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第 6 章 实数
第2课时6.1平方根
一、温故知新（导）
1、什么是算术平方根？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
2、求下列各式的值.
（1）√16的算术平方根是 2 ；
（2）√4的算术平方根是 √2 ；
你知道√2有多大吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会用计算器求一个数的算术平方根；
2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值；
3.理解无限不循环小数的概念.
学习重难点
重点：夹逼法及估计一个(无理)数的大小.
难点：会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.
二、自我挑战（思）
1、能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
图6.1-1
如图6.1-1，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面
积为 2 dm2 的大正方形.
（1）你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x = √2.
所以大正方形的边长是 √2 dm.
（2）小正方形的对角线的长是多少呢？
解： x =√2
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长√2.
2、 有多大呢？√2
因为 12=1，22=4，所以 1 ＜ ＜ 2 ；
√2
因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 1. 4 ＜ ＜ 1. 5 ；
√2
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 1.4 1 ＜ ＜ 1.4 2 ；
√2
因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 1.41 4 ＜ ＜ 1.41 5 ；
……
√2
如此下去，可以得到 的更精确的近似值.事实上， =1.414213562373…，它是一个 无限不
√2
循环 小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.)
√3 √5 √7
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如 ， ， 等)都是无限不循环小数.
3、在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平
方根(或其近似值).
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
三、互动质疑（议、展）
1、如何估计一个正数算术平方根的大小？
对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来
估计这个被开方数的算术平方根的大小.
2、你能估算出√5的近似值吗(精确到0.01)？
解：∵ 22=4，32=9，∴ 2<√5<3.
∵ 2.2²=4.84，2.3²=5.29，
∴ 2.2<√5<2.3.
∵ 2.23²=4. 9729，2.24²=5. 0176，
∴ 2.23 <√5<2.24.
∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，
∴ 2.236<√5<2.237，
∴ √5≈2.24.
3、实例：
例2.用计算器求下列各式的值:
√3136 √2
(1) (2) (精确到0.001)√ √3136
解：(1)依次按键 3136=，显示：56，∴ =56
√ √2
(2)依次按键 2=，显示：1.4142135623731，∴ ≈1.414
√2
注：计算器上显示的1.4142135623731是 的近似值.
4、下面我们来看引言中提出的问题：
由 =gR， =2gR，得 = ， = ，其中g 9.8，R 6.4 .
v2 v2 v √gR v √2gR ≈ ≈ ×106
1 2 1 2
用计算器求v 和v（用科学计数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
1 2
7.9 ，
v =√9.8×6.4×106≈ ×103
1
.
v =√2×9.8×6.4×106≈1.1×104
2
因此，第一宇宙速度v 大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v 大约是1.1×104m/s.
1 2
5、用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？
规律：
被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 1 位;
被开方数的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 1 位.
√3 √0.03
6、 用计算器计算 ≈ 1.73 2 (精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说 ≈
√300 √30000
0.173 2 ， ≈ 17.3 2 ， ≈ 173. 2 的近似值.
√3 √30
你能根据 的值说出 是多少吗？
不能
例3 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方
形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要
求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为 3x cm ，宽为 2x cm，根据边长与面积的关系得
3x ∙ 2x = 300，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = √50 ，
因此长方形纸片的长为 3√50 cm .
∵50 > 49，∴√50 > 7.
由上可知 3 √50 > 21，
则长方形纸片的长应该大于 21 cm.
∵ √400 = 20，∴正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A． B． C． D．
1、解：根据计算器的相关知识，可知答案为 A．
故选：A．
2、估计√20的值（ ）
A．在4到5之间 B．在3到4之间
C．在2到3之间 D．在5到6之间
2、解：∵16＜20＜25，
∴4＜√20＜5，
即√20的值在4到5之间，
故选：A．
3、用计算器求√3.489结果为（保留四个有效数字）（ ）
A．12.17 B．±1.868 C．1.868 D．-1.868
3、解：利用计算器开方求√3.489=1.868．
故选：C．
4、比较下列两实数的大小：-2 -√5．
4、解：∵2=√4＜√5，
∴-2＞-√5．故答案为：＞．5、若利用计算器求得√6.619≈2.573，√66.19≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是
．
5、解：被开方数每扩大为原来的 100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的 10倍，
∵√66.19≈8.136，
∴√6619≈81.36．
故答案为：81.36．
6、已知a是√10的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2．
6、解：∵9＜10＜16，
∴3＜√10＜4，
∴√10的整数部是3，即a=3，则b=√10-3．
∴a2+（b+3）2=32+（√10-3+3）2=9+10=19．
六、用
（一）必做题
1、利用计算器求√0.059的值，正确的按键顺序为（ ）
A． B．
C． D．
1、解：采用的科学计算器计算√0.059，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
2、利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
2、解：∵√7≈2.646，
∴与√7最接近的是2.6，
故选：B．
3、利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… √0.0625√0.625 √6.25 √62.5 √625 √6250 √62500 …
0.790
… 0.25 2.5 7.906 25 79.06 250 …
6
根据以上规律，若√1.69=1.30，√16.9≈4.11，则√1690=（ ）
A．13.0 B．130 C．41.1 D．4113、解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小
数点相应的向相同方向移动一位．
∵16.9×100=1690，√16.9≈4.11，
∴√1690=41.1．
故选：C．
√5+1 1
4、比较大小： 1 ．（填“＞”，“=”或“＜”）
2 2
4、解：∵2＜√5＜3，
∴√5+1＞3，
√5+1 1
∴ ＞1 ．
2 2
故答案为：＞．
5、利用计算器，得√0.05≈0.2236，√0.5≈0.7071，√5≈2.236，√50≈7.071，按此规律，可得
√500的值约为 ．
5、解：由题意知，被开方数每扩大为原来的 100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的 10
倍，
∵√5≈2.236，
∴√500≈22.36，
故答案为：22.36．
6、数学课上老师要同学们用一块面积为 900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积
为800cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为 5：4．小红不知道能否裁得出来，正在发愁．小
华说：“别愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗？
小红能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
6、解：∵正方形纸片的面积为 900cm2，
∴正方形的边长为30cm,
设长方形纸片的长和宽分别为：5a、4a,
∴5a•4a=800，即a2=40，
∴a＝√40，
∴5a＝5√40＞30，
4a＝4×√40，
∴不能裁剪出符合要求的纸片．
（二）选做题
7、（1）用计算器计算：√11−2= 3
√1111−22= 33
√111111−222= 333
√11111111−2222= 3333
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：√1111111111−22222= 33333 ，并通过计算器验证你
的猜想．
7、解：（1）√11−2= 3
√1111−22= 33
√111111−222= 333√11111111−2222= 3333 故答案为：3，33，333，3333；
（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是 2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字
3；
（3）试运用发现的规律可得：√1111111111−22222= 33333．
故答案为：33333．
√19−2 2
8、数学课上，老师出了一道题：比较 与 的大小．
3 3
小华的方法是：
√19−2 2
因为√19＞4，所以√19-2 ＞ 2，所以 ＞ （填“＞”或“＜”）；
3 3
√19−2 2 √19−4 √19−4
小英的方法是： − = ，因为19＞42=16，所以√19-4 ＞ 0，所以
3 3 3 3
√19−2 2
＞ 0，所以 ＞ （填“＞”或“＜”）．
3 3
（1）根据上述材料填空；
√6−1 1
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较 与 的大小．
4 2
解：（1）小华的方法是：
√19−2 2
因为√19＞4，所以√19-2＞2，所以 ＞ ，
3 3
√19−2 2 √19−4 √19−4
小英的方法是： − = ，因为19＞42=16，所以√19-4＞0，所以 ＞0，
3 3 3 3
√19−2 2
所以 ＞ ，故答案为：＞，＞，＞，＞，＞；
3 3
（2）如果选择小华的方法，
∵√6＜3，
∴√6−1＜2，
√6−1 1
∴ ＜ ，
4 2
如果选择小英的方法，
√6−1 1 √6−1−2 √6−3
− = = ，
4 2 4 4
∵6＜9，
∴√6＜3，
∴√6-3＜0，
√6−3
∴ ＜0，
4
√6−1 1
∴ ＜ ．
4 2
