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第 5 章 相交线与平行线
5.3.1平行线的性质
一、温故知新（导）
1、根据右图，填空：
①如果∠1＝∠C，那么 AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行 ）
② 如果∠1＝∠B ，那么 CE ∥ BD （内错角相等，两直线平行）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，那么 CE ∥ BD （同旁内角互补，两直线平行）
2、通过上题可知平行线的判定方法是什么？
1.同位角相等，两直线平行.
2.内错角相等，两直线平行.
3.同旁内角互补，两直线平行.
3、反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?这就是今天我们要学的
内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1. 掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补；
2. 能够根据平行线的性质进行简单的推理.
学习重难点
重点：理解平行线的性质；
难点：能运用平行线的性质进行推理证明.
二、自我挑战（思）
1、画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的
度数，把结果填入下表：角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数 110° 70° 110° 70°
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数 110° 70° 110° 70°
（1）∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想：
每组同位角度数相等
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.
（2）再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？如果两直线不平行，
上述结论还成立吗？
成立 不成立
归纳：平行线的性质1： 两条平行线 被第三条直线截得的同位角相等.
简称：两直线平行，同位角相等.
2、你能由性质1，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角、同旁内角之间有什么关系吗？
（1）如图，直线a//b ，你能推出∠1和∠2之间有什么关系吗？
分析：
∵a//b(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
平行线的性质2
两条平行线被第三条直线截得的内错角相等.
简称：两直线平行， 内错角 相等.
（2）如图，直线a//b ，你能推出∠2和∠4之间有什么关系吗？
分析：∵a//b(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
∵∠3+∠4=180o(邻补角的定义)
∴∠2+∠4=180o(等量代换)
平行线的性质3：两条平行线被第三条直线截得的 同旁内角 互补.
简称：两直线平行， 同旁内角 互补.
三、互动质疑（议、展）
1、平行线的性质有哪些？
性质1 两直线平行，同位角相等
性质2 两直线平行，内错角相等
性质3 两直线平行，同旁内角互补
2、实例：
例1：如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A100°，∠B 115°，梯形的另外两个角分别是多
少度？
解：∵AB∥CD
∴∠A+∠D180°∠B+∠C180°
(两直线平行，同旁内角互补)
又∠A100°，∠B 115°
∴∠D80°∠C 65°
梯形的另外两个角分别是80°、65°.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b,∠1=55°，则∠2=（ ）
A．125° B．55° C．115° D．45°
1、解：如图：
∵a∥b,∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∴∠2=180°-∠3=180°-55°=125°．
故选：A．2、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1=（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2、解：如图，
∵∠2=40°，
∴∠3=90°-∠2=50°，
∴∠1=50°．
故选：B．
3、已知如图：∠1=∠2，∠3=65°，则∠4的度数为（ ）
A．70° B．50° C．55° D．65°
3、解：∵∠1=∠2，
∴a∥b,
∴∠3=∠4，
∵∠3=65°，
∴∠4=65°，
故选：D．
4、如图，直线EF∥AC，∠ABD的顶点B在直线EF上，若∠CAB=40°，AB⊥BD，则∠DBE
的度数为 ．
4、解：∵EF∥AC，
∴∠ABF=∠CAB=40°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBF=∠ABD-∠ABF=90°-40°=50°，
∵∠EBD+∠DBF=180°，
∴∠EBD=130°．故答案为：130°．
5、如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，使点C的对应点C'，恰好与点A重合，若
∠1=70°，则∠AEB= ．
5、解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠FEC，
∵长方形纸条ABCD沿EF折叠，使点C的对应点C'，
∴∠FEA=∠FEC，
∵∠1=70°，
∴∠FEA=∠FEC=∠1=70°，
∴∠AEB=180°-∠FEA-∠FEC=180°-70°-70°=40°．
故答案为：40°．
6、如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E．
（1）求证：∠1=∠3；
（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA=28°，求∠3的度数．
6、（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=28°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=28°+90°=118°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-118°=62°，
∵BC平分∠ABD，
1 1
∴∠1=∠2= ∠ABD= ×62°=31°，
2 2
∵∠1=∠3，
∴∠3=31°．
六、用
（一）必做题1、如图，点E在AB的延长线上，若CD∥AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠4
C．∠C=∠CBE D．∠A+∠ADC=180°
1、解：∵CD∥AE（已知），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），故 B正确，此选项不符合题意；
∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等），故 C正确，此选项不符合题意；
∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），故 D正确，此选项不符合题意；
∠1=∠3只能由AD∥BC得到，故A不正确，此选项符合题意；
故选：A．
2、如图，直线l ∥l 被直线l 所截，∠1=∠2=37°，∠P=90°，则∠3的度数为（ ）
1 2 3
A．37° B．53° C．55° D．63°
2、解：如图：
∵直线l ∥l 被直线l 所截，∠1=∠2=37°，
1 2 3
∴∠CAB=180°-∠1-∠2=180°-37°-37°=106°，
∵△ABP中，∠2=37°，∠P=90°，
∴∠PAB=90°-37°=53°，
∴∠3=∠CAB-∠PAB=106°-53°=53°．
故选：B．
3、一块直角三角板按照如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=34°，则∠2的度数为
（ ）A．34° B．56° C．62° D．68°
3、解：如图，过点E作直线MN∥AD，
由题意可知，四边形ABCD为长方形，△EFG为直角三角形，
∴AD∥BC，∠FEG=90°，
∵MN∥AD，
∴AD∥MN∥BC，
∴∠1=∠NEG=34°，
∴∠FEN=∠FEG-∠NEG=90°-34°=56°，
∵MN∥AD，
∴∠2=∠FEN=56°．
故选：B．
4、如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=130°，则∠2= °．
4、解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠4=180°．
∴∠4=50°．
由图形折叠可知∠2=∠3，
∵∠4+∠2+∠3=180°，
∴∠2=65°．
故答案为：65．
5、如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D=∠F；
③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是 （只填序号）5、解：∵∠B=∠AGH，
∴GH∥BC，即①正确；
∴∠1=∠MGH，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MGH，
∴DE∥GF，
∵GF⊥AB，
∴DE⊥AB，即④正确；
由已知条件无法得到∠D=∠F，HE平分∠AHG，故都不一定成立；
故答案为：①④．
6、如图，已知AD∥BC，BE∥DF，DC⊥BF于点C，∠1=55°，求∠2的度数．
6、解：∵BE∥DF，
∴∠EDF=∠1=45°，
又∵DC⊥BF，
∴DC⊥AD，
∴∠EDC=90°，
∴∠2=∠EDC-∠EDF=90°-55°=35°．
（二）选做题
7、如图，已知DE∥AB，∠1=∠2．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠1=25°，∠C=30°，求∠CDE 的度数．
7、（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2．
∴∠2=∠3，∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵∠1=∠2，∠1=25°，
∴∠2=25°，
∴∠DEC=∠1+∠2=25°+25°=50°，
∵∠C=30°，
∴∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-50°-30°=100°．
8、如图，已知EF∥CD，∠1+∠2=180°．
（1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A=40°，求∠ACB的度数．
8、（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠ECD，
∴GD∥AC；
（2）解：由（1）得：GD∥AC，
∵∠A=40°，
∴∠BDG=∠A=40°，∠ACD=∠2，
∵DG平分∠BDC，
∴∠2=∠BDG=40°，
∴∠ACD=∠2=40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=80°．
