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7.1平面直角坐标系
不等式的基本性质
有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
注意：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位
是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
题型1：有序数对
1.（2022春•顺平县期中）如果用有序数对（3，2）表示教室里第3列第2排的座位，则位于第5列第
4排的座位应记作（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（3，2） D．（2，3）
【变式1-1】（2022春•秭归县期中）如果一类有序数对（x，y）满足方程y＝5﹣x，则下列数对不属于这
类的是（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（6，1） D．（﹣1，6）
【变式1-2】平面直角坐标系下有序数对（2x﹣y，x+y）表示的点为（5，4），则x＝ ．y＝ ．
平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯
上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标
系的原点(如图1).
注意：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
题型2：平面直角坐标系的定义2.如图所示，平面直角坐标系的画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】下列说法中不正确的是（ ）
A．在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴的垂足是原点
B．平面直角坐标系所在平面叫坐标平面
C．坐标平面上的点与有序数对是一一对应的
D．凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系
【变式2-2】关于坐标系，下列说法正确的是（ ）
A．建立坐标系，是为了定量地描述物体的位置及位置的变化
B．在建立坐标系时只需要确定正方向即可，与规定的正方向同向为正，与规定的正方向反向则为负
C．只能在水平方向建立直线坐标系
D．建立好直线坐标系后，可以用（x，y）表示物体的位置
点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x
轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对
（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
注意：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，
在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．题型3：利用点的坐标找对应点
3.在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C （3，﹣3），D（3，4），并
连接AB，BC，CD，AD．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，
（1）写出点A，B，C，D，E的坐标；
（2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3），分别指出各点所在的象限．
【变式3-2】（2022秋•涡阳县校级月考）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题：
（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标．
（2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）．
（3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？题型4：点的距离与点坐标的关系
4.（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是7，则点
P的坐标为（ ）
A．（7，﹣2） B．（2，﹣7） C．（7，2） D．（2，7）
【变式4-1】已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8
【变式4-2】在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 5 ．
坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分
别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第
三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，
其他区域之间均没有公共点.
注意：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在
右下方.
各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
注意：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置
也可以判断点的坐标的符号情况．
题型5：象限内点的坐标特征
5.（2022春•东莞市期中）点P在第三象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P点的坐标
是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，3） D．（﹣4，﹣3）
【变式5-1】已知点A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+5，4）在y轴上，则点C（n，m）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-2】（2022春•淮滨县期中）点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则
P点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2）或（3，﹣2）
C．（3，2） D．（2，3）或（2，﹣3）
题型6：坐标轴上点的特征
6.（2022秋•碑林区校级月考）已知点A（﹣m﹣1，3m）在x轴上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【变式6-1】已知点P（2a﹣1，a+3），根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P到y轴的距离为5．
【变式6-2】（2022春•武昌区期中）已知点A（x+3，3x﹣6）在x轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（0，2） C．（0，﹣15） D．（5，0）
【变式6-3】（2022春•桃山区期中）已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（﹣5，﹣3） D．（5，3）
象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
题型7：直角坐标系内角平分线上点的坐标特征
7.若点A（﹣ ，﹣ ）在第三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【变式7-1】已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．2或3 D．﹣1或6
【变式7-2】（2022•环江县模拟）已知平面直角坐标系中有一点A（m﹣1，2m+3）．
（1）点A在二、四象限的角平分线上，求点A的坐标；
（2）点A到y轴的距离为2时，求点A的坐标．
平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
题型8：平行于坐标轴直线上的点的特征
8.下列与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点为（ ）
A．（1，﹣5） B．（﹣1，2） C．（4，﹣5） D．（2，5）
【变式8-1】（2022春•东莞市校级期中）已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点
N到y轴的距离是4，则点N的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（3，﹣4）
C．（3，4）或（3，﹣4） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【变式8-2】如果直角坐标系内两个点的横坐标相同且不为零，那么过这两点的直线（ ）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．以上都不对
关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．题型9：关于坐标轴对称的点的坐标特征
9.在平面直角坐标系中，若点P关于x轴的对称点在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为
3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【变式9-1】若点（x，y）关于y轴的对称点在第二象限，则x和y的符号是（ ）
A．x＜0，y＞0 B．x＞0，y＞0 C．x＜0，y＜0 D．x＞0，y＜0
【变式9-2】（1）在坐标平面内画出点P（2，3）．
（2）分别作出点P关于x轴、y轴的对称点P ，P ，并写出P ，P 的坐标．
1 2 1 2
题型10：利用位置特征求字母的值
10.在平面直角坐标系中，若点P（﹣1，m﹣5）在x轴上，则m的值为 ．
【变式10-1】已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 ．
【变式10-2】已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为 ．
题型11：求点时的多解问题
11.．若点P（2x，3x﹣1）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为 ．
【变式11-1】在平面直角坐标系中，点B在y轴上，AB＝3，点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为
．
【变式11-2】已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为 ．
题型12：坐标系中求面积
12.如图，已知四边形ABCD．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）【变式12-1】如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图
书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积．
【变式12-2】如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．
（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标
为（2，2）．
（2）市场、超市的坐标分别为 、 ；
（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个
单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；
（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．
题型13：坐标的变化规律
13.（2022秋•沭阳县期末）如图，动点 P按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点（1，
1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，则第2023次运动
到点（ ）A．（2023，0） B．（2023，1） C．（2023，2） D．（2022，0）
【变式13-1】（2022秋•城关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排
列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规
律排列下去第23个点的坐标为（ ）
A．（13，13） B．（14，14） C．（15，15） D．（14，15）
【变式 13-2】（2022•齐河县校级模拟）如图，在单位为 1 的方格纸上，△A A A ，△A A A ，
1 2 3 3 4 5
△A A A ，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点
5 6 7 1 2 3
坐标分别为A （2，0），A （1，1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
1 2 3 2022
A．（1，1011） B．（﹣1，1011） C．（1011，0） D．（﹣1011，0）
【变式13-3】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内不包含
边界上的点，观察如图所示的中心在原点，一边平行于 x轴的正方形，边长为1的正方形内部有一个整
点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为10的正方形内部的整点个数为（ ）A．100 B．81 C．64 D．49
一、单选题
1．（2021八上·蜀山期末）在平面直角坐标系中，点A (8，-2022）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022七下·西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，小猫遮住的点的坐标可能是（ ）
A．（－6，3） B．（6，3）
C．（6，－3） D．（－6，－3）
3．（2022七下·西城期末）在平面直角坐标系中，点(3，−5)所在的象限是()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022七下·延津期末）点C(m+2，m−1)在平面直角坐标系的y轴上，则C点坐标为（ ）
A．(−3，0) B．（3，0） C．（0，3） D．(0，−3)
5．（2022七下·韩城期中）下列命题中是真命题的有（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；②立方根等于它本身的数有三个，分别是 −1 ，0和1；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④若 a<0 且 ab>0 ，则点 P(a，b) 在第三象限.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021七下·沙河口期末）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1，2) ， AB//x 轴，若
AB=3 ，则点 B 的坐标为（ ）
A．(1，5) B．(4，2) 或 (−2，2)
C．(4，2) D．(1，5) 或 (1，−1)
二、填空题
7．（2022七下·南宫期末）点P（－6，8）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ．
8．（2021八上·深圳期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）到y轴的距离是 ．
9．（2021八上·和平期中）已知点P（x，y+1）在第二象限，则点Q（﹣x+2，2y+3）在第
象限．
10．（2022七下·纳溪期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
11．（2021七下·巴彦淖尔期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P
（m+2，2m+1）在第 象限．
三、解答题
12．（2021八下·汽开区期末）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、
B、C的坐标．13．五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：15×15的正方形棋盘中，由黑
方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（甲执
黑子先行，乙执白子后走），观察棋盘思考：若A点的位置记作（8，4），甲必须在哪个位置上落子，
才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
四、综合题
14．（2021七下·三门峡期中）已知点 M(3a−2,a+6) .
（1）当点 M 在 x 轴上时，点 M 的坐标为；
（2）点 N 的坐标为 (2,5) ，且直线 MN//x 轴，求点 M 的坐标.
（3）点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点 M 的坐标.
15．（2022八上·杭州期中）已知点P(3a−15，2−a)．
（1）若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4 ， 试求出a的值：
（2）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数， 试求点P的坐标．
