文档内容
8.1&8.2二元一次方程（组）及消元法解二元一次方程组
二元一次方程（组）
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程．
二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元
一次方程组.
注意：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
{3x+1=0¿¿¿¿
（4）而组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一
次方程组.
题型1：二元一次方程（组）的概念
y
1.下列方程：①x+y=1；②2x- =1；③x2+y2=1；④5（x+y）=7（x-y）；
2
1
⑤x2=1；⑥x+ =4，其中是二元一次方程的是（ ）
2
A．① B．①③ C．①②④ D．
①②④⑥
【变式1-1】（2022春•保山期末）若xm﹣2n﹣ym+n﹣3＝2022是关于x，y的二元一次方
程，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝1 D．m＝2，n＝3
【变式1-2】（2022春•宾阳县期末）若4xa+b﹣3ya﹣b+2＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【变式1-3】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】（2022春•兴文县期中）已知关于x，y的方程组 是二元一次
方程组，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3
二元一次方程（组）的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的一组解；二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
注意：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
(3)二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写
成 的形式．
(4)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无
解，而方程组 的解有无数个．
题型2：二元一次方程（组）的解
5
{ x=-
{x=-4 { x=0 { x=1 8
2在① ,② ；③ ；④ 这四组数中，为方程
y=-11 y=-1 y=-5 9
y=-2
16
5
3x+2y=-7的解的是 ，为方程 x-y=1的解的是 .上述两个方程
2的公共解是 .（填序号）
【变式2-1】（2022秋•惠来县期末）若 是关于x，y的方程x+my＝13的一个解，
则m的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣8 D．8
【变式2-2】（2023春•东阳市月考）二元一次方程x+2y＝5的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
{2x-3 y=-8
【变式2-3】（2021七上·苏州期末）在下列各组数中，是方程组 的解
x+2y=3
的是（ ）
{x=2 {x=-3 {x=1 {x=-1
A． B． C． D．
y=4 y=1 y=1 y=2
题型3：二元一次方程（组）的解与含参问题
3.（2023春•东阳市月考）方程组 的解为 ，则被△和▽遮盖的两个
数分别为（ ）
A．﹣10，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．10，﹣6
【变式3-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）已知关于 x，y的方程组 ，若
方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
{x=-3,
【变式3-2】若方程6kx-2y=8 有一解 则 k 的值等于（ ）
y=2,
1 1 2 2
A．- B． C． D．-
6 6 3 3
{2x+ y=● {x=5
【变式3-3】小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴
2x- y=12 y=★
墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，则★= .
题型4：根据实际问题列方程组
4.（2022秋•城阳区校级期末）某工厂去年的总利润（总收入﹣总支出）为 200万
元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为400
万元．设去年的总收入为 x 万元、总支出为 y 万元，根据题意可列方程组．
【变式4-1】（2022秋•丹东期末）2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行．球迷小
李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21200元，其中小组赛
门票每张2800元，决赛门票每张6400元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门
票y张，根据题意可列方程组为 ．
【变式4-2】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，
它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的
流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级月考）六十载春华秋实，一甲子桃李芬芳.2023年
10月，重庆外国语学校即将迎来六十华诞，学校决定面向全校学子征集 60周年校庆
标识、吉祥物设计方案．初一年级某班准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，
若每3位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每4位同学奖励一盒巧克力，则又多了
2盒．设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，依题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消
元法，简称代入法．
注意：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另
一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求
解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变
形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
题型5：代入消元法解二元一次方程组
5.由2x+3y﹣6＝0可以得到用x表示y的式子为（ ）
2 2 2
A．y=- x-2 B．y= x-2 C．y= x+2 D．
3 3 3
2
y=- x+2
3
{ x=3-m
【变式5-1】若 ，则y用只含x的代数式表示为（ ）
y=1+2m
A．y=7-2x B．y=2x+7 C．y=-2x-5 D．
y=2x-5
{3x-5 y=3①
【变式5-2】解方程组 时把②代入①，计算结果正确的是（ ）
y=3x-1②
A．3x-15x+1=3 B．3x-15x+5=3
C．3（3x-1）-5y=3 D．3x-15x-5=3
{2a-3b=13 {a=8.3
【变式5-3】（2021八上·山亭期末）若方程组 的解是 ，则方程组
3a+5b=30 b=1.2
{2(x+2)-3(y-1)=13
的解是 ．
3(x+2)+5(y-1)=30
{3x+2y=18 {4x+3 y=5
【变式5-4】解方程组：（1） . （2）
x-3 y=-3 x-2y=4
题型6：换元法解二元一次方程组
x+ y x- y
{ + =4
3 5
6阅读材料：小丁同学在解方程组 时，他发现：如果直接用
x+ y x- y
- =-2
3 5
代入消元法或加减消元法求解运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的(x+y)
看作一个整体，把(x-y)看作一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题
过程：m n
{ + =4
3 5
设m=x+y，n=x-y，这时原方程组化为
m n
- =-2
3 5
{m=3 {x+ y=3 { x=9
解得 ， 即 ，解得
n=15 x- y=15 y=-6
2x+3 y 2x-3 y
{ + =7
4 3
请你参考小丁同学的做法，解方程组：
2x+3 y 2x-3 y
+ =8
3 2
【变式6-1】阅读材料：喜欢看书的刘翔在看一本数学课外读物，发现一种解二元一
{2x+3 y=4①
次方程组的方法叫“整体代换”法：例：解方程组
4x+7 y=3②
解：将方程②变形：4x+6y+y=3，即2（2x+3y）+y=3…③
把方程①代入③得2×1+y=3，
∴y=1．
把y=1代入①得，x=﹣1，
{x=-1
∴方程组的解为
y=1
请你模仿这种方法，解下面方程组：
{3x-2y=4
．
9x-5 y=13
【变式6-2】解方程组
x+ y x- y
{ + =7
2 3
（1） （2）
3（x+ y） x- y
+ =17
2 3
{ 3（x+ y-1）+2（x- y）=64①
4（x+ y-1）+5（y-x-3）=78②
加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简
称加减法．
注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么
就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的
值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
题型7：加减消元法解二元一次方程组
{ x-3 y=8①
7。解方程组 时，两位同学的解法如下:
4 y-3x=5②
解法一：由①-②，得3x=3；
解法二：由②得3x+（x-3y）=5③；
把①代人③得3x+8=5.
上述两种消元过程是否正确？你的判定是（ ）
A．都正确 B．解法一错 C．解法二错 D．两种
都错
{6x+⊕y=9①
【变式7-1】在解二元一次方程组 时，若①-②可直接消去未知数
2x+⊗y=-6②
y，则 ⊕ 和 ⊗ （ ）
A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为
相反数
【变式7-2】（2022秋•宁德期末）解方程组： ．
（2022秋•历下区期末）解方程组： ．
【变式7-3】解方程组：
{ x+4 y=7 {2x+（y-x）=1
（1） （2）
2x+11y=20 5x+2（y-x）=5
题型8：二元一次方程组的同解问题
8.（2022春•五常市期末）已知方程组 和 有相同的解，则a﹣
2b的值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【变式 8-1】（2022 春•西乡塘区校级期末）若关于 x，y 的方程组 与
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求2m+n的平方根．
【变式8-2】（2022春•营口期末）已知方程组 和 有相同的解，求
a﹣5b的平方根．
【变式 8-3】（2023 春•方城县月考）已知关于 x，y 的方程组 与
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）小明同学说：“无论 a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（3+a）
x+（2a+1）y＝5的解．”这句话对吗？请你说明理由．
题型9：二元一次方程组与新定义运算
9.（2022春•岳麓区校级期中）对于实数 x，y，定义一种新的运算“ ”：x y＝
ax+by+c，其中a，b，c为常数，若3 5＝15，4 7＝28，求1 1的值为（ ）
⊙ ⊙
A．﹣11 B．1
⊙ ⊙ ⊙
C．11 D．与a或b或c的值有关
【变式9-1】（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中
a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（
）
A．18 B．19 C．20 D．21
【变式9-2】（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算 可以得到数对
φ
（x'，y'），记作 （x，y）＝（x'，y'），其中 （a，b为常数）．如，
当a＝1，b＝1时， （﹣2，3）＝（1，﹣5）．
φ
φ（1）当a＝2，b＝1时， （1，0）＝ ；
（2）若 （2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；
φ
（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经
φ
过运算 又得到数对（x，y），求a和b的值．
φ
题型10：二元一次方程组的解与参数无关问题
10.（2022春•杭州期中）关于x，y的方程组为 ，将此方程组的两个方
程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的
方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2022春•杭州期中）已知关于x、y的二元一次方程（m﹣2）x+（m﹣
3）y+2m﹣3＝0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这
个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2019春•南安市期末）对于任何的a值，关于x、y的方程ax﹣（a﹣1）
y＝a+1都有一个与a无关的解，这个解是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2022春•香洲区校级期中）已知关于x、y的方程组
．
（1）直接写出方程4x+y＝9所有的正整数解 ；
（2）如果方程组的解满足2x+3y＝7，求k的值；
（3）当k每取一个值时，kx﹣（k﹣1）y＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公
共解，求这个公共解．
题型11：构建二元一次方程组
11.（2022秋•历下区期中） 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
求a与b的值．【变式 11-1】（2022 春•纳溪区期末）若 3x2a+by2与 4x3y3a﹣b是同类项，则 a﹣b＝
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
【变式11-2】（2022春•兴文县期中）若表中x，y的值满足二元一次方程ax+by＝1，则
当x＝3时，y的值为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 2 5 …
y … ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 9 …
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式11-3】（2022春•港北区期中）若|x+y﹣3|与（2x+3y﹣8）2互为相反数，则3x+4y
＝（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
一、单选题
{a-2b=4
1．（2022七下·新会期末）已知二元一次方程组 ，则a+b=（ ）
2a-b=3
A．1 B．－1 C．7 D．－7
2．（2022七下·大连期中）在3x+4 y=10中，已知y=1，则x的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2022七下·娄星期末）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
x-2 1
A． +2y=4 B．3xy+9=8 C．3x+ =1 D．
3 y
x2=5 y+1
4．（2022七下·剑阁期末）若(a-2)x|a-1|-3 y=5是关于x、y的二元一次方程，则a的
值为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
{x=3
5．下列方程中与方程3y+5x=27组成的方程组的解是 的是（ ）
y=4
A．4x+6y=-6 B．4x+7y-40=0C．2x-3y=13 D．以上答案都不对
6．（2022七下·叙州期末）在等式y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝
7，则这个等式是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+3 D．y＝3x
﹣1
二、填空题
7．（2022七下·南安期末）已知方程x+ y-2=0，改写成用含x的式子表示y的形式，
则y= .
{x=-2
8．（2022七下·乐清月考）已知 是方程2x+ y=a的一个解，则a= .
y=1
{ x=1 {mx+ny=7
9．（2022七下·清丰期末）已知 是方程组 的解，则m+n=
y=-2 mx-ny=-1
.
{2x+ y=� {x=5
10．（2022七下·东阳期末）小聪解方程组 的解为 ，由于不小心，滴
2x- y=12 y=�
上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，请你帮他找回，前后两个数分别是 、
.
{3x+2y=k+1
11．（2022七下·长沙月考）已知方程组 的解x，y满足x＋y＝2，则k的
2x+3 y=k
值为 .
三、计算题
12．（2021八上·沈河期末）解二元一次方程组：
{x+3 y=7
（1） ；
x= y-9
{2x+3 y=7
（2） ．
x-3 y=1
13．（2022七下·淮阴期末）解方程组：
{3x- y=13
（1）
5x+2y=7{ x
+1= y
（2） 3
2(x+1)- y=6
四、解答题
14．（2022七下·辛集期末）阅读以下内容：已知x，y满足x+2y=5，且
{3x+7 y=5m-3，
求m的值．
2x+3 y=8，
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
{3x+7 y=5m-3，
甲同学：先解关于x，y的方程组 再求m的值．
2x+3 y=8，
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
{ x+2y=5，
丙同学：先解方程组 ，再求m的值．
2x+3 y=8，
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选
择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 同学的
思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
{ax+by=3 {x=2
15．（2022七下·金华月考）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地
5x-cy=1 y=3
{x=3
把C看错了，得 ，试求出a，b，c的值.
y=6
{ax-by=16 {x=7
16．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的
mx+ny=15 y=1
{a（x+2y）-b（x-2y）=16
方程组 的解.
m（x+2y）+n（x-2y）=15
五、综合题
{2x+5 y=-26
17．（2022七下·长沙月考）若关于x，y的二元一次方程组 和
ax-by=-4
{3x-5 y=36
有相同的解.
bx+ay=-8
（1）求这两个方程组的解；
（2）求代数式(2a+b) 2022的值.
{ax+ y=5①
18．（2022七下·安岳月考）已知关于x、y的方程组 ，甲由于看错了方程
4x-by=7②{x=3
①中的a，得到方程组的解为 ；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为
y=5
{x=-1
.
y=7
（1） 求a，b的值
（2）求出原方程组的解.
