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第 6 章 实数
第2课时6.1平方根
一、温故知新（导）
1、什么是算术平方根？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
2、求下列各式的值.
（1）√16的算术平方根是 ；
（2）√4的算术平方根是 ；
你知道√2有多大吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.会用计算器求一个数的算术平方根；
2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值；
3.理解无限不循环小数的概念.
学习重难点
重点：夹逼法及估计一个(无理)数的大小.
难点：会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.
二、自我挑战（思）
1、能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
图6.1-1
如图6.1-1，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面
积为 2 dm2 的大正方形.
（1）你知道这个大正方形的边长是多少吗？
（2）小正方形的对角线的长是多少呢？2、 有多大呢？
√2
因为 12=1，22=4，所以 ＜ ＜ ；
√2
因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 ＜ ＜ ；
√2
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 ＜ ＜ ；
√2
因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 ＜ ＜ ；
……
√2
如此下去，可以得到 的更精确的近似值.事实上， =1.414213562373…，它是一个
√2
小数.(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.)
√3 √5 √7
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如 ， ， 等)都是无限不循环小数.
3、在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术平
方根(或其近似值).
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
三、互动质疑（议、展）
1、如何估计一个正数算术平方根的大小？
2、你能估算出√5的近似值吗(精确到0.01)？
3、实例：
例2.用计算器求下列各式的值:
√3136 √2
(1) (2) (精确到0.001)√2
注：计算器上显示的1.4142135623731是 的近似值.
4、下面我们来看引言中提出的问题：
由 =gR， =2gR，得 = ， = ，其中g 9.8，R 6.4 .
v2 v2 v √gR v √2gR ≈ ≈ ×106
1 2 1 2
用计算器求v 和v（用科学计数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
1 2
7.9 ，
v =√9.8×6.4×106≈ ×103
1
.
v =√2×9.8×6.4×106≈1.1×104
2
因此，第一宇宙速度v 大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v 大约是1.1×104m/s.
1 2
5、用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？
规律：
被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;
被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
√3 √0.03
6、 用计算器计算 ≈ (精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说 ≈ ，
√300 √30000
≈ ， ≈ 的近似值.
√3 √30
你能根据 的值说出 是多少吗？
例3 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方
形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能
用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A． B． C． D．
2、估计√20的值（ ）
A．在4到5之间 B．在3到4之间
C．在2到3之间 D．在5到6之间
3、用计算器求√3.489结果为（保留四个有效数字）（ ）
A．12.17 B．±1.868 C．1.868 D．-1.868
4、比较下列两实数的大小：-2 -√5．
5、若利用计算器求得√6.619≈2.573，√66.19≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是
．
6、已知a是√10的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2．
六、用
（一）必做题
1、利用计算器求√0.059的值，正确的按键顺序为（ ）
A． B．
C． D．
2、利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
3、利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… √0.0625√0.625 √6.25 √62.5 √625 √6250 √62500 …
0.790
… 0.25 2.5 7.906 25 79.06 250 …
6
根据以上规律，若√1.69=1.30，√16.9≈4.11，则√1690=（ ）
A．13.0 B．130 C．41.1 D．411
√5+1 1
4、比较大小： 1 ．（填“＞”，“=”或“＜”）
2 2
5、利用计算器，得√0.05≈0.2236，√0.5≈0.7071，√5≈2.236，√50≈7.071，按此规律，可得
√500的值约为 ．
6、数学课上老师要同学们用一块面积为 900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积
为800cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为 5：4．小红不知道能否裁得出来，正在发愁．小
华说：“别愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗？
小红能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
（二）选做题
7、（1）用计算器计算：√11−2=
√1111−22=
√111111−222=
√11111111−2222=
（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想：√1111111111−22222= ，并通过计算器验证你的猜
想．
√19−2 2
8、数学课上，老师出了一道题：比较 与 的大小．
3 3
小华的方法是：
√19−2 2
因为√19＞4，所以√19-2 2，所以 （填“＞”或“＜”）；
3 3
√19−2 2 √19−4 √19−4
小英的方法是： − = ，因为19＞42=16，所以√19-4 0，所以
3 3 3 3
√19−2 2
0，所以 （填“＞”或“＜”）．
3 3
（1）根据上述材料填空；√6−1 1
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较 与 的大小．
4 2
