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第六章 数列（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．正整数 的倒数的和 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求
和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时， .其中 称为欧拉-马歇罗尼常数，
，至今为止都不确定 是有理数还是无理数.设 表示不超过 的最大整数，用上式
计算 的值为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知实数 构成公差为d的等差数列，若 ， ，则d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，则数列 的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．7．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依
次构成一个数列 的前4项. 记 ，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
8．给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为函数 的牛顿数列.已知 为
的牛顿数列， ，且 ，数列 的前 项和为 ．则
（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列 的前n项和为 ，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， ， ， 是等差数列
B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列
D．当p，q均为正整数且 时，
10．记数列 的前 项和为 为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在常数A、B，使数列 是等比数列 D．对任意常数A、B，数列 都是等差数列
11．设等比数列 前 项积为 ，公比为 ．若 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）A． B．
C．当 时， 取最大值 D．使 成立的最大自然数 是4046
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知在递增的等比数列 中， ， ，则数列 的通项公式为 ．
13．设数列 的通项公式为 ，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数
列 ，则 被7除所得的余数是 .
14．已知数表 ， ，
，其中 分别表示 ， ， 中第
行第 列的数．若 ，则称 是 ， 的生成数表．若数表
， ，且 是 的生成数表，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
16．（15分）
已知数列 的首项 ，且满足 （ ）．
(1)求证：数列 为等比数列；(2)记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ．
17．（15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
18．（17分）
已知 是等差数列，公差 ， ，且 是 与 的等比中项.
(1)求 的通项公式
(2)数列 满足 ，且 .
（ⅰ）求 的前n项和 .
（ⅱ）是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等差数列，若存在，求出m，n的值；
若不存在，请说明理由.
19．（17分）
如果n项有穷数列 满足 ， ，…， ，即 ，则称有穷数列
为“对称数列”.
(1)设数列 是项数为7的“对称数列”，其中 成等差数列，且 ，依次写出数
列 的每一项；
(2)设数列 是项数为 ( 且 )的“对称数列”，且满足 ，记 为数列
的前 项和.
①若 ， ，…， 构成单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值?②若 ，且 ，求 的最小值.
