(1)若 与 互为相反数，求此时点A与点C之间相距多少单位长度？
(2)在（1）条件下线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀
速运动．从开始算起，运动时间用t表示（单位：秒）
①数轴上A表示的数是 ；C表示的数是 ．（用含t的代数式表示），若点A与点C相距
8个单位长度，求t的值；
②已知点Q是BC的中点，点P是 的中点，在运动过程中，线段PQ长是不变化的，请说明理由，并指出 的
运动方向和速度．
一、单选题22．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照
线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
23．（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）下列语句中叙述正确的有（ ）
①连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；
②等角的余角相等；
③三条直线两两相交，必定有三个交点；
④若线段 ，则C是线段 的中点；
⑤在草坪中踩出一条两点间的距离，余角的性质，交点的定义，中点的定义，线段的性质，其蕴含的数学道理是
“两点确定一条直线”．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学七年级阶段练习）已知点 在线段 上，则下列条件中，不能确定
点 是线段 中点的是（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离；
②线段AB和线段BA表示同一条线段；
③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，
线段最短；
④若 ，则点C是AB的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上 ， ， ， 四点对应的数都是整数，且 为
线段 的中点， 为线段 的中点．若点 对应的整数是 ，点 对应的整数是 ，且 ，则数轴上
的原点是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点
27．（2022·山东潍坊·七年级期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段 到点
B．如图2所示，射线 不经过点
C．如图3所示，直线 和直线 相交于点
D．如图4所示，射线 和线段 没有交点
28．（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）如图，观察图形，下列说法正确的有（ ）个
①直线 和直线 是同一条直线，②射线 和射线 是同一条射线，③ ，④三条直线两两相
交时一定有三个交点
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2022·广东佛山·七年级期中）如图，线段 ，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），再
完成作答．
(1)延长线段 到点C，使 ，并直接取 、 的中点分别为点D、点E；
(2)若 ，求 的长．
30．（2022·江苏·七年级）如图，点C在线段AB上， ，点M、N分别是 的中点．
(1)求线段 的长；
(2)若C为线段 上任一点，满足 ，点M、N分别是 的中点，猜想： ．(3)若C在线段AB的延长线上，且满足 ，点M、N分别为 的中点，猜想：
．
一：选择题
31．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有
高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
32．（2022·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学七年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能
向上、向右爬行），爬行路线共有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
33．（2022·全国·七年级专题练习）下列关于线段中点的理解，正确的是( )
A．把线段分成两条线段的点就是线段的中点；
B．线段的中点就是线段中间任意一点；
C．线段中点一边的线段的长度是另一边线段的长度的二分之一；
D．线段中点到线段两端的距离相等；
34．（2022·湖南益阳·七年级期末）如图， ， 是直线 外两点，在 上求作一点 ，使 最小，其作法是
（ ）A．连接 并延长与 的交点为
B．连接 ，并作线段 的垂直平分线与 的交点为
C．过点 作 的垂线，垂线与 的交点为
D．过点 作 的垂线段 ， 是垂足，延长 到点 ，使 ，再连接 ，则 与 的交点为 ．
35．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操作：分
别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作∶分别取线段 和 的中点 ， ；第三次操作：分别
取线段 和 的中点 ， ；……连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
36．（2022·云南·楚雄市中山镇初级中学七年级期末）C为直线 上一点，且线段 ， ，则
的长度是 ________．
37．（2023·全国·七年级专题练习）数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是
__________，A、B两点的中点是__________．若a=2，b=-4，那么A、B两点的中点是__________．
38．（2022·河北石家庄·七年级期中）把一根绳子对折并拉直成线段 ，从点 处把 剪断，若 ，且
剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，则绳子的原长为________cm．
39．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级期中）在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知 ，点O是
线段 的中点，且 ，则 的长是___________ ．
40．（2022·江苏·七年级专题练习）阅读并填空：
问题：在一条直线上有 ， ， ， 四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以 为端点的线段有 ， ， 共3条，同样 以 为端点，以 为端
点，以 为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但 和 是同一条线段，即每一条线
段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有 个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角 内部画2条射线 ， ，则这个图形中总共有______个角；若在 内部
画 条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准
备______种不同的车票．
三、解答题
41．（2022·山东·巨野县教学研究中心七年级期中）已知点D为线段 的中点，点C在线段 上．
(1)如图1，若 ，求线段 的长；
(2)如图2，若 ，点E为 中点， ，求线段 的长．
42．（2022·全国·七年级专题练习）已知：点C在直线 上，点D、E分别是 的中点．
(1)当点C在线段 上时，如图（1），
①若 ，则 ；
②若 ，你能猜想出 的长度吗？写出你的猜想并说明理由；
(2)当点C在线段 的延长线上，且 时，你能猜想出 的长度吗？请在图（2）上画出图形，并
直接写出你的猜想结果．
43．（2022·广东·航城学校七年级期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段 的长度是线段
的长度的2倍，那么称点C为线段 的“幸运点”．
(1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是 和4，点C为线段 上一点，且点C为线段 的“幸运
点”，则点C表示的数为 ；(2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是 和 ，点C为数轴上一点，若点C为线段 的“幸运点”，
则点C表示的数为 ；
(3)如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向右匀速运
动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段 的“幸运点”．
44．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级期中）已知多项式 是关于x的二次多项式，
且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得 ，点M为 的中点，求 的长___________；
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速
度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（ ），点D为线段 的中点，点F为线段 的中点，点E
在线段GB上且 ，在G，H的运动过程中，求 的值___________．（用含t的代数式表示）1．C
【详解】解：C、延长线段 应改为反向延长线段 ，故选项说法错误，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了过一点可以做无数条直线、点和直线的位置关系、线段的概念等知识点，区分延长线段和反
向延长线段是解题的关键．
2．B
【分析】根据直线，射线，线段的定义即可得出答案．
【详解】解：∵直线无限长，
∴①说法错误，
∵连接两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，
∴②说法错误，
∵根据线段的性质，线段AB与线段BA是同一条线段，
∴③说法正确，
∵射线AB和射线BA的方向不同，顶点不同，
∴④说法错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念，关键是要牢记三种几何图形的特点．
3．B
【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法进行判断即可．
【详解】①射线 与射线 不是同一条射线；故①错误；
②线段 是直线 的一部分；故②正确；
③延长线段 到 ，则AC>AB；故③错误；
④射线 与射线 的公共部分是线段 ；故④正确；
综上：正确的有②④，共两个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟练地掌握相关知识是解题的关键．注意射线是
有方向的．
4．B
【分析】画出图形即可判断．
【详解】直线a、b、c的位置关系如下图：由上图可知：平面内三条直线的交点个数可以是0，1，2或者3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面内直线之间的位置关系，题目的难点在于穷尽所有可能情况，注意不要因遗漏造成
出错．
5．A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有
1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时
交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有 ．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…
∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…
+n-1个是解题的关键．
6．C
【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可．
【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】∵点C是线段 的三等分点，如图所示，当 时，
∴
∵点D是线段 的中点
∴
∴ ；
如图所示，当 时，
∴
∵点D是线段 的中点
∴
∴ ；
综上所述，线段 的长为 或 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
8．C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出 、 的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，
即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵ cm，
又∵ 的中点为 ，
∴ ，
∵ cm，
∵ 的中点为 ，
∴ ，
∴ ．故选：C
【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．
9．C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝ AE，
∴AE＋ AE＝8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD＝ BD＝ ×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解
是解决本题的关键．
10．A
【分析】①④根据“两点确定一条直线”解释，②③根据“两点之间，线段最短”解释．
【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
②两点之间，线段最短，减少了距离，符合题意；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，符合题意；
④属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段和直线的性质．解题的关键是掌握两点之间，线段最短；两点确定一条直线．
11．C
【分析】本题中的四种现象依据的是“两点之间，线段最短”与“两点确定一条直线”，据此进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，①可以用“两点确定一条直线”解释；②可以用“两点之间，线段最短”解释；③可
以用“两点确定一条直线”解释；④可以用“两点之间，线段最短”解释；
即②④符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是线段直线的定义与性质，重点在于正确确定现象的本质．
12．B
【分析】根据线段的性质，垂线段的性质、垂线的定义及平行公理可进行求解．【详解】解：A、两点之间，线段最短，故原说法错误；
B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确；
C、在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原说法错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查线段的性质，垂线段的性质、垂线的定义及平行公理，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
13．B
【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的
对称点亦可）；
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直
线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键．
14．D
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的
连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线
段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
15．B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)，
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)，
因为7000＜7050＜8800＜11900，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．16．C
【分析】根据C是 的中点，D是 的中点，得到 ，结合线段的和与差，计算
判断选择即可．
【详解】解： C是 的中点，D是 的中点，
，
A、 ，此选项正确，故不符合题意；
B、 ，此选项正确，故不符合题意；
C、 ，此选项错误，故符合题意；
D、 ，此选项正确，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是掌握线段的中点把线段分成相等的两条线段．
17．C
【分析】根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中
点，可知BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN，PQ=AP-AQ= AN- AM= （AN-AM）= MN，即可得出答案．
【详解】解：∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴AC=2AN，AB=2AM，
∴BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN，
∵P、Q分别为AN，AM的中点，
∴ ，
∴PQ=AP-AQ= AN- AM= （AN-AM）= MN，
∴BC：PQ=4
故选C．
【点睛】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关
系是解题的关键．
18．B
【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．
【详解】解：∵AB＝4 cm，点D是AB的中点，
∴AD＝ AB＝2cm．
∵AC＝11cm，点E是AC的中点，∴AE＝ AC＝5.5 cm．
∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm
故选：B．
【点睛】题目主要考查线段中点的计算，找准线段间的数量关系是解题关键．
19．(1)7，3
(2)① ；② 或
(3)7
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得出结果；
（2）①根据两点间的距离公式即可得出结果；②解绝对值方程即可得出结果；
（3）由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当 时， 有最小值，即可得出结果．
【详解】（1）解： ；
故答案为：7；3；
（2） 解：∵数轴上的点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
∴数轴上 、 两点间的距离 ，
故答案为： ；
解：∵ ，
∴
当 时， ；
当 时， ；
∴ 或 ；
（3）解：∵ 表示 到 的距离与 到 的距离和，
∴只有 在 与 之间，即 时， 的值最小，
∴ ，
故答案为：7．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值方程等知识，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
20．(1)是
(2) 或 或
(3)t=12或 或 ，“巧点” 表示的数为： 或 或 ；“巧点” 表示的数为： 或 或
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断便可；
（2）设 点表示的数为 ，再根据新定义列出合适的方程便可；
（3）先用 的代数式表示出线段 ， ， ，再根据新定义列出方程，得出合适的解便可．
【详解】（1）解：因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）解：设 点表示的数为 ，则 ， ， ，
根据“巧点”的定义可知：
①当 时，有 ，
解得， ；
②当 时，有 ，
解得， ；
③当 时，有 ，
解得， ．
综上，点 表示的数为 或 或 ；
（3）解：由题意得， ， ， ，
．若 时，点 为 的“巧点”，有
①当 时， ，
解得， ，
，
点 表示的数为
②当 时， ，
解得， ；
，
点 表示的数为③当 时， ，
解得， ；
，
点 表示的数为
综上，“巧点” 表示的数为： 或 或 ；
．若 时，点 为 的“巧点”，有
①当 时， ，
解得， ；
，
点 表示的数为 ，
②当 时， ，
解得， ；
，
点 表示的数为 ，
③当 时， ，
解得， ．
，
点 表示的数为 ，
综上，“巧点” 表示的数为： 或 或 ．
故，“巧点” 表示的数为： 或 或 ；“巧点” 表示的数为： 或 或 ．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查了数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一
次方程的应用，关键是根据新定义列出方程．是现在的考试新动向，主要训练学生自学能力，运用新知识的能力．
21．(1)A、C相距为24单位长度
(2)①A，C两点表示的数分别为 行驶2秒或4秒，A、C相距8个单位长度；②理由见解析， 以每
秒2个单位速度向右运动
【分析】（1）根据相反数的意义可以得到a与b的值，再根据两点间的距离公式可以得到解答；
（2）①由题意可以得到A、C所表示的数，然后根据两点间的距离公式列出关于t的方程，可以得到解答；②分别用t表示出P、Q的坐标，再求出 的长度即可得到解答．
【详解】（1）解：∵ 与 互为相反数．
∴ ，
∴ 解得
∴此时A与C之间相距16-（-8）=24（单位长度）．
答：A、C相距为24单位长度．
（2）解：①设时间为t秒，则A，C两点表示的数分别为
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或4．
答：行驶2秒或4秒，A、C相距8个单位长度；
②设运动时间为t 秒时
A点对应数 ： ． B点对应数 ，C点对应数 ，D点对应数 ，
∵ ， ，
∴Q点对应数 ： ． P点对应数 ： ．
，
此时 以每秒2个单位速度向右运动．
【点睛】本题考查数轴的应用，熟练掌握数轴的意义、两点间的距离公式、一元一次方程的应用，绝对值的意义
是解题关键．
22．C
【分析】由直线公理可以直接得出答案．
【详解】这样做的依据是：两点确定一条直线．
故选C
【点睛】本题考查直线公理，对公理的理解是解题的关键．
23．B
【分析】根据两点间的距离，余角的性质，交点的定义，中点的定义，线段的性质逐项分析即可．
【详解】解：①连接点A与点B的线段的长度，叫做A、B两点之间的距离，故原说法错误；
②等角的余角相等，正确；
③三条直线两两相交，有三个或一个交点，故原说法错误；④当点C在线段 上时，若线段 ，则C是线段 的中点，故原说法错误；
⑤在草坪中踩出一条“捷径”，其蕴含的数学道理是“两点之间线段最短” ，故原说法错误．
故选B．
【点睛】本题考查了两点间的距离，余角的性质，交点的定义，中点的定义，以及线段的性质，熟练掌握各知识
点是解答本题的关键．
24．D
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案即可．
【详解】解：A、B、C均能确定点C是线段 的中点，不符合题意
D选项中不论点 在线段 的什么位置都满足 ，
所以点 不一定是线段 的中点，符合题意，
故选D．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，正确理解线段中点的定义及线段的和的关系是解题的关键．
25．A
【分析】根据直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念判断即可．
【详解】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意；
线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意；
木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条
直线，故③不符合题意；
若 ，点 可能在 外，则点 不一定是 的中点，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念，正确理解定义是解题的关键．
26．D
【分析】由已知条件可知 ，因为点 对应的整数是 ，点 对应的整数是 ，且 ，依此可得
到数轴上的原点．
【详解】解：∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∵点 对应的整数是 ，点 对应的整数是 ，且 ，
∴数轴上的原点是 ．
故选：D．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有
利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
27．C
【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出答案．
【详解】解：A、如图1所示，延长线段 到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B、如图2所示，应该为射线 不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；C、如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D、如图4所示，因为射线 可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关图形画法是解题的关键．
28．C
【分析】根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据线段的性质对③进行判断；
通过分类讨论对④进行判断．
【详解】解：①直线 和直线 是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；
②射线 和射线 是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；
③ ，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；
④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．
所以共有3个正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段相关知识，掌握线段、射线、直线的表示方法是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)3cm
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出 和 的长，相加即可．
【详解】（1）解：如下图，
以点A为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线与点C， ，
以点A为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线与点E， ，
以点B为圆心， 长为半径画弧，交 与点D， ，
点C、点D、点E为所求；
（2） ，
，
是 的中点，
，
是 的中点，
，．
【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的中点的含义
与线段的和差关系”是解题的关键．
30．(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根据“点M、N分别是 的中点”，先求出 的长度，再利用 即可求
出MN的长度即可；
（2）当C为线段 上一点，且M，N分别是 的中点，则存在 ；
（3）点在 的延长线上时，根据M、N分别为 的中点，即可求出 的长度．
【详解】（1）解：∵ ，点M是 的中点，
∴ ，
∵ ，点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度为5 ；
（2）解：∵ ，点M是 的中点，
∴ ，
∵ ，点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴线段MN的长度为 ，
故答案为： ；
（3）解：当点C在线段 的延长线时，如图：则 ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∵点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．分情况讨论是解题的关键．
31．A
【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．
【详解】解：如图，图中有5个站点．
往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有 （种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为 （种）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查线段，熟练掌握清晰的逻辑思维以及线段的定义是解决本题的关键．
32．A
【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解．
【详解】解：如图，
根据规则可得：
一共有3种不同的走法．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键．
33．D
【分析】根据线段中点的定义逐项分析即可．
【详解】A．把线段分成两条相等线段的点就是线段的中点，故原说法错误；
B．线段的中点就是线段中间把线段分成两条相等线段的点，故原说法错误；
C．线段中点一边的线段的长度是该线段线段长度的二分之一，故原说法错误；D．线段中点到线段两端的距离相等，正确；
故选D．
【点睛】题考查了线段中点的定义，如果点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，那么点C叫做线段AB的
中点，这时AC=BC= ，或AB=2AC=2BC．
34．D
【分析】利用两点之间线段最短求 最短时 的位置，则需要作点A关于直线 的对称点 ，再连接对称
点及B点即可
【详解】通过轴对称的性质作点A的对称点 ，再连接 ，利用两点之间线段最短的原理得到 与 的交点
为
故选D
【点睛】本题考查轴对称的性质在最值问题中的应用，理解将军饮马模型并运用轴对称解题是关键．
35．D
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出 的长度，
找到 的规律即可求出 的值．
【详解】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难．
36． 或
【分析】分A、C在点B异侧和A、C在点B同侧两种情况，分别作出图形，根据线段的和差计算即可．
【详解】解：如图1，当A、C在点B异侧时， ，
如图2，当点A、C在点B同侧时， ，
即 的长度是 或 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了线段的和差计算，注意分类讨论思想的应用．
37． a-b -1
【分析】根据数轴上两点之间的距离、中点公式进行计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∴A、B两点的距离是： ，
∴A、B两点的中点是： ，
∴若a=2，b= 4，那么A、B两点的中点是 ；
故答案为： ， ， ；
【点睛】本题考查了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是正确理解数轴的定义进行计算．
38． 或
【分析】设 ，则 ，分类讨论 ， 是绳子的对折点，根据 的关系，列出方程，即可．
【详解】可设 ，则 ，
①当点 是绳子的对折点时，三段长为 ， ， ，
∵剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴绳子的原长为 ；
②当点 是绳子的对折点时，
三段长为 ， ， ，
∵剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴绳子的原长为 ．
综上所述，绳子的原长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是分类讨论对折点，理解题意，列方程．
39．3或9##9或3【分析】分点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况，根据线段中点的定义、线段的和差进行计算即可得．
【详解】解：①如图，当点 在点 的左侧时，
， ，
，
点 是线段 的中点，
，
；
②如图，当点 在点 的右侧时，
， ，
，
点 是线段 的中点，
，
；
综上， 的长是 或 ，
故答案为：3或9．
【点睛】本题考查了线段的中点、以及线段的和差，正确分两种情况讨论是解题关键．
40． 6 10 6 20
【分析】问题：根据线段的定义以及阅读部分提供的思路解答；
知识迁移：结合问题部分的解题思路，再根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则
； ； ；
知识迁移：在 内部画2条射线 ，则图中有 个不同的角，在 内部画n条射线
，则图中有
个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数，
，需要车票的种数： （种）．
故答案为：6 ，10， ，6， ，20；
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，角的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，
要特别注意．
41．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用线段的和差关系可以先求出 的长，再利用中点的定义求出 ，即可求出 的长；
（2）根据线段中点的定义结合已知求出 ，进而可得 和 的长，然后根据 求出 即可解决问
题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵点D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点E为 中点，
∴ ，
∵点D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查线段的和差计算，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键．
42．(1)①4；② a(2) （n﹣m）
【分析】（1）①由中点的性质可得 ，再根据 即
可解答；②与①同理可得 ；
（2）根据中点的性质得 ，结合图形依据 ，然后
将 代入计算即可解答．
【详解】（1）解：（1）①∵点D、E分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：4．
②∵点D、E分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：画图如图2所示，DE （n﹣m），理由如下：
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义等知识点，正确表示出各线段的长是解答本题的关键．
43．(1)
(2) 或2
(3) 或 时，点P是线段 的“幸运点”【分析】（1）根据点C为线段 上一点，且点C为线段 的“幸运点”，A，B两点所表示的数分别是 ，
4，可得 ， ，即得点C表示的数为2；
（2）由点C为线段 的“幸运点”，得 ，分两种情况：当C在线段 上时，C表示的数为 ，当C
在B右侧时，点C表示的数为2；
（3）P表示的数是 ，可列方程 ，即可解得答案．
【详解】（1）解： 点C为线段 上一点，且点C为线段 的“幸运点”，A，B两点所表示的数分别是 ，
4，
， ，
， ，
点C表示的数为 ，
故答案为：2；
（2）解： 点C为线段 的“幸运点”，
，
当C在线段 上时， ，
， ，
点C表示的数为 ，
当C在B右侧时， ，
， ，
点C表示的数为 ，
故答案为： 或2；
（3）解：由已知得：P表示的数是 ，
， ，
点P是线段 的“幸运点”，
，
解得 或 ，
或 时，点P是线段 的“幸运点”．
【点睛】本题考查一次方程的应用，绝对值的性质，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据已知分类列方程．
44．(1) ；20；30
(2)3或75
(3)【分析】（1）由题意直接求解即可；
（2）注意分情况讨论，①当点C在 之间时，如图1，②当点C在B右侧时，如图2，分别计算 和 的长，
相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为： ，点Ｈ表示的数为： ，根据
中点的定义得点D和点F表示的数，由 得 的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得 和
的长，相加可得最后的值．
【详解】（1）∵多项式 是关于x的二次多项式，
∴ ，
∴ ；
∵二次项系数为b，
∴ ；
∴线段 ．
（2）分两种情况：
①当点C在 之间时，如图1，
∵ ， ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∴ ；
②当点C在B右侧时，如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长是3或75．（3）由题意得，点G表示得数为： ，点H表示的数为： ，
∵ ， ，
∴点G在线段 之间，
∵D为 中点，
∴点D表示的数为： ，
∵F是 中点，
∴点F表示的数为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点E表示的数为： ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
