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必刷小题 4 函数与方程
一、单项选择题
1．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝2x＋ln x－4，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0，
所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上．
2．(2023·北京模拟)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－3；
当x>0时，令ex－2＝0，
解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
3．(2023·大庆模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(
)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由题意可知，函数f(x)＝2x－－a在(1,2)上单调递增，因为f(x)的一个零点在区间(1,2)
内，所以f(1)f(2)<0，
即<0，解得0时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增，
当00，
2f(3)＝3－4log 3<3－4log 2＝－1<0，
2 2
根据二分法可得，x＝2，
1
且f(2)＝2－4log 2＝－2<0，
2
所以零点所在的区间为[1,2]，
所以x＝.
2
14．(2023·潍坊模拟)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)＝________.
①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，＋∞)上单调递增；③f(x)有且仅有3个零点．
答案 x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)
解析 由f(x)是奇函数，不妨取f(0)＝0，且函数图象关于原点对称，
又f(x)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证f(x)在(2，＋∞)上单调递增，显然f(x)＝x(x＋1)(x－1)满足题意．
15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以
下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐
上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万
元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖
金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log x＋b；③f(x)＝k·x2＋
2
b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元．
答案 33
解析 根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高
而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上
升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b.
根据题意，得
解得
所以f(x)＝x2－，
当x＝100时，f(x)＝×1002－＝33.
16．(2024·长春模拟)已知f(x)＝若y＝f(x)－a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是______．
答案 {0}∪[2，＋∞)
解析 由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函数y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图所示．
当a＝0时，满足条件，
当a≥2时，y＝a|x|与y＝f(x)有3个交点，
故a的取值范围是{0}∪[2，＋∞)．
